江蘇省鎮(zhèn)江市2021年中考數(shù)學真題試卷（解析版）

2021年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學試卷

一、填空題（本大題共12小題）

1.-5的絕對值是.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的定義計算即可.

【詳解】解：卜5|=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了絕對值的定義，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

2.便，x-7有意義x的取值范圍是—.

【答案】x>7

【解析】

【分析】直接利用二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出答案.

【詳解】解：G7有意義，則廠7川，

解得：x>7.

故答案為：x>7.

【點睛】］此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)是

解題關(guān)鍵.

3.8的立方根是—.

【答案】2

【解析】

【分析】利用立方根定義計算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：8的立方根為2,

故答案為：2.

【點睛】此題主要考查立方根的求解，解題的關(guān)鍵是熟知立方根的定義.

4.如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEF的每個內(nèi)角的度數(shù)是一.

【答案】120°

【解析】

【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成(〃-2)?180。，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，可設(shè)

這個正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為x,故又可表示成6x,列方程可求解.

【詳解】解：設(shè)這個正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為X,

則6x=(6-2)*180°,

解得x=120。.

故答案為：120。.

【點睛】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式及求正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，解答時要會根

據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理.

5.一元二次方程x(x+1)=0的解是.

【答案】%,=0,x2=-1

【解析】

【分析】根據(jù)x(x-1)=0得到兩個一元一次方程x=0,x-l=0,求出方程的解即可.

【詳解】x(x-l)=0,

x=0或x+l=0,

X1=0,x2=-1

故答案為x=0或x=-l.

【點睛】此題考查解一元二次方程、解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于運用因式分解法.

6.小麗的筆試成績?yōu)?00分，面試成績?yōu)?0分，若筆試成績、面試成績按6：4計算平均

成績，則小麗的平均成績是一分.

【答案】96

【解析】

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的公式計算可得.

100x6+90x4

【詳解】解：小麗的平均成績是"———=96(分)，

6+4

故答案為：96.

【點睛】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法.本題易出現(xiàn)的錯誤是求100,90這兩個數(shù)的平均

數(shù)，對平均數(shù)的理解不正確.

7.某射手在一次訓練中共射出了10發(fā)子彈，射擊成績?nèi)鐖D所示，則射擊成績的中位數(shù)是

環(huán).

次數(shù)

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以得到中間的兩個數(shù)據(jù)是9,9,然后計算它們的平均數(shù)

即可得到相應(yīng)的中位數(shù).

【詳解】解：由統(tǒng)計圖可得，

中間的兩個數(shù)據(jù)是9,9,故射擊成績的中位數(shù)是(9+9)+2=9(:環(huán))，

故答案為：9.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確中位數(shù)，會計算一組數(shù)據(jù)的

中位數(shù).

8.如圖，點。，E分別在△ABC的邊4C,AB上，/\ADE^>/\ABC,M,N分別是。E,BC

【答案】y

【解析】

DE

【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比求出與廠，根據(jù)相似三角形面積的比等

于相似比的平方解答即可.

【詳解】解：；例，N分別是OE,BC的中點，

：.AM,AN分別為△AOE、△ABC的中線，

.DEAM_I

"5C-AAT-2

...S~些=("y=J",

SMBCBC4

故答案為：!.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似

三角形對應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，點A,B,C,。在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，直線/經(jīng)過點C,0,將AA8c沿/

平移得到AMNO,例是A的對應(yīng)點，再將這兩個三角形沿/翻折，P,。分別是4例的對

應(yīng)點.已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1,則P。的長為一.

【答案】M

【解析】

【分析】連接尸。，AM,根據(jù)PQ=AM即可解答.

【詳解】解：連接尸。，AM,

由圖形變換可知：PQ=4M,

22

由勾股定理得：AM=yJl+3=Vio>

.??P。=加.

故答案為：回.

【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題

的關(guān)鍵.

10.已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，寫出符合條

件的一次函數(shù)表達式（答案不唯一，寫出一個即可）

【答案】y=-x+3

【解析】

【分析】由函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出ZV0,取％=-

1,由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出2=-1+6,

解之即可得出6值，進而可得出符合條件的一次函數(shù)表達式.

