醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)簡單回歸分析

第十二章簡單線性回歸

Simplelinearregressionanalysis

流行病學(xué)與衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室曹明芹1/17/20241Regression

釋義1/17/20242簡單線性回歸第十二章簡單線性回歸線性回歸線性回歸的應(yīng)用殘差分析回歸分析應(yīng)注意的問題非線性回歸1/17/20243簡單線性回歸一、線性回歸線性相關(guān)：分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系的方向及密切程度的統(tǒng)計方法欲分析兩個變量在數(shù)量上的依存關(guān)系或者由一個易測變量推測另一個難測變量，采用回歸分析。簡單線性回歸：涉及一個應(yīng)變量和一個自變量多重線性回歸：涉及一個應(yīng)變量和多個自變量例：體重與體表面積、胰島素水平與血糖水平用身高、體重、肺活量估計心室輸出量1/17/20244簡單線性回歸一、線性回歸簡單線性回歸模型的一般形式線性回歸分析的基本步驟線性回歸分析的條件1/17/20245簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式例：隨機抽取15名健康成年人,測定其血液的凝血酶濃度(單位/毫升)及凝固時間(秒)，數(shù)據(jù)如下表所示：1/17/20246簡單線性回歸1/17/20247簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式若描述凝血酶濃度和凝血時間在數(shù)量上的依存關(guān)系時（回歸分析），應(yīng)變量為凝血酶濃度，自變量為凝血酶時間。Y

表示應(yīng)變量，因變量，響應(yīng)變量

(dependentvariable,responsevariable)

X

表示自變量，解釋變量，預(yù)測因子

(independentvariable,explanatoryvariable，predictor)用數(shù)學(xué)上的二元一次方程形式表示簡單線性回歸1/17/20248簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式總體回歸模型表示為：樣本回歸模型表示：1/17/20249簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式a的意義a

截距、常數(shù)項(intercept,constant)X=0時，Y的估計值

a的單位與Y值相同當(dāng)X可能取0時，a才有實際意義。1/17/202410簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式b的意義b斜率(slope)b的單位為(Y的單位/X的單位)

b>0，直線從左下方走向右上方，Y

隨X

增大而增大；

b<0，直線從左上方走向右下方，Y隨X

增大而減小；

b=0，表示直線與X

軸平行，X與Y

無直線關(guān)系在回歸分析中，將ｂ稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficient）

1/17/202411簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式b的意義

b

表示X

每增加(減)一個單位，Y

平均改變b個單位

例：1～7歲兒童以年齡(歲)估計體重(Kg)的回歸方程為例：以凝血酶濃度(單位/毫升)估計凝血時間(秒)的回歸方程為1/17/202412簡單線性回歸（一）簡單線性回歸模型的一般形式

的意義給定X時，Y的估計值給定X時，Y的平均值（總體均數(shù)的點估計）舉例1/17/202413簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟繪制散點圖（觀察是否有線性趨勢、異常點）估計回歸參數(shù)，列出回歸方程對回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗在散點圖上繪制回歸直線解釋回歸系數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義評價回歸方程的擬合效果1/17/202414簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟繪制散點圖（觀察是否有線性趨勢、異常點）1/17/202415簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟估計回歸參數(shù)，列出回歸方程求解a、b，實際上就是“合理地”找到一條能最好地代表數(shù)據(jù)點分布趨勢的直線。最小二乘法原理估計殘差(residual)或剩余即實測值Y與假定回歸線上的估計值的縱向距離最小二乘法(leastsumofsquares)：回歸的殘差平方和最小，即各實測點至直線的縱向距離的平方和最小。1/17/202416簡單線性回歸1/17/202417簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟估計回歸參數(shù)，列出回歸方程最小二乘法原理估計的回歸直線必過點公式為可使用計算器計算或軟件計算1/17/202418簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟對回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗方差分析回歸系數(shù)的ｔ檢驗

ｂ≠0，推斷是否

=0

，若

=0，則回歸關(guān)系不存在。

H0：

＝0，無直線回歸關(guān)系；

H1：

≠0，有直線回歸關(guān)系；1/17/202419簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟方差分析將應(yīng)變量Ｙ的總變異劃分成兩部分，一部分是由線性回歸所致的變異，另一部分是由殘差所致的變異總的離均差平方和相應(yīng)劃分為兩部分總的自由度相應(yīng)劃分為兩部分1/17/202420簡單線性回歸應(yīng)變量Ｙ的總變異的分解XP

(X,Y)Y1/17/202421簡單線性回歸

Y的總變異（離均差平方和）分解總變異：

(sumofsquaresaboutthemeanofY)剩余（殘差）的變異:(sumofsquaresaboutregression)回歸的貢獻(xiàn)，回歸平方和：

