二課時(shí)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

第二課時(shí)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)?1.掌握分類(lèi)變量的含義.2.通過(guò)實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.3.通過(guò)實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類(lèi)突破課時(shí)·過(guò)關(guān)檢測(cè)01??1.分類(lèi)變量與列聯(lián)表（1）分類(lèi)變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量；（2）列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱(chēng)為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，X表示相互對(duì)立的兩個(gè)事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互對(duì)立的兩個(gè)事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}（x，y＝0，1）的頻數(shù)，n是樣本量，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2×2列聯(lián)表）如表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bXY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）小概率值α的臨界值：對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得關(guān)系P（χ2≥xα）＝α成立.我們稱(chēng)xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).概率值α越小，臨界值xα越大；

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用χ2的取值推斷分類(lèi)變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn)；（4）基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立（其中xα為α的臨界值）；（5）應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的主要環(huán)節(jié)：①提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋?zhuān)虎诟鶕?jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較；③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；④在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.（6）獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828?1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）分類(lèi)變量中的變量與函數(shù)的變量是同一概念.

（

）答案：（1）×

（2）等高堆積條形圖可初步分析兩分類(lèi)變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中χ2取值則可通過(guò)統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說(shuō)明兩分類(lèi)變量的相關(guān)性的大小.

（

）（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是用的反證法.

（

）（4）χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量.

（

）答案：（2）√

答案：（3）×

答案：（4）√2.觀察下面各等高堆積條形圖，其中兩個(gè)分類(lèi)變量關(guān)系最強(qiáng)的是

（

）解析：B

通過(guò)等高堆積條形圖可知，選項(xiàng)B中y1，y2的差異最大，故兩個(gè)分類(lèi)變量關(guān)系最強(qiáng).故選B.3.（多選）若在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過(guò)收集、整理、分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，則下列說(shuō)法中正確的是

（

）A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)系B.1個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人有99%的概率患有肺癌C.在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D.在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒(méi)有解析：AD

獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果只是說(shuō)明事件發(fā)生的可能性的大小，具體到一個(gè)個(gè)體，則不一定發(fā)生.4.下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)y1y2x1a2173x2222547合計(jì)b46120則表中的a＝

?，b＝

?.

解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.答案：52

745.已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2≈4.328，χ2的部分臨界值表如下：α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879則最大有

?的把握說(shuō)變量X，Y有關(guān)系（填百分?jǐn)?shù)）.

解析：因?yàn)棣?≈4.328＞3.841＝x0.05，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為變量X，Y有關(guān)系.所以最大有95%的把握說(shuō)變量X，Y有關(guān)系.答案：95%02?分類(lèi)變量與列聯(lián)表1.（多選）根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是

（

）A.吸煙患肺病的頻率約為0.2B.吸煙不患肺病的頻率約為0.8C.不吸煙患肺病的頻率小于0.05D.吸煙與患肺病無(wú)關(guān)系解析：ABC

從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不吸煙患肺病的頻率.A、B、C都正確.2.（2023·安陽(yáng)一模）如下是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則m＋n＝

?.

XY合計(jì)y1y2x1a3545x27bn合計(jì)m73s解析：根據(jù)2×2列聯(lián)表可知a＋35＝45，解得a＝10，則m＝a＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，則n＝7＋b＝45，故m＋n＝17＋45＝62.答案：62｜練后悟通｜分類(lèi)變量的兩種統(tǒng)計(jì)表示形式（1）等高堆積條形圖：根據(jù)等高堆積條形圖的高度差判斷兩分類(lèi)變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)強(qiáng)弱；（2）2×2列聯(lián)表：直接利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，用定量的方式判斷兩分類(lèi)變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)強(qiáng)弱.分類(lèi)變量關(guān)聯(lián)性的判斷【例1】

某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與患心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：患心臟病無(wú)心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2≈15.968，因?yàn)棣?＞10.828，則斷定禿發(fā)與患心臟病有關(guān)系.那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為

（

）A.0.001B.0.05C.0.025D.0.01解析

因?yàn)棣?＞10.828＝x0.001，因此判斷出錯(cuò)的可能性為0.001，故選A.答案

A｜解題技法｜

如果χ2＞xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.?

某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游愿望的關(guān)系時(shí)，采用獨(dú)立性檢驗(yàn)法抽查了3000人，計(jì)算得χ2＝6.023，則市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游愿望有關(guān)系的可信程度是（

）A.90%B.95%C.99%D.99.5%解析：B

由臨界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以可斷言市民收入增減與旅游愿望有關(guān)系的可信程度為95%.獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用【例2】

（2022·全國(guó)甲卷·改編）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng).為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？

α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解

（2）零假設(shè)為H0：甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司無(wú)關(guān)，列聯(lián)表如下表所示：公司班次是否準(zhǔn)點(diǎn)合計(jì)準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020260B21030240合計(jì)45050500

?