【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)表達式為y=Ax+A

?.?函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，

：.k<0,取&=-1.

又???一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,

2=-1+8，

:.b=3,

；.一次函數(shù)表達式為y=-x+3.

故答案為：y--x+3.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記“Z>0,y隨

x的增大而增大；k<0,y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵.

11.一只不透明的袋子中裝有1個黃球，現(xiàn)放若干個紅球，它們與黃球除顏色外都相同，攪

勻后從中任意摸出兩個球，使得尸（摸出一紅一黃）=P（摸出兩紅），則放入的紅球個數(shù)為

【答案】3

【解析】

【分析】分別假設(shè)放入的紅球個數(shù)為1、2和3,畫樹狀圖列出此時所有等可能結(jié)果，從中

找到摸出一紅一黃和兩個紅球的結(jié)果數(shù)，從而驗證紅球的個數(shù)是否符合題意.

【詳解】解：（1）假設(shè)袋中紅球個數(shù)為1，

此時袋中由1個黃球、1個紅球，

攪勻后從中任意摸出兩個球，P1推出一紅一黃）=1，P（換出兩紅）=0,不符合題意.

（2）假設(shè)袋中的紅球個數(shù)為2,

列樹狀圖如下：

開始

第一次紅2黃

第二次紅2黃紅1黃紅1紅2

由圖可知，共有6種情況，其中兩次摸到紅球的情況有2種，摸出一紅一黃的有4種結(jié)果,

.-.p（摸出一紅一黃）=g=2,p（摸出兩紅）=2=!，不符合題意,

6363

（3）假設(shè)袋中的紅球個數(shù)為3,

畫樹狀圖如下:

■<(4V?t??

第一次

第二^

由圖可知，共有12種情況，其中兩次摸到紅球的情況有6種，摸出一紅一黃的有6種結(jié)果,

.'.P（摸出一紅一黃）=p（摸出兩紅）=3=1,符合題意，

122

所以放入的紅球個數(shù)為3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了列表法和樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.

12.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,cos/ABC=；，點P在邊AC上運動（可

與點A,C重合），將線段8P繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段。P,連接BO,則80長

的最大值為

【答案】9G

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)知ABPO是頂角為120。的等腰三角形，可求得50=百2尸，當3尸最大時,

BO取最大值，即點P與點A重合時，BP=8A最大，求出A8的長即可解決問題.

【詳解】解：；將線段BP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段力P,

：.BP=PD,

...△BP力是等腰三角形,

：.ZPBD=3>0°,

過點尸作于點H,

BH

■"s30°=——=—,

BP2

2

:.BD=￡BP,

...當BP最大時，80取最大值，即點產(chǎn)與點A重合時，BP=BA最大,

過點A作AGLBC于點G,

'：AB=AC,AG1BC,

2

1

VcosZABC=—,

3

BG1

AB3

?"8=9,

.?.8。最大值為：BP=96

故答案為：9Ji.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)等知識，證明出8￡>=百BP

是解題的關(guān)鍵.

二、選擇題（本大題共6小題，在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題

目要求的）

13.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（

從上面看

A.正方形B.長方形C.三角形D.圓

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖的定義，從上面看該兒何體，所得到的圖形進行判斷即可.

【詳解】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形是三角形.

故選：C.

【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義，掌握俯視圖的概念是正確判斷的

前提.

14.2021年1-4月份，全國規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)利潤總額超25900億元，其中25900用科學記

數(shù)法表示為（）

A.25.9x103B.2.59x104C.0.259x105D.

2.59X105

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中1<|?|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，

要看把原數(shù)變成”時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)

絕對值210時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，〃是負整數(shù).

【詳解】解：25900=2.59x104,

故選：B.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中l(wèi)<|a|

<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要定〃的值以及〃的值.

