小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用1014202332陸宇穎摘要：小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是將小波理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合起來的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它防止了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的盲目性和局部最優(yōu)等非線性優(yōu)化問題，大大簡化了訓(xùn)練，具有較強(qiáng)的函數(shù)學(xué)習(xí)能力和推廣能力及廣闊的應(yīng)用前景。首先說明了小波變換和多分辨分析理論，然后介紹小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用概況。研究背景與意義人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于生物神經(jīng)系統(tǒng)研究而建立的模型，它具有大規(guī)模并行處理和分布式存儲(chǔ)各類圖像信息的功能，有很強(qiáng)的容錯(cuò)性、聯(lián)想和記憶能力，因而被廣泛地應(yīng)用于故障診斷、模式識(shí)別、聯(lián)想記憶、復(fù)雜優(yōu)化、圖像處理以及計(jì)算機(jī)領(lǐng)域。但是，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立的物理解釋，網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)采用的全局性函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)收斂性的保證，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)性確定等問題尚有待進(jìn)一步探討和改善。小波理論自Morlet提出以來，由于小波函數(shù)具有良好的局部化性質(zhì)，已經(jīng)廣泛滲透到各個(gè)領(lǐng)域。小波變換方法是一種窗口大小固定但其形狀可以改變,時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法,由于在低頻局部具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率,在高頻局部具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率,所以被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性,使小波變換具有對信號(hào)的自適應(yīng)性?；诙喾直娣治龅男〔ㄗ儞Q由于具有時(shí)頻局部化特性而成為了信號(hào)處理的有效工具。實(shí)際應(yīng)用時(shí)常采用Ｍａｌｌａｔ快速算法，利用正交小波基將信號(hào)分解到不同尺度上。實(shí)現(xiàn)過程如同重復(fù)使用一組高通和低通濾波器把信號(hào)分解到不同的頻帶上，高通濾波器產(chǎn)生信號(hào)的高頻細(xì)節(jié)分量，低通濾波器產(chǎn)生信號(hào)的低頻近似分量。每分解一次信號(hào)的采樣頻率降低一倍，近似分量還可以通過高通濾波和低通濾波進(jìn)一步地分解，得到下一層次上的兩個(gè)分解分量。而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)〔WaveletNeuralNetwork,WNN〕正是在近年來小波分析研究獲得突破的根底上提出的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它是基于小波分析理論以及小波變換所構(gòu)造的一種分層的、多分辨率的新型人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，即用非線性小波基取代了通常的非線性Sigmoid函數(shù)，其信號(hào)表述是通過將所選取的小波基進(jìn)行線性疊加來表現(xiàn)的。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這方面的早期工作大約開始于1992年,主要研究者是ZhangQ、HaroldHS和焦李成等。其中,焦李成在其代表作《神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)》中從理論上對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了較為詳細(xì)的論述。近年來,人們在小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論和應(yīng)用方面都開展了不少研究工作。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有以下特點(diǎn)。首先，小波基元及整個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確實(shí)定有可靠的理論根據(jù)，可防止BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上的盲目性；其次，網(wǎng)絡(luò)權(quán)系數(shù)線性分布和學(xué)習(xí)目標(biāo)函數(shù)的凸性，使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程從根本上防止了局部最優(yōu)等非線性優(yōu)化問題；第三，有較強(qiáng)的函數(shù)學(xué)習(xí)能力和推廣能力。