+吉林省白山市撫松縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年吉林省白山市撫松縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm2．（3分）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，全國(guó)人民共同抗疫，下列4個(gè)防疫知識(shí)圖片是軸對(duì)稱圖形的圖片是（）A．打噴嚏捂口鼻 B．噴嚏后慎揉眼 C．勤洗手勤通風(fēng) D．戴口罩講衛(wèi)生3．（3分）如果把分式中的x和y的值都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 C．縮小到原來(lái)的 D．不變4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)4?a5＝a20 C．（a5）3＝a15 D．（﹣2a2）3＝﹣6a65．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．2 D．66．（3分）如圖，已知E，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)在一條直線上，∠A＝∠D，添加以下條件之一（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC7．（3分）甲、乙兩人做某種機(jī)械零件，已知甲做240個(gè)零件與乙做280個(gè)零件所用的時(shí)間相等，兩人每天共做130個(gè)零件．設(shè)甲每天做x個(gè)零件（）A．＝ B．＝ C．+＝130 D．﹣130＝8．（3分）利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab9．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，AC上，將△ADE沿DE折疊至△FDE位置，∠BDF＝120°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．135° B．130° C．125° D．120°10．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，D為BC的中點(diǎn)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜6），當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若分式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（3分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝．13．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）（﹣2，1），在x軸上存在點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和最小．15．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線EF交AB于點(diǎn)E，交直線CF于點(diǎn)F，CF＝6，△ABC的面積為50．二、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．（6分）計(jì)算：．17．（8分）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．18．（8分）先化簡(jiǎn)（﹣x+1）÷，再?gòu)末?，0，1中選擇合適的x值代入求值．19．（9分）如圖，一塊直徑為a+b的圓形鋼板，從中挖去直徑為a與b的兩個(gè)圓．（1）用含有a，b代數(shù)式來(lái)表示剩下鋼板的面積；（2）當(dāng)a＝30cm，b＝10cm時(shí)，剩下的鋼板的面積為多少？20．（10分）求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形（請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證、證明的過(guò)程）．21．（10分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A、B重合），BE⊥CD交CD所在的直線于點(diǎn)E（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，證明：AB＝FA+BD；（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出AB，BD三者之間數(shù)量關(guān)系．22．（11分）某茶店用4000元購(gòu)進(jìn)了A種茶葉若干盒，用8400元購(gòu)進(jìn)了B種茶葉若干盒，所購(gòu)B種茶葉比A種茶葉多10盒（Ⅰ）A，B兩種茶葉每盒進(jìn)價(jià)分別為多少元？（Ⅱ）若第一次所購(gòu)茶葉全部售完后，第二次購(gòu)進(jìn)A，B兩種茶葉共100盒（進(jìn)價(jià)不變），B種茶葉的售價(jià)是每盒400元，兩種茶葉各售出一半后，兩種茶葉均打七折銷售，全部售出后（不考慮其他因素），求本次購(gòu)進(jìn)A，B兩種茶葉各多少盒？23．（13分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC

2023-2024學(xué)年吉林省白山市撫松縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【分析】首先設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：6﹣3＜x＜4+3，解得：3＜x＜6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．2．（3分）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，全國(guó)人民共同抗疫，下列4個(gè)防疫知識(shí)圖片是軸對(duì)稱圖形的圖片是（）A．打噴嚏捂口鼻 B．噴嚏后慎揉眼 C．勤洗手勤通風(fēng) D．戴口罩講衛(wèi)生【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C均不能找到這樣的一條直線，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（3分）如果把分式中的x和y的值都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 B．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 C．縮小到原來(lái)的 D．不變【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【解答】解：由題意可得＝＝，即分式的值不變，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)4?a5＝a20 C．（a5）3＝a15 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、a2與a3不是同類項(xiàng)，不能合并；B、a7?a5＝a9，故此選項(xiàng)不符合題意；C、（a5）3＝a15，故此選項(xiàng)符合題意；D、（﹣2a6）3＝﹣8a6，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．5．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．3 B． C．2 D．