15.如圖，NBAC=36。，點。在邊AB上，。。與邊AC相切于點。，交邊AB于點E,F,

連接/。，則/AF。等于（）

B

1

ADC

A.27°B.29°C.35°D.37°

【答案】A

【解析】

【分析】連接0。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到400=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/A0。

=90。-36。=54。，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接。D,

與邊AC相切于點￡>,

?.ZADO=90°,

\'ZBAC=36°,

：.ZAOD=90°-36°=54°,

ZAFD=-ZAOD=」x54°=27,

22

故選：A.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

16.如圖，輸入數(shù)值1921,按所示的程序運算（完成一個方框內(nèi)的運算后，把結(jié)果輸入下一

個方框繼續(xù)進行運算），輸出的結(jié)果為（）

A.1840B.1921C.1949D.2021

【答案】D

【解析】

【分析】把1921代入程序中計算，判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】解：把1921代入得：(1921-1840+50)x(-1)=-13K1000,

把-131代入得：(-131-1840+50)x(-1)=1921>1000,

則輸出結(jié)果為1921+100=2021.

故選：D.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清程序中的運算過程是解本題的關(guān)鍵.

17.設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,圓錐的母線長為I,滿足2升/=6,這樣的圓錐的側(cè)面積()

999

A.有最大值二兀B.有最小值：兀C.有最大值一兀D.有最小

442

狂9

值一無

2

【答案】C

【解析】

【分析】由2什/=6,得出/=6-2r,代入圓錐的側(cè)面積公式：S的=n”，利用配方法整理得

39

出，Sw=-2兀(r--)2+—兀，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

22

【詳解】解：,；2H7=6,

.,」=6-2r,

39

，圓錐的側(cè)面積S側(cè)="/="(6-2r)=2n(r2-3r)=-2n[(r---)2---]=-2兀(r-

24

39

，當尸一時,S側(cè)有最大值大乃.

22

故選：C.

【點睛】本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的

弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面

積：5=*廠?/=萬〃是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，小明在3x3的方格紙上寫了九個式子(其中的〃是正整數(shù))，每行的三個式子的

和自上而下分別記為4,A2,A3,每列的三個式子的和自左至右分別記為8,B』B3,其

A.A\B.BiC.A2D.B3

【答案】B

【解析】

【分析】把4,42,8,當?shù)氖阶颖硎境鰜?，再結(jié)合值等于789,可求相應(yīng)的〃的值，即可

判斷.

【詳解】解：由題意得：4=2"+1+2"+3+2"+5=789,

整理得：2"=260,

則〃不是整數(shù)，故4的值不可以等于789；

A2=2"+7+2"+9+2"+11=789,

整理得：2"=254,

則"不是整數(shù)，故4的值不可以等于789；

協(xié)=2"+1+2"+7+2"+13=789,

整理得:2"=256=28,

則〃是整數(shù)，故Bi的值可以等于789；

B3=2"+5+2"+11+2"+17=789,

整理得:2"=252,

則〃不是整數(shù)，故當?shù)闹挡豢梢缘扔?89；

故選：B.

【點睛】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字變化類，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，得出相應(yīng)的式子.

三、解答題(本大題共10小題，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(1)計算：(1-逝)°-2sin45°+亞；

(2)化簡：(N-1)+(J-_L)-x.

x

【答案】(1)1;(2)%2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)暴的意義、特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求出答案.

(2)根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案.

【詳解】解：(1)(1-V2)0-2sin45°+V2

=1-2x^^+72

2

(2)(x2-1)(1--)-%

X

X—1

=(x+l)(X-1):-------X

X

X

=(%+1)(X-1)?------X

x-\

=x(x+1)-X

【點睛】本題考查整式的運算以及分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的加減運算以及

乘除運算法則.

32

20.(1)解方程：--------=0；

xx-2

3x-l>x+1

(2)解不等式組:

x+4<4x-2

【答案】(1)x=6；(2)x>2

【解析】

【分析】(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解；

(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集

即可.

32

【詳解】解：(1)--------=0

xx-2

去分母得：3(x-2)-2x—0,

去括號得：3x-6-2x=0,

解得：x=6,

檢驗：把x=6代入得：x(%-2)=24/0,

.??分式方程的解為x=6；

3x—12x+

⑵〈c

x+4<4x-2②

由①得：應(yīng)1，

由②得：x>2,

則不等式組的解集為x>2.

