2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（二十二）導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 答案版

專題二十二專題二十二導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用XXXXXXXXX1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1．已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】，若函數(shù)f(x)在[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，即或在[1，2]上恒成立，即或在[1，2]上恒成立．令，則h(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，所以或，即或，又a>0，所以或a≥1，故答案為．2．若函數(shù)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】函數(shù)，則，因為h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在[1，4]上有解，所以當(dāng)x∈[1，4]時，有解，令，而當(dāng)x∈[1，4]時，令，，即為，此時(此時x＝1)，所以，又因為a≠0，所以a的取值范圍是，故答案為．3．已知函數(shù)，則f(x)的極值點為x＝________；若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上不單調(diào)，則實數(shù)t的取值范圍是________．【答案】1，3，【解析】由題意知，由，得或，時，；時，或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的極值點為x＝1，3．因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上不單調(diào)，所以或，解得或，故答案為1，3；．4．（多選）若對任意的，，且，都有，則m的值可能是（）（注…為自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．1【答案】BCD【解析】由題意，，得，則等價于，即，所以，則，令，可得，又，所以在上是減函數(shù)，所以，解得，則．故m可能值B、C、D符合要求，故選BCD．5．已知函數(shù)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見解析．【解析】因為，所以，當(dāng)a≤0時，，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，＋∞)．當(dāng)a＞0時，由，得；由，得．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，＋∞)；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．6．已知函數(shù)，其中k∈R．當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見解析．【解析】由題設(shè)，，當(dāng)時，，令，得；令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時，令，得或，當(dāng)，即時，當(dāng)時，或；當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，減區(qū)間為．當(dāng)，即時，在R上恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．7．已知函數(shù)（且）．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】（1）∵，∴，∴，又，∴，∴所求切線方程為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域為，由（1）知，∴，易知，①當(dāng)時，令，得或；令，得．②當(dāng)時，，令，得；令，得或．③當(dāng)時，．④當(dāng)時，，令，得；令，得或．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．8．已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析．【解析】由的定義域為，且．令，則．①當(dāng)，即時，對任意的有，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，有兩個不等的實根，設(shè)為、，且，令，解得，．解不等式，可得；解不等式，可得或．此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為．9．已知函數(shù)．（1）若是的極大值點，求a的值；（2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1）因為，定義域為，則，由是的極大值點，故，解得，此時，令，則或（舍），故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點，滿足題意．故．（2）因為，定義域為，則，對，其，當(dāng)時，即時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，即時，令，則，，且，當(dāng)時，，故當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，故當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減．2．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值1．已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】法一：當(dāng)時，，設(shè)，其中，則，另外，所以，故，解得，又因為，所以，故選B．法二：由，，從而，由于，所以，解得，又從圖象可以看出，即，從而，解得，由于，故，故選B．2．已知函數(shù)在處取得極值，若的單調(diào)遞減區(qū)間為，（）A．5 B．4 C． D．【答案】B【解析】∵，∴，由題設(shè)可得，解得，即，令，解得，則函數(shù)的單減區(qū)間就是，則，故選B．3．已知函數(shù)的一個極值點為1，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對求導(dǎo)得，因為函數(shù)的一個極值點為1，所以，所以，又，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，故的最大值為，故選D．4．若函數(shù)在上無極值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故選D．5．若函數(shù)(為常數(shù))在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)取值范圍是_________．【答案】【解析】由題意得．∵函數(shù)在內(nèi)有兩個極值點，∴在內(nèi)與軸有兩個不同的交點，如圖所示：∴，解得，故答案為．6．（多選）已知函數(shù)（，）存在極大值和極小值，且極大值與極小值互為相反數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)題意可知，不妨設(shè)，則，且，即，化簡得，將代入化簡計算得，，選項B正確，選項ACD錯誤，故選B．7．若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，若時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取得極小值，與條件不符合，故不滿足題意．當(dāng)時，由可得或；由可得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取得極大值，滿足條件．當(dāng)時，由可得或；由可得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取得極小值，不滿足條件．當(dāng)時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增．此時無極值．綜上所述：滿足條件，故選A．8．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，，記，則，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，所以．若，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，于是是函數(shù)的唯一極值點．若，則，易知，于是時，；設(shè)，，即在上單調(diào)遞增，所以，則時，，此時，于是且時，．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在兩個區(qū)間內(nèi)分別存在唯一一個零點，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，于是函數(shù)存在3個極值點，綜上所述，故選D．9．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：因為函數(shù)，所以，則，，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）解：因為，所以，函數(shù)在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，等價于在區(qū)間（2，3）中至少有一個變號零點，因為函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)或時，函數(shù)在區(qū)間（2，3）上單調(diào)，所以，即，解得，滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減，在區(qū)間是單調(diào)遞增，則需或，即或，解得或，與相矛盾，所以實數(shù)a的取值范圍．10．已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】（1）∵，函數(shù)的定義域是，∴，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，此時無極值；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增，故是極小值，無極大值；綜上：當(dāng)時無極值；當(dāng)時，是極小值，無極大值．（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增，最多有一零點，不滿足條件；當(dāng)時，的極小值是，設(shè)，，在單調(diào)遞增，∵，，∴，則的極小值大于等于零，最多有一零點，不滿足條件；當(dāng)時，的極小值，∵，，，所以在必有一零點；，在也有一零點，滿足條件，故的取值范圍是．3．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值1．已知函數(shù)，，，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，，，得，則，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，即的最小值是，故選A．2．已知函數(shù)，若，且，則的最小值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解析式知：在各區(qū)間上均為增函數(shù)且連續(xù)，故在上單調(diào)遞增，且，所以時，可設(shè)，則，得，于是，令，則，所以在上，；在上，，故在上遞減，在上遞增，所以的極小值也是最小值，且為，故的最小值是．故選D．3．函數(shù)，若存在，對任意，，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，函數(shù)在上存在最大值，令，其中，則．當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，．①若，當(dāng)時，，此時存在最大值；②若，則當(dāng)時，存在使得，此時函數(shù)無最大值．綜上所述，，故選A．4．（多選）若函數(shù)在上有最大值，則a的取值可能為（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】，則，當(dāng)和時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減．在處取極大值為．函數(shù)在上有最大值，故，且，即，解得．故選AB．5．若函數(shù)存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】因為函數(shù)，所以，當(dāng)時，，，又，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時無最小值；當(dāng)時，，則有兩個不等實根，設(shè)兩個不等實根，則，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，又時，，所以，所以要使得函數(shù)存在最小值，則函數(shù)的最小值只能為，且，即，所以，即，解得，所以，故答案為．6．已知，函數(shù)，若函數(shù)與有相同的最大值，則m的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為，所以，因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，因為與有相同的最大值，所以，解得，所以m的取值范圍為，故答案為．7．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若，求函數(shù)的最值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的最小值為，最大值為．【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為．（2）由（1）知，由，解得，而，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，而，，顯然，即有，所以函數(shù)的最小值為，最大值為．8．已知函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線垂直于直線，求的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，最小值為．【解析】（1）解：因為，所以，∵曲線在點處的切線垂直于直線，又直線的斜率為1，∴，∴．（2）解：∵，，①當(dāng)時，在區(qū)間上，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．②當(dāng)，即時，在區(qū)間上，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．③當(dāng)，即時，在區(qū)間上，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．9．設(shè)函數(shù)，．關(guān)于的函數(shù)表示在的最小值．（1）求的