6【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得．【解答】解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵6．（3分）如圖，已知E，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)在一條直線上，∠A＝∠D，添加以下條件之一（）A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC【分析】由EB＝CF，可得出EF＝BC，又有∠A＝∠D，本題具備了一組邊、一組角對(duì)應(yīng)相等，為了再添一個(gè)條件仍不能證明△ABC≌△DEF，那么添加的條件與原來(lái)的條件可形成SSA，就不能證明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A．添加∠E＝∠ABC，故A選項(xiàng)不符合題意．B．添加DE＝AB與原條件滿足SSA，故B選項(xiàng)符合題意；C．添加AB∥DE，根據(jù)AAS能證明△ABC≌△DEF；D．添加DF∥AC，根據(jù)AAS能證明△ABC≌△DEF；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．7．（3分）甲、乙兩人做某種機(jī)械零件，已知甲做240個(gè)零件與乙做280個(gè)零件所用的時(shí)間相等，兩人每天共做130個(gè)零件．設(shè)甲每天做x個(gè)零件（）A．＝ B．＝ C．+＝130 D．﹣130＝【分析】設(shè)甲每天做x個(gè)零件，根據(jù)甲做240個(gè)零件與乙做280個(gè)零件所用的時(shí)間相同，列出方程即可．【解答】解：設(shè)甲每天做x個(gè)零件，根據(jù)題意得：，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．本題用到的等量關(guān)系為：工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率．8．（3分）利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab【分析】根據(jù)圖形，左上角正方形的面積等于大正方形的面積減去兩個(gè)矩形的面積，然后加上多減去的右下角的小正方形的面積．【解答】解：左上角正方形的面積＝（a﹣b）2，還可以表示為a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】正確列出正方形面積的兩種表示是得出公式的關(guān)鍵，也考查了對(duì)完全平方公式的理解能力．9．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，AC上，將△ADE沿DE折疊至△FDE位置，∠BDF＝120°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．135° B．130° C．125° D．120°【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由鄰補(bǔ)角定義可解得∠ADF＝60°，繼而解得，再由三角形內(nèi)角和180°解得∠DEA＝135°，最后由折疊的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由題意得，∠ADE＝∠FDE，∵∠BDF＝120°，∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°，∴，∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°，∵△ADE沿DE折疊至△FDE位置，∴∠DEF＝∠DEA＝135°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，D為BC的中點(diǎn)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t＜6），當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的長(zhǎng)，由D為BC的中點(diǎn)，可求得BD的長(zhǎng)，然后分別從若∠DEB＝90°與若∠EDB＝90°時(shí)，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝8（cm），∵BC＝2cm，D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝BC＝1（cm），若∠BED＝90°，當(dāng)A→B時(shí)，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝，∴t＝7.5，當(dāng)B→A時(shí)，t＝4+6.5＝4.5．若∠BDE＝90°時(shí)，當(dāng)A→B時(shí)，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝5﹣2＝2，當(dāng)B→A時(shí)，t＝5+2＝6（舍去）．綜上可得：t的值為3或3.5或4.5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若分式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≠7．【分析】根據(jù)分式有意義的條件解答即可．【解答】解；∵分式，∴x﹣5≠0，解得x≠7．故答案為：x≠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．12．（3分）因式分解：m3﹣6m2+9m＝m（m﹣3）2．【分析】先提公因式，再利用公式法進(jìn)行分解即可．【解答】解：m3﹣6m3+9m＝m（m2﹣7m+9）＝m（m﹣3）2，故答案為：m（m﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解，求出公因式，掌握公式法的結(jié)果特征是正確分解因式的關(guān)鍵．13．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意（n﹣2）?180°＝2×360°，解得，n＝2．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式，多邊形的外角和．關(guān)鍵是根據(jù)題意利用多邊形的外角和及內(nèi)角和之間的關(guān)系列出方程求邊數(shù)．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）（﹣2，1），在x軸上存在點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和最小（﹣1，0）．【分析】作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交x軸于P，則此時(shí)AP+BP最小，求出C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y＝kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交x軸于P，∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），3），∴C（2，﹣3），設(shè)直線BC的解析式是：y＝kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入得：解得．即直線BC的解析式是y＝﹣x﹣7，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣1＝2，解得：x＝﹣1，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，4）．