線性系統(tǒng)的時域分析

第三章線性系統(tǒng)的時域分析3-1時間響應(yīng)

3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)3-4瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標

3-5系統(tǒng)的誤差分析第三章線性系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)在外加作用激勵下，其輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系，稱之為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。

系統(tǒng)受到外加作用激勵后，從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。第三章線性系統(tǒng)的時域分析3-1時間響應(yīng)時間響應(yīng)的概念穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。第三章線性系統(tǒng)的時域分析3-2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為

T-時間常數(shù)

第三章線性系統(tǒng)的時域分析對上式取拉氏反變換，得

1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)第三章線性系統(tǒng)的時域分析2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點第三章線性系統(tǒng)的時域分析xo(0)=0，隨時間的推移，xo(t)指數(shù)增大，且無振蕩。xo(∞)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。當t=0時，初始斜率為時間常數(shù)T是重要的特征參數(shù)，它反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。T越小，C(t)響應(yīng)越快，達到穩(wěn)態(tài)用的時間越短，即系統(tǒng)的慣性越小。通常工程中當響應(yīng)曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%～98%時，認為系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T～4T。第三章線性系統(tǒng)的時域分析當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，Xi(s)＝1，輸入量的拉氏變換于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即3、一階系統(tǒng)的脈動響應(yīng)一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點第三章線性系統(tǒng)的時域分析xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減對于實際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號。同樣滿足上述規(guī)律，即T越大，響應(yīng)越慢，無論哪種輸入信號都如此。當t=0時，初始斜率為即：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。此規(guī)律是線性定常系統(tǒng)的重要特征，不適用于線性時變系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)。

第三章線性系統(tǒng)的時域分析規(guī)律

凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。第三章線性系統(tǒng)的時域分析3-3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的標準形式為：其中，T—為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期。－自然頻率（或無阻尼固有頻率）

－阻尼比（相對阻尼系數(shù)）

二階系統(tǒng)的標準形式，相應(yīng)的方塊圖如圖所示

第三章線性系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的特征方程：

特征根為：

下面分四種情況進行說明：

(1)欠阻尼

令

－衰減系數(shù)

－阻尼振蕩角頻率，得

第三章線性系統(tǒng)的時域分析2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

h(t)

第三章線性系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點:第三章線性系統(tǒng)的時域分析瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由ξ和ωn決定。振蕩幅值隨ξ減小而加大。(2)臨界阻尼

第三章線性系統(tǒng)的時域分析臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)特點※單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)※xo(∞)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。(3)過阻尼

第三章線性系統(tǒng)的時域分析第三章線性系統(tǒng)的時域分析特點※單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長※xo(∞)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。(4)無阻尼（ξ=0）狀態(tài)

系統(tǒng)有一對共軛虛根

系統(tǒng)在無阻尼下的單位階躍響應(yīng)為：第三章線性系統(tǒng)的時域分析第三章線性系統(tǒng)的時域分析3、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

結(jié)論二階系統(tǒng)的阻尼比ξ決定了其振蕩特性ξ<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定ξ≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長0<ξ<1時，有振蕩，ξ愈小，振蕩愈嚴重,但響應(yīng)愈快ξ=0時，出現(xiàn)等幅振蕩第三章線性系統(tǒng)的時域分析3-4瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標

假設(shè)前提

1）系統(tǒng)在單位階躍信號作用下2）初始條件為0，即在單位階躍輸入作用前，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。第三章線性系統(tǒng)的時域分析延遲時間td：單位階躍響應(yīng)c(t)達到其穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。上升時間tr：響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。峰值時間tp：響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。最大超調(diào)量Mp：響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分數(shù)表示：調(diào)整時間ts：響應(yīng)曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的

±2%或±5%）內(nèi)所需的時間。td、tr、tp、ts用來評定系統(tǒng)的快速性（靈敏性）。Mp用來評定系統(tǒng)的相對平穩(wěn)性。第三章線性系統(tǒng)的時域分析表示性能指標的單位階躍響應(yīng)曲線

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

結(jié)論二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和ξ決定。通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定ξ。一般選擇在0.4～0.8之間，然后再調(diào)整ωn以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。ξ一定，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。增加ξ可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加。

當ξ=0.7時，系統(tǒng)的Mp、ts均小，故稱其為最佳阻尼比。第三章線性系統(tǒng)的時域分析1）誤差：

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

2）穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t→∞）下的差值，即誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：3-5系統(tǒng)的誤差分析1、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的概念從式中可看出，ess與輸入及開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。當R(s)一定時，就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)。

第三章線性系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成下面的形式：第三章線性系統(tǒng)的時域分析2、系統(tǒng)的類型可以看出，與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)的因素為：第三章線性系統(tǒng)的時域分析1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

第三章線性系統(tǒng)的時域分析按輸入信號的不同來定義各種靜態(tài)誤差系數(shù)，并求相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

當輸入為單位階躍時的穩(wěn)態(tài)誤差，稱為位置誤差

3、靜態(tài)誤差系統(tǒng)與穩(wěn)態(tài)誤差2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

第三章線性系統(tǒng)的時域分析當輸入為單位斜坡時的穩(wěn)態(tài)誤差，稱為速度誤差。

稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka第三章線性系統(tǒng)的時域分析當輸入為單位加速度時的穩(wěn)態(tài)誤差，稱為加速度誤差。稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。第三章線性系統(tǒng)的時域分析第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

結(jié)論不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)只對相應(yīng)的階躍、速度及加速度輸入有意義。第三章線性系統(tǒng)的時域分析4、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差考慮圖示系統(tǒng)，圖中為系統(tǒng)的參考輸入，為系統(tǒng)的擾動作用。

擾動偏差傳遞函數(shù)為：

所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差：

由擾動引起的輸出為：即系統(tǒng)誤差：

穩(wěn)態(tài)誤差：

第三章線性系統(tǒng)的時域分析第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

本章小結(jié)時域分析是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標來評價系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應(yīng)雖有振蕩，但