2024屆安徽省安慶第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆安徽省安慶第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列各命題中，假命題的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長短有關(guān)3．在中，已知，則等于()A． B．C．或 D．或4．已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則等于()A．1 B． C． D．5．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．6．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（sin，cos），則tanα=（）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則是（）A．純角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．已知直線和，若，則實(shí)數(shù)的值為A．1或 B．或 C．2或 D．或9．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則A． B． C． D．10．某班現(xiàn)有60名學(xué)生，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，…，59.依編號(hào)順序平均分成10組，組號(hào)依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，若在第1組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5，則在第7組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為（）A．41 B．42 C．43 D．44二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)，的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_____.12．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__________.13．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且d≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，若滿足a1，a2，a5成等比數(shù)列，且S3＝9，則d＝_____，Sn＝_____.14．按照如圖所示的程序框圖，若輸入的x值依次為，0，1，運(yùn)行后，輸出的y值依次為，，，則________.15．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________16．設(shè)x、y滿足約束條件，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某中學(xué)高二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績?cè)?5分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來自甲班的概率．18．已知函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：（2）將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）＝m在區(qū)間[0，]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．已知函數(shù)，.（1）把表示為的形式，并寫出函數(shù)的最小正周期、值域；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（3）定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，設(shè)，（常數(shù)），若對(duì)于任意，總存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)，，數(shù)列滿足，，.（1）求證；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求中的最大項(xiàng).21．某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組5第2組①第3組30②第4組20第5組10（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試，求：第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用直線的方程過點(diǎn)分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)弧度制的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，正確；B選項(xiàng)，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正確；C選項(xiàng)，根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，正確；D選項(xiàng)，用角度制度量角，與圓的半徑長短無關(guān)，故D錯(cuò).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查弧度制的相關(guān)判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解題分析】在中，已知，由余弦定理，即，解得或，又，或，故選C.4、B【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)將化為同底的，再化簡，將分子分母配湊成前n項(xiàng)和的形式，再利用題干條件，計(jì)算?！绢}目詳解】∵等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，∴．故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題。5、B【解題分析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.6、A【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanα的值．【題目詳解】解：∵角α的終邊上有一點(diǎn)P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴則tanα，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

利用正弦定理結(jié)合條件，得到，再由，結(jié)合余弦定理，得到，從而得到答案.【題目詳解】在中，由正弦定理得，而，所以得到，即，為的內(nèi)角，所以，因?yàn)椋?，由余弦定理?為的內(nèi)角，所以，所以，為等邊三角形.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀，屬于簡單題.8、C【解題分析】

利用直線與直線垂直的性質(zhì)直接求解．【題目詳解】∵直線和，若，∴，得，解得或，∴實(shí)數(shù)的值為或．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與直線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】設(shè)公比為q,則，選A.10、A【解題分析】

由系統(tǒng)抽樣．先確定分組間隔，然后編號(hào)成等差數(shù)列來求所抽取號(hào)碼．【題目詳解】由題知分組間隔為以，又第1組中抽取的號(hào)碼為5，所以第7組中抽取的號(hào)碼為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查系統(tǒng)抽樣，掌握系統(tǒng)抽樣的概念與方法是解題基礎(chǔ)．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

作出其圖像，可只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍為.故答案為12、【解題分析】

假設(shè)正方體棱長，根據(jù)//，得到異面直線與所成角，計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)正方體棱長為1，因?yàn)?/，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.13、2n2.【解題分析】

由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求解可得首項(xiàng)與公差，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求解.【題目詳解】由題意，有，即，解得，所以.故答案為：，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、5【解題分析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算出、、后即可得解.【題目詳解】由程序框圖可知，；，；，.所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對(duì)遞推式化簡變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．16、【解題分析】

由約束條件可得可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距取值范圍的求解；通過直線平移可確定的最值點(diǎn)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求得最值，進(jìn)而得到取值范圍.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將的取值范圍轉(zhuǎn)化為在軸截距的取值范圍問題由平移可知，當(dāng)過圖中兩點(diǎn)時(shí)，在軸截距取得最大和最小值，，的取值范圍為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃中的取值范圍問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化成直線在軸截距的取值范圍的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（3）甲班參加；（4）．【解題分析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績?cè)?5分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說明甲班同學(xué)成績更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．18、（1）函數(shù)的最小正周期為π;函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]【解題分析】

（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論；（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【題目詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，故函數(shù)的最小正周期為π.令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z.（2）將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的圖象.在區(qū)間[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].若方程g（x）＝m在區(qū)間[0，]上有解，則m∈[﹣2，1].【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題.19、（1）；（2）（3）【解題分析】

（1）結(jié)合二倍角正弦公式和輔助角公式即可化簡；（2）結(jié)合（1）中所求表達(dá)式，正弦型函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的通式即可求解；（3）根據(jù)題意可得，，求出的值域，列出關(guān)于的不等式組，即可求解【題目詳解】（1），，值域?yàn)?；?）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，;（3）若對(duì)于任意，總存在，使得恒成立，則，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題20、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）將化簡后可得要求證的遞推關(guān)系.（2）將（1）中的遞推關(guān)系化簡后得到，從而可求的通項(xiàng)公式.（3）結(jié)合（2）的結(jié)果化簡，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【題目詳解】（1）證明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比為的等比數(shù)列.又，∴.（3）由（2）知，因?yàn)?，所以，所以，令，則，又因?yàn)榍遥运灾械淖畲箜?xiàng)為.【題目點(diǎn)撥】數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的求法，一般是利用數(shù)列的單調(diào)性去討論，但是也可以根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性來討論，要注意函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性的區(qū)別與聯(lián)系.21、（1）人，，直方圖見解析；（2）人、人、人；（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出第組的頻數(shù)，第組的頻率，從而完成頻率分布直方圖．（2）根據(jù)第組的頻數(shù)計(jì)算頻率，利用各層的比例，能求出第組分別抽取進(jìn)入第二輪面試的人數(shù)．（3）設(shè)第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，第組的位同學(xué)為，利用列舉法能出所有基本事件及滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型求得概率．【題目詳