人教版九年級數(shù)學下冊（第二十八章 銳角三角函數(shù)）28.2 解直角三角形及其應用（學習、上課課件）

28.2解直角三角形及其應用第二十八章銳角三角函數(shù)第1課時解直角三角形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關系知1－講感悟新知知識點解直角三角形的定義1定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.感悟新知特別提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一個是邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三)

.(2)一個直角三角形可解，則其面積可求.但在一個解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.知1－講感悟新知知1－講深度理解●已知兩個角不能解直角三角形，因為只有角的條件，三角形邊的大小不唯一，即有無數(shù)個三角形符合條件.●已知一角一邊時，角必須為銳角，因為若已知直角，則不能求解.知1－練感悟新知根據(jù)下列所給條件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角邊及其對角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和斜邊.A.②③B.②④C.只有②

D.②④⑤例1知1－練感悟新知解：①③④⑤能夠求解；②不能求解.解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進行解答.答案：C知1－練感悟新知特別提醒：解直角三角形時，求某些未知量的方法往往不唯一，選擇關系式通常遵循以下原則：1.盡量選擇可以直接應用原始數(shù)據(jù)的關系式；2.盡量選擇便于計算的關系式；3.能用乘法計算的要避免使用除法計算.知1－練感悟新知1-1.如圖，△ABC

中，AB=AC，BC=10，∠B=36°，D為BC

的中點，則AD的長是(

)A.5sin36°B.5cos36°C.5tan36°D.10tan36°C感悟新知知2－講知識點直角三角形中的邊角關系21.直角三角形中的邊角關系：在直角三角形ABC

中，∠C

為直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么除直角∠C

外的五個元素之間有如下關系：(1)三邊之間的關系：

a2+b2=c2(勾股定理)

.(2)兩銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.感悟新知

知2－講感悟新知知2－講活學巧記口訣記憶法有斜求對乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無斜求對乘正切.“有斜求對乘正弦”的意思是：在一個直角三角形中，對一個銳角而言，如果已知斜邊長，要求該銳角的對邊長，那么就用斜邊長乘該銳角的正弦，其他的意思可類推.感悟新知知2－講

感悟新知知2－練例2

知2－練感悟新知

解題秘方：緊扣直角三角形的邊角關系求解.感悟新知知2－練

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知知2－練感悟新知根據(jù)下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

所對的邊分別為a，b，c.∠A=30°，b=12；例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣以下兩種思路去求解：(1)求邊時，一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個銳角三角函數(shù).(2)求角時，一般用已知邊比已知邊，去找未知角的某一個銳角三角函數(shù).知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

所對的邊分別為a，b，c.∠A=60°，c=6.

知2－練感悟新知3-1.在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

所對的邊分別為a，b，c.根據(jù)下列條件解直角三角形：(1)

c=30，b=20；知2－練感悟新知知2－練感悟新知(2)∠B=72°，c=14；知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

例4

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“化斜為直法”，通過作高把斜三角形轉化為兩個直角三角形求解.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知教你一招：構造直角三角形解非直角三角形問題的方法通過作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個直角三角形，然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時，要充分利用已知條件，一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過特殊角的一邊上的點作這個角的另一邊的垂線，從而構造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相關知識求解.知2－練感悟新知

B知2－練感悟新知4-2.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=6，則△ABC

的周長為______________

.解直角三角形條件定義解直角三角形三邊關系邊角關系兩銳角關系依據(jù)28.2解直角三角形及其應用第二十八章銳角三角函數(shù)第2課時應用舉例逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2解直角三角形在實際中的應用解直角三角形在解仰角和俯角中的應用解直角三角形在解方向角中的應用解直角三角形在解坡角、坡度中的應用知識點解直角三角形在實際中的應用知1－講感悟新知11.利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟：(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數(shù)學問題，轉化為解直角三角形的問題；(2)根據(jù)已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識解直角三角形；(3)得到數(shù)學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.知1－講感悟新知2.解決實際問題時，常見的基本圖形及相應的關系式如下表所示：圖形關系式圖形關系式AC=BC·tanα，

AG=AC+BEBC=DC－BD=

AD·(tanα

－tanβ

)知1－講感悟新知AB=DE=AE·tanβ，

CD=CE+DE=AE·(tanα

+tanβ

)知1－講感悟新知知1－講感悟新知特別提醒1.當實際問題中涉及的圖形可以直接轉化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.在解直角三角形時，若相關的角不是直角三角形的內角，應利用平行線的性質或互余、互補的角的性質將其轉化為直角三角形的內角，再利用解直角三角形的知識求解.3.問題中有兩個或兩個以上的直角三角形，當其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關系式，運用方程求解.知1－練感悟新知例1如圖28.2-12所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內一樓住戶的窗臺離地面的距離CM

為2m，窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計劃在樓Ⅰ的正南方距樓Ⅰ30m處新建一居民樓Ⅱ.當正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使樓Ⅱ的影子不影響樓Ⅰ所有住戶的采光，新建樓Ⅱ最高只能建多少米？知1－練感悟新知解題秘方：將實際應用問題建模成解直角三角形問題.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

D感悟新知例2知1－練

感悟新知知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問題.感悟新知知1－練

感悟新知知1－練

知2－練感悟新知2-1.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA

的垂線PB上的一點C，測得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA等于(

)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C感悟新知知識點解直角三角形在解仰角和俯角中的應用2知2－講1.仰角和俯角的定義：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.知2－講感悟新知特別提醒●仰角和俯角是視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.●當實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉化到直角三角形中，注意確定水平線.感悟新知知2－講2.示圖(如圖28.2-14)：感悟新知知2－練例3如圖28.2-15，在數(shù)學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿CD

的高度，先在教學樓的底端A處，觀測到旗桿頂端C

的仰角∠CAD=60°，然后爬到教學樓上的B

處，觀測到旗桿底端D

的俯角是30°，已知教學樓AB

高4m.感悟新知知2－練解題秘方：將實際問題轉化為解直角三角形問題求解.感悟新知知2－練(1)

求教學樓與旗桿的水平距離AD；(結果保留根號)

感悟新知知2－練(2)

求旗桿CD

的高度.

知3－練感悟新知3-1.如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D

點的俯角α

為45°，C點的俯角β

為58°，BC

為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB約為_____

m．(

sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，結果保留整數(shù))

.16感悟新知知識點解直角三角形在解方向角中的應用3知3－講方向角的定義：指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角.感悟新知知3－講特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點的指北方向線起，按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講感悟新知特別提醒1.解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構造直角三角形來求解.2.觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質進行角度轉換.感悟新知知3－講2.示圖：如圖28.2-16所示，目標方向線OA，OB，OC

的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°，其中南偏東45°習慣上又叫做東南方向，北偏東45°習慣上又叫做東北方向，北偏西45°習慣上又叫做西北方向，南偏西45°習慣上又叫做西南方向.感悟新知例4知3－練

感悟新知知3－練解題秘方：建立數(shù)學模型后，用“化斜為直法”，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題求解.感悟新知知3－練

(1)分別求出A

與C

及B

與C

的距離；(結果保留根號)知3－練感悟新知

感悟新知知3－練

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知4-1.

[中考·眉山]如圖，一漁船在海上A

處測得燈塔C

在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達B處，測得燈塔C

在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C

的最短距離是_________海里.

感悟新知知識點解直角三角形在解坡角、坡度中的應用4知4－講1.坡角與坡度(坡比)的定義：(1)坡角：坡面與水平面所成的夾角，如圖28.2-18中的α.感悟新知知4－講(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h

和水平長度l

的