【點睛】此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握分式方程的解法以及

不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵.

21.甲、乙、丙三人各自隨機選擇到A,B兩個獻血站進行愛心獻血.求這三人在同一個獻

血站獻血的概率.

【答案】v

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果和滿足條件的

結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

共8種等可能情況，其中這三人在同一個獻血站獻血的有2種結(jié)果，

2I

所以這三人在同一個獻血站獻血的概率為一=—.

84

【點睛】此題考查了樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法適臺兩步或兩步以上完成的事件，樹狀

圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結(jié)果，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

22.如圖，四邊形ABC￡＞是平行四邊形，延長D4,BC,使得AE=CF,連接BE,DF.

(1)求證：ZvlBE也△CD/7；

(2)連接BO,/1=30。，/2=20。，當___。時，四邊形8FDE是菱形.

【答案】(1)見解析；(2)當NA8E=10。時，四邊形8FOE是菱形

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性子和“SAS，可證△ABEgaCD/；

(2)先證明四邊形8FDE是平行四邊形，再通過證明可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)證明：???四邊形ABCC是平行四邊形，

：.AB=CD,ZBAD=ZBCD,

：.Zi^ZDCF,

在△ABE和△C￡＞尸中，

AE^CF

<Z1=NDCF,

AB^CD

:.△ABEqXCDF(SAS)；

(2)當NAB￡=10。時，四邊形BFOE是菱形,

理由如下：VAABE^ACDF,

：.BE=DF,AE=CF,

：.BF=DE,

...四邊形BFDE是平行四邊形，

,.,Zl=30°,N2=20°,

ZABD=Z1-Z2=1O°,

N￡)BE=20°,

NDBE=NEDB=20°,

：.BE=DE,

，平行四邊形BFDE是菱形,

故答案為10.

【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌

握菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

23.《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”.下面是其卷中記載關(guān)于“盈不足”的

一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數(shù)、金價各幾何？

這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩

余100錢.合伙人數(shù)、金價各是多少？請解決上述問題.

【答案】共33人合伙買金，金價為9800錢

【解析】

【分析】設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，根據(jù)“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出

300錢，會剩余100錢”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢,

'400x-3400=y

依題意得:

300x-100=y

x=33

解得:

y=9800

答：共33人合伙買金，金價為9800錢.

【點睛】本題考查了二元-次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出二元一

次方程組是解題的關(guān)鍵.

24.如表是第四至七次全國人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù).

我國大陸人口其中具有大學文每10萬大陸人口中具有

年份

總數(shù)化程度的人數(shù)大學文化程度的人數(shù)

1990年1133682501161246781422

2000年1265830000457100003611

2010年13397248521196367908930

2020年141177872421836076715467

（1）設(shè)下一次人口普查我國大陸人口共“人，其中具有大學文化程度有人人，則該次人

口普查中每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數(shù)為；（用含有。，。的代數(shù)式表示）

（2）如果將2020年大陸人口中具有各類文化程度（含大學、高中、初中、小學、其他）的

人數(shù)分布制作成扇形統(tǒng)計圖，求其中表示具有大學文化程度類別的扇形圓心角的度數(shù)；(精

確到1°)

(3)你認為統(tǒng)計“每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數(shù)”這樣的數(shù)據(jù)有什么好處？

(寫出一個即可)

l00QQ0Z?

【答案】(1)；(2)56°；(3)比較直觀的反應(yīng)出“每10萬大陸人口中具有大學

a

文化程度的人數(shù)”的大小，說明國民素質(zhì)和文化水平的情況

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數(shù)”的意義求解即可；

(2)求出2020年，“具有大學文化程度的人數(shù)”所占總?cè)藬?shù)的百分比，即可求出相應(yīng)的圓

心角度數(shù)；

(3)根據(jù)“每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數(shù)”的實際意義得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)由題意得，下一次人口普查中每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人

100000/?