數(shù)學(xué)模型與小波工具2.1小波變換及多分辨分析在函數(shù)空間〔或更廣泛的Hilbert空間〕中，選擇一個(gè)母小波函數(shù)〔又稱為根本小波函數(shù)〕，使其滿足允許條件：式中為的Fourier變換。對作伸縮、平移變換得到小波基函數(shù)系對任意,其連續(xù)小波變換定義為：反演公式為：在實(shí)際應(yīng)用中，特別是計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中，往往要把上述的連續(xù)小涉及其變換離散化，通常采用二進(jìn)制離散，即令，那么二進(jìn)小波一定是一個(gè)允許小波，且是一個(gè)正交小波基?？紤]一個(gè)連續(xù)的、平方可積的函數(shù)在分辨率下的逼近，由多分辨分析理論可知：是尺度函數(shù)，對其作伸縮、平移變換得到。Mallat同時(shí)證明了函數(shù)在和分辨率下的信息差異〔即細(xì)節(jié)〕，可以通過將函數(shù)在一小波正交基上分解而獲得，從而定義了一種完全而且正交的多分辨率描述，即小波描述。就是式〔5〕定義的二進(jìn)小波，那么在分辨率下的逼近式為：Mallat并指出，對于任意一個(gè)函數(shù)可以在一組正交小波基上展開：式〔11〕是一個(gè)平方可積函數(shù)的小波分解，提供了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的理論框架。上述理論可推廣到多維情況。我們以二維為例，假設(shè)定義二維尺度函數(shù)，那么那么有:同理有:小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括輸入層、輸出層和隱層。隱層包含兩種節(jié)點(diǎn)：小波基節(jié)點(diǎn)〔節(jié)點(diǎn)〕和尺度函數(shù)節(jié)點(diǎn)〔節(jié)點(diǎn)〕。分層多分辨學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)輸出在分辨率〔最低的分辨率〕上的逼近：在分辨率上的逼近：式〔18〕中的第一項(xiàng)表示在分辨率上的逼近，在式〔17〕中已計(jì)算，即系數(shù)與式〔17〕中相同。式〔18〕中的第二項(xiàng)表示增加的細(xì)節(jié)。再考慮在，，…分辨率上的逼近,有:上述方程式是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法，這種算法是Moody在1989年提出的。網(wǎng)絡(luò)系數(shù)計(jì)算對于式〔19〕可以改寫成下述形式：是網(wǎng)絡(luò)權(quán)重系數(shù)，是激活函數(shù)〔尺度函數(shù)或小波函數(shù)〕。設(shè)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，m個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)。那么有：即式〔20〕的最小二乘解為：被稱為的偽逆矩陣。且如果樣本均勻分布，是正交基，那么是一個(gè)單位矩陣，且2.2.3小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程選擇適宜的小波函數(shù)和尺度函數(shù)后，在最粗的尺度L上訓(xùn)練節(jié)點(diǎn)，直到網(wǎng)絡(luò)到達(dá)收斂。要使網(wǎng)絡(luò)到達(dá)收斂，需確定逼近誤差〔在很多文獻(xiàn)中提出了誤差的計(jì)算方法〕和增加適宜的節(jié)點(diǎn)以減少逼近誤差。最后是優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)，使用新的樣本來檢驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)并移去權(quán)重小的節(jié)點(diǎn)直到滿足性能準(zhǔn)那么。2.2.4計(jì)算復(fù)雜性小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的計(jì)算復(fù)雜性介于O(N)和O(N2)之間，N為學(xué)習(xí)樣本數(shù)。如果學(xué)習(xí)樣本是均勻分布的，那么計(jì)算復(fù)雜性為O(N)；如果學(xué)習(xí)樣本是非均勻分布的，那么計(jì)算復(fù)雜性為O(N2)。數(shù)學(xué)應(yīng)用案例小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于小波分析而構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它充分利用小波變換的良好局部化性質(zhì)并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)功能，因而具有較強(qiáng)的逼近、容錯(cuò)能力，其實(shí)現(xiàn)過程也比擬簡單。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在近十年來應(yīng)用較廣泛，主要應(yīng)用于以下幾個(gè)領(lǐng)域。3.1非線性函數(shù)逼近非線性函數(shù)逼近具有非常重要的意義，很多實(shí)際問題通過建模都可歸結(jié)于非線性函數(shù)逼近問題。