(sumofsquaresduetoregression)1/17/202422簡單線性回歸

Y的自由度分解總的自由度：n-1回歸自由度：1剩余自由度：n-21/17/202423簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟方差分析1/17/202424簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟回歸系數(shù)的ｔ檢驗1/17/202425簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟在散點圖上繪制回歸直線解釋回歸系數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義1/17/202426簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟評價回歸方程的擬合效果剩余標(biāo)準(zhǔn)差：剩余標(biāo)準(zhǔn)差反映的是扣除X對Y的線性影響后Y的變異剩余標(biāo)準(zhǔn)差越小，回歸方差的擬合效果越好1/17/202427簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟評價回歸方程的擬合效果決定系數(shù)（確定系數(shù)）：r2決定系數(shù)反映的是回歸引起的變異占Y總變異的比重決定系數(shù)越大(越接近1)，回歸的擬合效果越好1/17/202428簡單線性回歸（二）線性回歸分析的基本步驟繪制散點圖（觀察是否有線性趨勢、異常點）估計回歸參數(shù)，列出回歸方程對回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗在散點圖上繪制回歸直線解釋回歸系數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義評價回歸方程的擬合效果1/17/202429簡單線性回歸教材例題對14名40~60歲健康婦女的體重(Kg)與基礎(chǔ)代謝(KJ/d)進(jìn)行回歸分析：

繪制散點圖1/17/202430簡單線性回歸教材例題建立回歸方程1/17/202431簡單線性回歸教材例題假設(shè)檢驗（方差分析）1/17/202432簡單線性回歸教材例題假設(shè)檢驗（t檢驗）1/17/202433簡單線性回歸教材例題繪制直線1/17/202434簡單線性回歸教材例題評價回歸方程的擬合效果1/17/202435簡單線性回歸（三）線性回歸分析的條件線性(linear)：因變量Y與自變量X呈線性關(guān)系獨立(independent)：各觀察值間相互獨立正態(tài)性(normality)：給定X，Y服從正態(tài)分布等方差性(equalvariance)：在自變量X的取值范圍內(nèi)，不論X取何值，Y都具有相同的方差。1/17/202436簡單線性回歸1/17/202437簡單線性回歸二、線性回歸的應(yīng)用回歸分析中的區(qū)間估計總體回歸系數(shù)的置信區(qū)間估計給定X＝Xp時，Y的總體均數(shù)的置信區(qū)間估計給定X＝Xp時，個體Y值的容許區(qū)間估計1/17/202438簡單線性回歸二、線性回歸的應(yīng)用復(fù)習(xí)總體均數(shù)的置信區(qū)間：均數(shù)

界值×標(biāo)準(zhǔn)誤個體的容許區(qū)間(參考值范圍):

均數(shù)

界值×標(biāo)準(zhǔn)差1/17/202439簡單線性回歸1、總體回歸系數(shù)

的可信區(qū)間估計根據(jù)

t分布原理估計：總體回歸系數(shù)

置信區(qū)間1/17/202440簡單線性回歸2、

的置信區(qū)間估計

樣本總體Y的均數(shù)給定X時Y的均數(shù)

(Y的條件均數(shù))根據(jù)

t分布原理根據(jù)：1/17/202441簡單線性回歸總體回歸直線的95％的置信帶1/17/202442簡單線性回歸3、個體Ｙ的預(yù)測值的容許區(qū)間估計

給定X時，Y值的容許區(qū)間（Y

值可能的變動范圍）。1/17/202443簡單線性回歸Ｙ個體值95％預(yù)測帶1/17/202444簡單線性回歸三、殘差分析殘差分析作用（直觀圖示）評價資料是否符合回歸分析的條件識別異常點了解資料和回歸模型之間的關(guān)系1/17/202445簡單線性回歸1/17/202446簡單線性回歸1/17/202447簡單線性回歸四、回歸分析應(yīng)注意的問題作回歸分析應(yīng)有實際意義進(jìn)行回歸分析時，應(yīng)先繪制散點圖進(jìn)行回歸分析時，應(yīng)避免超出自變量的取值范圍，任意外延殘差圖是考察是否滿足回歸分析條件的簡單有效的方法1/17/202448簡單線性回歸直線回歸與直線相關(guān)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別相關(guān)、回歸分析的作用不同相關(guān)表示相互關(guān)系，沒有依存關(guān)系；而回歸有依存關(guān)系；r沒有單位，b有單位；對資料的要求不同：相關(guān)要求雙變量正態(tài)分布，回歸分析條件（4個）當(dāng)X和Y都是隨機的，可以進(jìn)行相關(guān)和回歸分析；當(dāng)Y是隨機的(X是控制的)，理論上只能作回歸而不能作相關(guān)分析；1/17/202449簡單線性回歸