故答案為:

218360767

(2)360°x___________?56°

1411778724~'

答：表示具有大學文化程度類別的扇形圓心角的度數(shù)大約為56。；

(3)比較直觀的反應(yīng)出“每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數(shù)”的大小，說明國民

素質(zhì)和文化水平的情況.

【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖,頻數(shù)分布表，掌握扇形統(tǒng)計圖的制作方法是正確解答的前提,

理解“每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數(shù)”的實際意義是正確判斷的關(guān)鍵.

25.如圖，點A和點E(2,1)是反比例函數(shù)y="(x>0)圖象上的兩點，點8在反比例函

x

數(shù)y=9(x<0)的圖象上，分別過點A,B作y軸的垂線，垂足分別為點CD,AC=BD,

x

連接A3交y軸于點F.

(1)k=___；

(2)設(shè)點A的橫坐標為a,點、F的縱坐標為m,求證：am-—2；

(3)連接CE,DE,當NCE￡>=90。時，直接寫出點A的坐標:

【解析】

【分析】(1)將E點坐標代入函數(shù)解析式即可求得k值；

(2)根據(jù)AAS可證ABCF絲△ACF,根據(jù)全等三角形面積相等即可得證結(jié)論；

226

(3)設(shè)A點坐標為(小則可得C(0,D(0,--),根據(jù)勾股定理求出。值,

aaa

即可求得A點的坐標.

【詳解】解：(1)???點E(2,1)是反比例函數(shù)y="(x>0)圖象上的點，

x

k

*?——1)

2

解得k=2,

故答案為：2；

(2)在ABO尸和△ACT7中，

ZACF=ZBDF

<ZCE4=NBFD,

AC=BD

：./\BDF^/\ACF(AAS),

??SGBDFSAACF，

1216

a即-ax(--m)=-ax(—!■〃?),

2a2a

整理得am=-2；

2

(3)設(shè)A點坐標為(a,—),

a

26

則C(0,一)，。(0,--),

aa

VE(2,1),ZCED=90°,

：.CE2+DE2=CD2,

2626

即2~+(1--)2+2~+(1H)2=(—H)2,

aaaa

解得a--2(舍去)或“=g,

.??A點的坐標為(1，g).

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等知識，

熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的特征是解題的關(guān)鍵.

26.如圖1,正方形ABC。的邊長為4,點P在邊8c上，。。經(jīng)過A,B,P三點.

(1)若BP=3,判斷邊CD所在直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,E是CD的中點，。。交射線AE于點Q,當AP平分NE43時，求tan/E4P

的值.

圖1圖2

【答案】(1)相切，見解析；(2)或二1

2

【解析】

【分析】(1)如圖1中，連接AP,過點。作0，_LA8于”，交CD于E.求出。E的長,

與半徑半徑，可得結(jié)論.

(2)如圖2中，延長AE交BC的延長線于T,連接PQ.利用面積法求出BP,可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖1-1中，連接AP,過點。作。HL48于H,交CD于E.

E

D.

圖1-1

?.?四邊形ABCQ是正方形，

：.AB=AD=4,ZABP=90°,

?'?AP=JAB?+BP?=V42+32=5,

"：OHVAB,

：.AH=HB,

'：OA=OP,AH=HB,

13

：.0H=—PB=—,

22

,：4D=4DAH=NAHE=90。,

四邊形矩形，

：.OELCE,EH=AD=4,

35

：.OE=EH=OH=4--=—,

22

：.OE=OP,

直線C￡＞與。O相切.

(2)如圖2中，延長A￡交BC的延長線于T,連接PQ.

圖2

VZD=Z￡C7'=90°,DE=EC,ZAED=ZTEC,

(ASA),

：.AD=CT=4f

???87=8C+CT=4+4=8,

*.?NA8T=90。，

???AT=NAB?+BT?=742+82=46，

???4尸是直徑，

，NAQP=90。，

YAI平分NE4B,PQ.LAQ.PBVAB,

:.PB=PQ,

設(shè)PB=PQ=x,

,?*5AABT=SAABP+SAAPT

/.—x4x8=—x4x/5xx+—x4xx,

2272

：.x=2亞-2,

PBx/5-1

；.tanNEAP=tanNPAB=——--------.