而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過對小波分解進(jìn)行平移和伸縮變換之后得到的級(jí)數(shù)，具有小波分解的函數(shù)逼近性質(zhì)。由于它引入了伸縮和平移因子，又比一般的小波分解有更多的自由度，而且還具有小波變換在高頻域的時(shí)間精度和低頻域的頻率精度，故能夠更加細(xì)致地描述復(fù)雜函數(shù)的特性。Zhang和Benveniste首先將小波理論應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而提出了非正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]，并首次將這種新理論應(yīng)用于函數(shù)逼近，取得了很好的結(jié)果。他們分別對一維、二維非線性函數(shù)進(jìn)行擬合逼近的研究，采用高斯函數(shù)推導(dǎo)式作為小波基函數(shù)，對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近模擬結(jié)果與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分解方法進(jìn)行比照，結(jié)果顯示小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性函數(shù)的擬合逼近明顯要優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分解方法〔見圖2，實(shí)線是實(shí)際曲線，虛線是逼近曲線〕，并吸收了兩者的許多優(yōu)點(diǎn)，摒棄了兩者的一些缺點(diǎn)。李銀國等那么在前人的根底上提出了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的時(shí)〔空〕域“分解——綜合〞方法[18]，并通過仿真實(shí)驗(yàn)〔非線性函數(shù)逼近〕說明：此種方法較好地解決了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中普遍存在的“維數(shù)災(zāi)〞問題，且函數(shù)逼近能力強(qiáng)，精度便于掌握，訓(xùn)練過程方便，不存在局部最優(yōu)問題。3.2信號(hào)表示和分類小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于信號(hào)表示已有很多范例，但用于信號(hào)分類的很少。HaroldHS等構(gòu)造了自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并將其應(yīng)用于語音識(shí)別。他們首先提出了兩種不同的自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)〔均采用高斯函數(shù)作為小波基函數(shù)〕和能量函數(shù)分別用于信號(hào)表示與分類，并引入了超小波〔super-wavelet〕這一新術(shù)語〔對于具體的問題，超小波不僅自適應(yīng)計(jì)算定型小波函數(shù)的參數(shù)，而且自適應(yīng)計(jì)算小波形狀〕。他們將這些理論先應(yīng)用于一維信號(hào)的表示與分類，隨后又討論了其可能在語音識(shí)別中的應(yīng)用，并展望這些理論可能會(huì)廣泛應(yīng)用于信號(hào)識(shí)別與分類和圖像識(shí)別與分類。3.3材料損傷診斷吳耀華等介紹了多變量輸入、輸出系統(tǒng)的B樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和用于分類的自適應(yīng)B樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用于智能復(fù)合材料應(yīng)變損傷位置的診斷。他們在實(shí)際操作中采用了一些技術(shù)處理以減少小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，從而加快了訓(xùn)練的速度和提高了識(shí)別能力。并且在同樣條件下將這兩種小波網(wǎng)絡(luò)與BP網(wǎng)絡(luò)相比照，結(jié)果說明B樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模精度和收斂速度明顯高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)〔圖3〕。3.4錯(cuò)誤診斷與分析ZhaoJinsong等提出了一種新穎的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——小波-Sigmoid基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)〔wavelet-sigmoidbasicfunctionneuralnetwork,WSBFN〕，并將其應(yīng)用于動(dòng)態(tài)錯(cuò)誤診斷中。他們?yōu)榱私鉀Q小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“瓶頸〞效應(yīng)，提出了一種多維非乘積小波函數(shù)，并將其和相應(yīng)的尺度函數(shù)一起作為WSBFN隱層的鼓勵(lì)函數(shù)，同時(shí)將sigmoid基函數(shù)作為WSBFN輸出層的鼓勵(lì)函數(shù)。文獻(xiàn)中將WSBFN應(yīng)用于氫化裂解過程的錯(cuò)誤診斷中，并同前人提出的較好的錯(cuò)誤診斷方法之——SBFN網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比照。