2024屆廣東省深圳市福田區(qū)耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校華文部高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆廣東省深圳市福田區(qū)耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校華文部高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心2．在中，且，則等于()A． B． C． D．3．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①②③與為異面直線④以上四個(gè)命題中，正確的序號(hào)是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④4．下列賦值語句正確的是()A．S＝S＋i2 B．A＝－AC．x＝2x＋1 D．P＝5．甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較穩(wěn)定（方差較小）的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為A．2 B．4 C．6 D．86．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象關(guān)于（）對(duì)稱．A．軸 B．原點(diǎn) C．直線 D．點(diǎn)7．已知點(diǎn)P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓O的切線與圓相交于兩點(diǎn)A,B，則的最大值為（）A． B．5 C． D．8．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．63 B．62 C．61 D．609．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，則△ABC的外接圓面積為A． B．π C．2π D．4π10．函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B．或 C．或 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，給出如下命題:①是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足，則是的垂心；②是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)一定過的重心；③是內(nèi)一定點(diǎn)，且，則；④若且，則為等邊三角形，其中正確的命題為_____（將所有正確命題的序號(hào)都填上）12．已知扇形的圓心角，扇形的面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)的值是______.13．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.14．已知cosθ，θ∈（π，2π），則sinθ＝_____，tan_____.15．一水平位置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底平行于軸，底角為，兩腰和上底長(zhǎng)均為１的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是．16．某餐廳的原料支出與銷售額（單位：萬元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程，則表中的值為_________.2456825355575三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求點(diǎn)到平面的距離.18．某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤(rùn)（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計(jì)算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤(rùn)最大？年平均利潤(rùn)最大為多少萬元？19．已知數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中，每一行的第一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，（1）若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知，求的值；（2）設(shè)，對(duì)任意，求及的最大值．20．已知圓C過點(diǎn)，圓心在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過圓O1：上任一點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為Q，T，求四邊形PQCT面積的取值范圍.21．在如圖所示的直角梯形中，，求該梯形繞上底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的表面積和體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

設(shè)D是BC的中點(diǎn)，由，，知，所以點(diǎn)P的軌跡是射線AD，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【題目詳解】如圖，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，∵，，∴，即∴點(diǎn)P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形五心的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．2、A【解題分析】

在△ABC中，利用正弦定理與兩角和的正弦化簡(jiǎn)已知可得，sin（A+C）＝sinB，結(jié)合a＞b，即可求得答案．【題目詳解】在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA，∴sin（A+C），又A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，∴B．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用，考查了大角對(duì)大邊的性質(zhì)，屬于中檔題．3、D【解題分析】

作出直觀圖,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.【題目詳解】作出正方體得到直觀圖如圖所示:由直觀圖可知,與為互相垂直的異面直線,故①不正確;,故②正確;與為異面直線,故③正確;由正方體性質(zhì)可知平面,故,故④正確.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,直線,平面的平行于垂直,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】在程序語句中乘方要用“^”表示，所以A項(xiàng)不正確；乘號(hào)“*”不能省略，所以C項(xiàng)不正確；D項(xiàng)中應(yīng)用SQR(x)表示，所以D項(xiàng)不正確；B選項(xiàng)是將變量A的相反數(shù)賦給變量A，則B項(xiàng)正確．選B.5、A【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計(jì)算即可．【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績(jī)相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定（方差較?。?，所以甲成績(jī)的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【題目點(diǎn)撥】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．6、A【解題分析】

先利用輔助角公式將未變換后的函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再根據(jù)圖象變換規(guī)律得出變換后的函數(shù)的解析式為，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱性來進(jìn)行判斷。【題目詳解】，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后得到，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對(duì)稱性，在考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)問題時(shí)，應(yīng)該將三角函數(shù)的解析式化為一般形式，并借助三角函數(shù)的圖象來理解。7、A【解題分析】

作交于，連接設(shè)，得，，進(jìn)而，換元，得，通過求得的范圍即可求解【題目詳解】作交于，連接設(shè)，則，∴取，∴.顯然易知令，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；此時(shí)∴故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的幾何性質(zhì)，切線的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)最值得求解，考查換元思想，是難題8、A【解題分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得．【題目詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，即3，12，成等比數(shù)列，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力.9、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.【題目詳解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圓面積S＝πR2＝π.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.10、B【解題分析】

由題意可得，的圖象（紅色部分）和直線有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得的范圍．【題目詳解】由題意可得的圖象(紅色部分)和直線有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：故有或，故選：B.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②④．【解題分析】

①:運(yùn)用已知的式子進(jìn)行合理的變形，可以得到，進(jìn)而得到，再次運(yùn)用等式同樣可以得到,，這樣可以證明出是的垂心；②：運(yùn)用平面向量的減法的運(yùn)算法則、加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線定理，可以證明本命題是真命題；③：運(yùn)用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量共線定理，結(jié)合面積公式，可證明出本結(jié)論是錯(cuò)誤的；④：運(yùn)用平面向量的加法幾何意義和平面向量的數(shù)量積的定義，可以證明出本結(jié)論是正確的.【題目詳解】①:，同理可得：,，所以本命題是真命題；②:，設(shè)的中點(diǎn)為，所以有，因此動(dòng)點(diǎn)一定過的重心，故本命題是真命題；③:由，可得設(shè)的中點(diǎn)為，,,故本命題是假命題；④:由可知角的平分線垂直于底邊，故是等腰三角形，由可知：，所以是等邊三角形，故本命題是真命題，因此正確的命題為①②④.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的加法的幾何意義和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想.12、【解題分析】

先結(jié)合求出，再由求解即可【題目詳解】由，則故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的弧長(zhǎng)和面積公式的使用，屬于基礎(chǔ)題13、【解題分析】

由，可得出，再令，可計(jì)算出，然后檢驗(yàn)是否滿足在時(shí)的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又不滿足.因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用求，一般利用來計(jì)算，但要對(duì)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、﹣2.【解題分析】

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得式子的值.【題目詳解】由，，知，則，.故答案為：，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】如圖過點(diǎn)作，，則四邊形是一個(gè)內(nèi)角為45°的平行四邊形且，中，，則對(duì)應(yīng)可得四邊形是矩形且，是直角三角形，．所以16、60【解題分析】

由樣本中心過線性回歸方程，求得，，代入即可求得【題目詳解】由題知：，，將代入得故答案為：60【題目點(diǎn)撥】本題考查樣本中心與最小二乘法公式的關(guān)系，易錯(cuò)點(diǎn)為將直接代入求解，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連結(jié)OA，推導(dǎo)出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能證明SO⊥平面ABC;（2）設(shè)點(diǎn)B到平面SAC的距離為h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出點(diǎn)B到平面SAC的距離．【題目詳解】（1）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面，故AC⊥SO．（2）設(shè)B到平面SAC的距離為，則由（Ⅰ）知：三棱錐即∵為等腰直角三角形,且腰長(zhǎng)為2.∴∴∴△SAC的面積為=△ABC面積為,∴,∴B到平面SAC的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18、（1），（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為35萬元【解題分析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可以求出年的維護(hù)費(fèi)，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤(rùn)（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤(rùn)最大值.【題目詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護(hù)總費(fèi)用為萬元.∴總利潤(rùn)，即，（2）年平均利潤(rùn)為∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為35萬元.【題目點(diǎn)撥】本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、(1)(2),.【解題分析】

（1）先求出的通項(xiàng)公式，再計(jì)算等比數(shù)列的公比，最后得到.（2）先計(jì)算,再利用裂項(xiàng)求和計(jì)算得到，設(shè)函數(shù)