AB2

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正方形的性質(zhì)，解直角三角形、相似三角形判定

和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的證明方法：已知垂直證半徑，已知半徑證垂直，利

用三角形面積不同的表示方法構(gòu)建方程解決問題是難點.

27.將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A(-6,0),點8(0,

2),點C(-4,8),二次函數(shù)y=or2+fcv+c("0)的圖象經(jīng)過點A,B,該拋物線的對稱軸經(jīng)

過點C,頂點為D.

(1)求該二次函數(shù)的表達式及點。的坐標；

(2)點M在邊AC上(異于點A,C),將三角形紙片A5C折疊，使得點4落在直線上,

且點M落在邊BC上，點M的對應(yīng)點記為點N,折痕所在直線/交拋物線的對稱軸于點P,

然后將紙片展開.

①請作出圖中點M的對應(yīng)點N和折痕所在直線/；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖

痕跡)

②連接MP,NP,在下列選項中：A.折痕與AB垂直，B.折痕與MN的交點可以落在拋物

MN3MNr-

線的對稱軸上，C.—-=D.--=72-所有正確選項的序號是.

MP2MP

③點。在二次函數(shù)y=ox2+bx+c(存0)的圖象上，當AP。。?APMN時，求點。的坐標.

216

-§);(2)①見解析；②A,D；③⑵§)或(-

16

10,―)

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可.

（2）①根據(jù)要求作出圖形即可.

②如圖2中，設(shè)線段的垂直平分線交拋物線對稱軸于P,交MN于點Q,過點M作

MHLCD,過點。作QJJ_C。于J,QTLMH于T.想辦法證明△尸MN是等腰直角三角形,

可得結(jié)論.

③設(shè)P（-4,初）.由APDQs^PMN,APMN是等腰直角三角形，推出APOQ是等腰直角

210

三角形，推出/OPQ=90。，DP^PQ=m+-,推出。（-1+機，機），構(gòu)建方程求出，〃即

可.

【詳解】解（1）:二次函數(shù)y=，*+6x+c（厚0）的圖象經(jīng)過點4（-6,0）,點8（0,2）,且

拋物線的對稱軸經(jīng)過點C（-4,8）,

36a-6b+2-0

c=2

---b-=—4

2。

14

解之得：a=—,b=—,c=2.

63f

14c

.?y——X2+—X+2,

-63

1,42

.?.當x=-4時，)，=-x(-4)-+—x(T)+2=--

-633

2

"(-4,-

(2)①如圖1中，點M直線/即為所求.

②如圖2中，設(shè)線段MN的垂直平分線交拋物線對稱軸于P,交MN于點、Q,過點M作

MHLCD,過點。作QJLCD于J,QTLMH于T.

由題意A(-6,0),B(0,2),C(-4,8),

圖2

，直線AC的解析式為y=4x+24,直線48的解析式為尸;x+2,直線8C的解析式為y=

3

-----x+2,

2

?:MN"AB、

...可以假設(shè)直線MN的解析式為＞=1x+t,

3r-72

x----------

y=—x+t11

由.3解得＜

⑵一24

y=4x+24y=

11

3Z-72⑵一24

：.M(-------------),

11ii

3c12-6r

y=——x+2x=--------

211

由，.解得《

i4+9/

y=—x+ty=-----

3ii

12-6Z4+9f

：.N(

1111

—60—3/2k-20

2222

"：QJLCD,QTLMH,

-60-3r28-3，21/-2024/-4828-3/

：.QJ=-----------+4=---------,QT=

2222222222

:?QJ=QT,

?：NPJQ=NMTQ=90°,/QPJ=/QMT,QJ=QT,

:?APJQ義叢MTQ(AAS),

???PQ=MQ,

VZP2M=90°,

4PMN=NMPQ=45。,

■:PM=PN,

：./PMN=NPNM=45。,

：.NMPN=90。，

???△PMN是等腰直角三角形，

，理^=正，故選項。正確，B,C錯誤，

MP

:將三角形紙片ABC折疊，使得點4落在直線AB上，且點M落在邊8c上,

..?折痕與AB垂直，故選項A正確，

故答案為：4,D.