結(jié)果顯示，WSBFN可以用更簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)而得到更好的診斷效果〔WSBFN訓(xùn)練錯(cuò)誤遠(yuǎn)低于SBFN，而且錯(cuò)誤診斷準(zhǔn)確率到達(dá)100%，也優(yōu)于SBFN〕。Bakshi和Stephanopoulos在多分辨率根底上提出了正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并將其應(yīng)用于靜態(tài)錯(cuò)誤3.5動(dòng)態(tài)建模現(xiàn)實(shí)中，許多問題可以通過動(dòng)態(tài)建模來解決。雖然采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非線性系統(tǒng)建模的研究很多，但是采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模的那么比擬少。錢峻等應(yīng)用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)模型的在線建立及自校正算法，并將其應(yīng)用于微生物生長過程的預(yù)測建模。他們在繼承前人對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的診斷與分析問題中，也取得了非常好的診斷效果。經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法的根底上，引入了限定記憶最小二乘法以替代普通的最小二乘法來實(shí)現(xiàn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線建模和校正算法。他們將其方法應(yīng)用于微生物生長過程的預(yù)測建模，結(jié)果顯示該小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很好的預(yù)測功能和推廣性能〔見圖4，實(shí)線是系統(tǒng)輸出，虛線是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出〕。其訓(xùn)練方法亦比用普通的最小二乘法快得多。采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)建模來解決自動(dòng)控制中的一些實(shí)際問題也已有研究。Oussar等首次將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模。他們采用高斯函數(shù)作為小波函數(shù)，提出了一種訓(xùn)練算法和用其構(gòu)建了反應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并將其應(yīng)用于動(dòng)態(tài)非線性輸入輸出系統(tǒng)建模中〔機(jī)器人手臂的液壓鼓勵(lì)器的建?！?。將其建模效果與其他的輸入輸出模型〔鉸鏈超平面模型和S形人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型〕進(jìn)行比擬，結(jié)果說明，在輸入輸出系統(tǒng)建模中采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以取得與采用S形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣良好的建模效果。Safavi等采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來簡化分裂蒸餾塔模型。他們采用一種混合模型替代傳統(tǒng)的機(jī)械模型，混合模型是在傳統(tǒng)的機(jī)械模型中加上了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊，用來控制蒸餾塔的輸入輸出模塊。同時(shí)，他們將其與傳統(tǒng)模型進(jìn)行比擬，結(jié)果顯示，該模型大大簡化了分裂蒸餾塔模型且保持了原有機(jī)械模型的精確性和內(nèi)部數(shù)據(jù)變量的有效性。3.6非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測與分析由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是用非線性小波基的線性疊加表示信號(hào)，故具有很好的特征提取和抑噪能力，特別適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測與分析。Bakshi和Stephanopoulos那么首次在多分辨率根底上提出正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測與分析；楊宜康等那么將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于測量中的異常數(shù)據(jù)診斷和消除。他們首先借助時(shí)-頻譜圖識(shí)別時(shí)間序列中異常數(shù)據(jù)的位置和性質(zhì)，然后利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為擬合工具，同時(shí)引入加權(quán)誤差能量函數(shù)，通過適中選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了對受污染的時(shí)間序列的抗擾最正確逼近。