為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表.記成績(jī)不低于70分的為“成績(jī)優(yōu)良”.分?jǐn)?shù)[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并判斷能否依據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.解：由題意，列聯(lián)表如下：成績(jī)班級(jí)合計(jì)甲班乙班優(yōu)良91625不優(yōu)良11415合計(jì)202040

03?1.對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下的列聯(lián)表，則χ2約為

（

）班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀甲班113445乙班83745合計(jì)197190A.0.600B.0.828C.2.712D.6.014

2.為考察A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行藥物實(shí)驗(yàn)，分別得到如下等高堆積條形圖：A.藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果B.藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果C.藥物A，B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D.藥物A，B對(duì)該疾病均沒(méi)有預(yù)防效果解析：B

從等高堆積條形圖可以看出，服用藥物A后未患病的比例比服用藥物B后未患病的比例大得多，預(yù)防效果更好.根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說(shuō)法最佳的一項(xiàng)是（

）3.兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于97.5%，則c＝（

）A.3B.4C.5D.6解析：A

列2×2列聯(lián)表如下：XY合計(jì)y1y2x1102131x2cd35合計(jì)10＋c21＋d66

4.（多選）千百年來(lái)，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語(yǔ)，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計(jì)算得到χ2≈19.05，下列小波對(duì)A地區(qū)天氣的判斷正確的是（

）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545C.依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D.依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若出現(xiàn)“日落云里走”，則認(rèn)為夜晚一定會(huì)下雨

5.（多選）某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿(mǎn)意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿(mǎn)意或不滿(mǎn)意的評(píng)價(jià)，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算χ2≈4.762，則可以推斷出（

）滿(mǎn)意不滿(mǎn)意男3020女4010B.調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對(duì)食堂服務(wù)更滿(mǎn)意C.認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05D.認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

6.（多選）有兩個(gè)分類(lèi)變量X，Y，其2×2列聯(lián)表如下所示：XY合計(jì)y1y2x1a20－a20x215－a30＋a45合計(jì)155065其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，若依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為

（

）A.6B.7C.8D.9

7.如圖是調(diào)查某學(xué)校高一年級(jí)男、女學(xué)生是否喜歡徒步運(yùn)動(dòng)而得到的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡徒步的頻率.已知該年級(jí)男生500人、女生400人（假設(shè)所有學(xué)生都參加了調(diào)查），現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為

?.

答案：158.某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出零假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知x0.05＝3.841.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是

?.

①認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.解析：χ2≈3.918＞3.841＝x0.05，所以認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.要注意我們檢驗(yàn)的是假設(shè)是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒(méi)有關(guān)系的，不是同一個(gè)問(wèn)題，不要混淆.答案：①9.某高校《統(tǒng)計(jì)初步》課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的學(xué)生情況，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)男1310女720為了判斷是否主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別的關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2≈

?（保留三位小數(shù)），所以判定

?（填“能”或“不能”）在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān).

答案：4.844

能10.（2021·全國(guó)甲卷·改編）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否以此推斷甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

?

A.25B.45C.60D.75解析：BCD

設(shè)男生的人數(shù)為5n（n∈N*），根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下所示：是否喜歡航天性別合計(jì)男生女生喜歡航天4n3n7n不喜歡航天n2n3n合計(jì)5n5n10n

12.某部門(mén)通過(guò)隨機(jī)調(diào)查89名工作人員的休閑方式是讀書(shū)還是健身，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別休閑方式合計(jì)讀書(shū)健身女243155男82634合計(jì)325789在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)

?的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系.

答案：0.113.某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為對(duì)比了解“科目二”的培訓(xùn)過(guò)程采用大密度集中培訓(xùn)與周末分散培訓(xùn)兩種方式的效果，調(diào)查了105名學(xué)員，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：接受大密度集中培訓(xùn)的55名學(xué)員中有50名學(xué)員一次考試通過(guò)，接受周末分散培訓(xùn)的學(xué)員一次考試通過(guò)的有30名.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“能否一次考試通過(guò)與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)

?.

解析：由題意，可得如下2×2列聯(lián)表：考試情況培訓(xùn)方式合計(jì)集中培訓(xùn)分散培訓(xùn)一次考試通過(guò)503080一次考試未通過(guò)52025合計(jì)5550105

答案：0.00114.某城市地鐵將于2024年6月開(kāi)始運(yùn)營(yíng)，為此召開(kāi)了一個(gè)價(jià)格聽(tīng)證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：