③設(shè)尸(-4,〃?).

圖3

■:XPDQsXPMN,△PMN是等腰直角三角形，

???△尸。。是等腰直角三角形，

2

???/。尸。=90。，DP=PQ=m+一,

210

??Q(-4+W4-—,m),即Q(——機),

把Q的坐標代入丁=,爐+31+2,得到，m=+m)2+-(-—+m)+2,

636333

整理得，97n2-42%-32=0,

解得機=孚或-I"(舍棄)，

33

.16、

?.Q(2,—),

3

根據(jù)對稱性可知Q'(-10,y)也滿足條件，

綜上所述，滿足條件的點。的坐標為(2,g)或(-10,y).

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三

角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，

證明△PMN是等腰直角三角形是本題的突破點.

28.如圖1,NA=NB=NC=ND=NE=/P=90。，AB,FE,OC為鉛直方向的邊，AF,

ED,BC為水平方向的邊，點E在AB,CD之間，且在AF,BC之間，我們稱這樣的圖形為

“L圖形"，記作'2圖形ABC-OEP”.若直線將L圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱

這樣的直線為該L圖形的面積平分線.

【活動】

小華同學給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2,將這個L圖形分成矩形AGEF、

矩形G8C￡>,這兩個矩形的對稱中心Oi,。2所在直線是該L圖形的面積平分線.請用無刻

度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線.(作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡)

圖1圖2

【思考】

如圖3,直線。1。2是小華作的面積平分線，它與邊BC,AF分別交于點M,N,過MN的中

點0的直線分別交邊BC,A尸于點P,。,直線PQ(填“是”或“不是"比圖形ABCDEF

的面積平分線.

圖3圖4

【應(yīng)用】

在L圖形ABCDE尸形中，已知AB=4,BC=6.

(1)如圖4,CD=AF^\.

①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P,Q,求PQ長的最大值；

②該乙圖形的面積平分線與邊48,CD分別相交于點G,H,當GH的長取最小值時，BG

的長為—.

(2)設(shè)空=，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與

AF

邊AB,CD相交的面積平分線，直接寫出f的取值范圍—.

31?

【答案】【活動】見解析；【思考】是；【應(yīng)用】(1)①遙；②:；(2)-<r<-

433

【解析】

【分析】［活動］如圖1,根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個矩形，這兩個矩形的對稱中心

。，02所在直線是該L圖形的面積平分線；

［思考］如圖2,證明△OQN絲△0PM(AAS),根據(jù)割補法可得直線PQ是力圖形ABCDEF

的面積平分線；

［應(yīng)用］

(1)①建立平面直角坐標系，分兩種情況：如圖3-1和3-2,根據(jù)中點坐標公式和待定

系數(shù)法可得面積平分線的解析式,并計算P和Q的坐標,利用兩點的距離公式可得PQ的長,

并比較大小可得結(jié)論；

②當時，G”最小，設(shè)BG=x,根據(jù)面積相等列方程，解出即可；

(2)如圖5,由已知得：CD=tAF,直線。E將圖形分成上下兩個矩形，當上矩形面積小于

下矩形面積時，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊A8,CD相

交的面積平分線，列不等式可得，的取值.

【詳解】解：【活動】如圖1,直線01。2是該L圖形的面積平分線；

圖1

【思考】如圖2,VZA=ZB=90°,

1\VQ/F

'PA/'

圖2

：.AF//BC,

：.ZNQO=ZMPO,

???點。是MN的中點，

：.ON=OM,

在AOQN和ZkOPM中，

ZNQO^ZMPO

<ZNOQ=4Mop,

ON=OW

:.△OQNQAOPM(44S),

??S>OQN=S〉OPM,

,:S梯形ABMN=SMNFEDC，

:?S梯形A8MN-S△OPM=SMNFEDC~S&OQN，

即SABPON=SCDEFQOM,

SABPON+S^OQN=SCD