實(shí)例說明，采用加權(quán)誤差能量函數(shù)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了具有逼近性能好、抑噪特性強(qiáng)和收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)外，還能有效地消除異常數(shù)據(jù)對擬合結(jié)果的影響，具有較強(qiáng)的魯棒性。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)實(shí)例:采用sinc函數(shù)來驗(yàn)證小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合能力。Sinc函數(shù)定義為：自變量x的范圍取為[-5,5],采樣間隔為0.1，共101個(gè)樣本點(diǎn)，其中前70個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本，后31個(gè)樣本點(diǎn)作為檢驗(yàn)樣本。a=1,b=1,因變量。本例中采用緊致型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層中神經(jīng)元的傳統(tǒng)激發(fā)函數(shù)用小波函數(shù)來代替，采用通常用于信號(hào)分類的小波基函數(shù)Morlet小波函數(shù)〔r通常取值為1.75〕作為網(wǎng)絡(luò)隱含層的鼓勵(lì)函數(shù)。式中，t為函數(shù)的輸入。當(dāng)函數(shù)的輸入為零時(shí)，其輸出為1，到達(dá)最大值：當(dāng)輸入的絕對值較大時(shí)，輸出很快衰減為0。MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的傳遞函數(shù)沒有Morlet小波函數(shù)，所以將創(chuàng)立自定義的傳輸函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中包含了一個(gè)自定義傳遞函數(shù)template_transfer,輸入helptemplate_transfer就可以得到有關(guān)此函數(shù)的幫助信息。將template_transfer函數(shù)作為一個(gè)模板，來生成自定義的傳遞函數(shù)。首先，在MATLAB安裝目錄下找到template_transfer.m文件。將原傳遞函數(shù)改為Morlet小波函數(shù)表達(dá)式：再將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)改為：將輸入輸出范圍改為：在主程序中將傳遞函數(shù)設(shè)為“template_transfer(本例中未改模板文件名稱)。程序如下：clcclearcloseall%產(chǎn)生訓(xùn)練樣本與測試樣本n1=-5:0.1:4.95;x1=sinc(n1+1)+1;n2=-4.95:0.1:5;x2=sinc(n1+1)+1;xn_train=n1;%訓(xùn)練樣本，每一列為一個(gè)樣本dn_train=x1;xn_test=n2;dn_test=x2;%設(shè)置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)NodeNum=20;TypeNum=1;p1=xn_train;%訓(xùn)練輸入t1=dn_train;%訓(xùn)練輸出Epochs=1000;%訓(xùn)練次數(shù)P=xn_test;%測試輸入T=dn_test;%測試輸出〔真實(shí)值〕%設(shè)置網(wǎng)絡(luò)參數(shù)TF1=’template_transfer’;TF2=’purelin’;%設(shè)置傳遞參數(shù)，’template_transfer’為自定義Morlet小波函數(shù)net=newff(minmax(p1),[NodeNumTypeNum],{TF1TF2},’trainlm’);%指定訓(xùn)練參數(shù)net.trainParam.epochs=Epochs;%最大訓(xùn)練次數(shù)net.trainParam.goal=1e-8;%最小均方誤差net.trainParam.min_grad=1e-20;%最小梯度net.trainParam.show=200;%訓(xùn)練顯示間隔net.trainParam.time=inf;%最大訓(xùn)練時(shí)間%訓(xùn)練與測試net=train(net,p1,t1);%訓(xùn)練X=sim(net,P);%測試，輸出為預(yù)測值%結(jié)果作圖plot(1:length(n2),x2,’r+:’,1:length(n2),X,’bo:’)title(‘+為真實(shí)值，o為預(yù)測值’)結(jié)論與展望小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最初主要用于函數(shù)逼近，語音識(shí)別。隨著小波網(wǎng)絡(luò)的理論不斷開展，應(yīng)用領(lǐng)域也不斷拓寬，如非線性系統(tǒng)辨識(shí)，模式識(shí)別，信號(hào)分類；心電信號(hào)的識(shí)別與分類；數(shù)據(jù)與圖像壓縮。近年來，小波網(wǎng)絡(luò)在我國也引起了廣闊學(xué)者的關(guān)注?？傮w而言，小波網(wǎng)絡(luò)的理論和應(yīng)用研究還處于初始階段，至今還存在許多有待解決的問題，這無疑是我們今后的研究方向。小波網(wǎng)絡(luò)的新模型及其學(xué)習(xí)算法。例如可考慮基于小波包的小波網(wǎng)