2024屆江西鷹潭市第一中學數(shù)學高一第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆江西鷹潭市第一中學數(shù)學高一第二學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，函數(shù)與坐標軸的三個交點P，Q，R滿足，，M為QR的中點，，則A的值為（）A． B． C． D．2．圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象，可表述為：質(zhì)點在以某點為圓心半徑為r的圓周上的運動叫“圓周運動”，如圖所示，圓O上的點以點A為起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點P，若連接OA、OP，形成一個角，當角，則（）A． B． C． D．13．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．數(shù)列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，則a2019的值為（）A．﹣2 B． C． D．5．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A． B．π C．2π D．4π6．下列結(jié)論正確的是（）．A．若ac<bc，則a<b B．若a2<C．若a>b，c<0，則ac<bc D．若a<b7．在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A=45°，B=30°，b=2，則a=（）A．2 B．63 C．228．為了了解某同學的數(shù)學學習情況，對他的6次數(shù)學測試成績進行統(tǒng)計，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學數(shù)學成績的說法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為199．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個扇形的半徑是，弧長是，則圓心角的弧度數(shù)為________.12．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.13．已知等比數(shù)列的公比為，它的前項積為，且滿足，，，給出以下四個命題：①；②；③為的最大值；④使成立的最大的正整數(shù)為4031；則其中正確命題的序號為________14．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.15．已知關(guān)于的不等式的解集為，則__________．16．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）比較與的大小.18．已知圓經(jīng)過點.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若圓與圓無公共點，求的取值范圍.19．已知向量，，，設函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．20．“中國人均讀書本（包括網(wǎng)絡文學和教科書），比韓國的本、法國的本、日本的本、猶太人的本少得多，是世界上人均讀書最少的國家”，這個論斷被各種媒體反復引用.出現(xiàn)這樣統(tǒng)計結(jié)果無疑是令人尷尬的，而且和其他國家相比，我國國民的閱讀量如此之低，也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了一天名讀書者進行調(diào)查，將他們的年齡分成段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問：（1）估計在這名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求這名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書者中任取名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)恰為的概率.21．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

用周期表示出點坐標，從而又可得點坐標，再求出點坐標后利用求得，得．【題目詳解】記函數(shù)的周期，則，因為，∴，是中點，則，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故選：D.【題目點撥】本題考查求三角函數(shù)的解析式，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2、A【解題分析】

運用求任意角的三角函數(shù)值的步驟：化正、脫周、變銳角和求值，可得所求值.【題目詳解】.故選：A.【題目點撥】本題考查任意角三角函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

由，，，得解.【題目詳解】解：因為，，，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查了指數(shù)冪，對數(shù)值的大小關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)遞推公式，算出即可觀察出數(shù)列的周期為3，根據(jù)周期即可得結(jié)果．【題目詳解】解：由已知得，，，

，…，，

所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，故，

故選：B．【題目點撥】本題考查遞推數(shù)列的直接應用，難度較易．5、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【題目詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【題目點撥】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.6、C【解題分析】分析：根據(jù)不等式性質(zhì)逐一分析即可.詳解：A.若ac<bc，則a<b,因為不知道c的符號，故錯誤；B.若a2<可令a=-1，b=-2，則結(jié)論錯誤；D.若a<b，則點睛：考查不等式的基本性質(zhì)，做此類題型最好的方法就是舉例子注意排除即可.屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

利用正弦定理得到答案.【題目詳解】asin故答案選C【題目點撥】本題考查了正弦定理，意在考查學生的計算能力.8、C【解題分析】試題分析：A選項，中位數(shù)是84；B選項，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項，平均數(shù)是85，正確；D選項，方差是，錯誤．考點：?莖葉圖的識別?相關(guān)量的定義9、B【解題分析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進行計算.【題目詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【題目點撥】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.10、A【解題分析】

連結(jié)，由，可知異面直線與所成角是，分別求出，然后利用余弦定理可求出答案.【題目詳解】連結(jié)，因為，所以異面直線與所成角是，在中，，，，所以.故選A.【題目點撥】本題考查了異面直線的夾角，考查了利用余弦定理求角，考查了計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

直接根據(jù)弧長公式，可得．【題目詳解】因為，所以，解得【題目點撥】本題主要考查弧長公式的應用．12、【解題分析】

作出圖形，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進而得解.【題目詳解】如下圖所示，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.13、②③【解題分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，得出，進而判斷②③④，即可得到答案.【題目詳解】①中，由等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，可得，所以，且所以是錯誤的；②中，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以是正確的；③中，由，且，，所以前項之積的最大值為，所以是正確的；④中，，所以正確.綜上可得，正確命題的序號為②③.故答案為：②③.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.14、.【解題分析】

先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.【題目詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【題目點撥】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．15、-2【解題分析】為方程兩根,因此16、【解題分析】

令，可得，從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個不同交點，作出圖形，可求出答案.【題目詳解】由題意，令，則，則和的圖象有兩個不同交點，作出的圖象，如下圖，是過點的直線，當直線斜率時，和的圖象有兩個交點.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)零點問題，考查函數(shù)圖象的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）是偶函數(shù)（2）見解析（3）【解題分析】

（1）由奇偶函數(shù)的定義判斷；（2）由單調(diào)性的定義證明；（3）由于函數(shù)為偶函數(shù)，因此只要比較與的大小，因此先確定與的大小，這就得到分類標準．【題目詳解】（1）是偶函數(shù)（2）當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；先證明當時，是增函數(shù)證明：任取，且，則，且，，即：當時，是增函數(shù)∵是偶函數(shù)，∴當時，是減函數(shù).（3）要比較與的大小，∵是偶函數(shù)，∴只要比較與大小即可.當時，即時，∵當時，是增函數(shù)，∴當時，即當時，∵當時，是增函數(shù)，∴【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，掌握奇偶性與單調(diào)性的定義是解題基礎(chǔ)．18、(1)或.(2)【解題分析】試題分析：由題意可得圓的方程為．（1）由圓心到直線的距離等于半徑可得，解得或，即為所求．（2）由圓與圓無公共點可得兩圓內(nèi)含或外離，根據(jù)圓心距和兩半徑的關(guān)系得到不等式即可得到所求范圍．試題解析：將點的坐標代入，可得，所以圓的方程為，即，故圓心為，半徑.（1）因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，整理得，解得或.（2）圓的圓心為，則,由題意可得圓與圓內(nèi)含或外離，所以或，解得或.所以的取值范圍為.19、（1）（2）時，取最小值；時，取最大值1．【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積、二倍角公式及配角公式得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得．（2）先根據(jù)得，，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值和最小值．試題解析：（1），最小正周期為．（2）當時，，由圖象可知時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，所以當，即時，取最小值；當，即時，取最大值1．20、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

(1)識別頻率直方圖，注意其縱軸的意義；(2)在頻率直方圖中平均數(shù)是每組數(shù)據(jù)的組中值乘以頻率，中位數(shù)是排在最中間的數(shù);(3)求出古典概型中的基本事情總數(shù)和具體事件數(shù)，利用比值求解.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在的頻率為所以，名讀書者年齡分布在的人數(shù)為人.（2）名讀書者年齡的平均數(shù)為：設中位數(shù)為，解之得，即名讀書者年齡的中位數(shù)為歲.（3）年齡在的讀書者有人，記為，；年齡在的讀數(shù)者有人，記為，，，從上述人中選出人，共有如下基本事件：,共有基本事件數(shù)為個,記選取的兩名讀者中恰好有一人年齡在中為事件，則事件包含的基本事件數(shù)為個:故.【題目點撥】本題考查識別頻率直方圖和樣本的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題分析】

(1)連接交于點，連接，可證，從而可證平面.(2)可證平面，從而得到平面平面.【題目詳解】(1)連接交于點，連接，因為底面為平行四邊形，所