故答案為：（﹣1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能找出P點(diǎn)，題目具有一定的代表性，難度適中．15．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線EF交AB于點(diǎn)E，交直線CF于點(diǎn)F，CF＝6，△ABC的面積為5010．【分析】根據(jù)ASA即可判定△AED≌△CFD，得出AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，根據(jù)等高的三角形面積比等于高所在的邊的比得出S△AED＝S△ABD，S△ABD＝S△CBD＝S△ABC，據(jù)此即可得解．【解答】解：∵點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCD，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，∵BE＝9，CF＝6，∴AE＝6，∴AB＝AE+BE＝15，∴AE＝AB，∴S△AED＝S△ABD，∵D為AC邊的中點(diǎn)，△ABC的面積為50，∴S△ABD＝S△CBD＝S△ABC＝25，∴S△ADE＝S△CDF＝×25＝10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△AED≌△CFD得出S△ADE＝S△CDF是解題的關(guān)鍵．二、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．（6分）計(jì)算：．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17．（8分）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．【分析】要證BD＝CE只要證明AD＝AE即可，而證明△ABE≌△ACD，則可得AD＝AE．【解答】證明：在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴AD＝AE．∴AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．本題得出三角形全等后，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得線段相等．18．（8分）先化簡(jiǎn)（﹣x+1）÷，再?gòu)末?，0，1中選擇合適的x值代入求值．【分析】先算括號(hào)內(nèi)的加法和減法，把除法變成乘法，算乘法，最后求出答案即可．【解答】解：（﹣x+8）÷＝[﹣（x﹣1）]÷＝?＝?＝，∵分式的分母x+5≠0，x2﹣7≠0，x2+7x+1≠0，解得：x≠±5，∴取x＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．19．（9分）如圖，一塊直徑為a+b的圓形鋼板，從中挖去直徑為a與b的兩個(gè)圓．（1）用含有a，b代數(shù)式來(lái)表示剩下鋼板的面積；（2）當(dāng)a＝30cm，b＝10cm時(shí)，剩下的鋼板的面積為多少？【分析】（1）由大圓面積減去兩個(gè)小圓的面積表示出剩下的鋼板面積即可；（2）表示出的面積化簡(jiǎn)后，將a與b的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）由題意得：剩下的鋼板面積為π（）2﹣π（）2﹣π（）7＝（a+b）2﹣﹣＝（a2+2ab+b2﹣a2﹣b4）＝（cm2）；（2）把a(bǔ)＝30cm，b＝10cm代入得：原式＝2）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（10分）求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形（請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證、證明的過(guò)程）．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，即可寫(xiě)出已知、求證，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可證明．【解答】已知：如圖：∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC，AE∥BC．求證：△ABC為等腰三角形．證明：∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠EAC＝∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠EAD＝∠EAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定、平行線的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫(huà)出圖形．21．（10分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A、B重合），BE⊥CD交CD所在的直線于點(diǎn)E（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，證明：AB＝FA+BD；（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出AB，BD三者之間數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）易證∠FBA＝∠FCE，結(jié)合條件容易證到△FAB≌△DAC，從而有FA＝DA，就可得到AB＝AD+BD＝FA+BD．（2）由于點(diǎn)D的位置在變化，因此線段AF、BD、AB之間的大小關(guān)系也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，只需畫(huà)出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問(wèn)題．【解答】證明：（1）∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°，∴∠FBA＝∠FCE，∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∴∠FAB＝∠DAC，在△FAB和△DAC中，，∴△FAB≌△DAC（ASA），∴FA＝DA，∴AB＝AD+BD＝FA+BD，∴BD＝AB﹣AF；（2）解：（1）中的結(jié)論不成立．點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB＝AF﹣BD，AB＝BD﹣AF．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．同理可得：FA＝DA．則AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．②點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3．同理可得：FA＝DA．則AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，當(dāng)條件沒(méi)有改變僅僅是圖形的位置發(fā)生變化時(shí)，常常可以通過(guò)借鑒已有的解題經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題．22．（11分）某茶店用4000元購(gòu)進(jìn)了A種茶葉若干盒，用8400元購(gòu)進(jìn)了B種茶葉若干盒，所購(gòu)B種茶葉比A種茶葉多10盒（Ⅰ）A，B兩種茶葉每盒進(jìn)價(jià)分別為多少元？（Ⅱ）若第一次所購(gòu)茶葉全部售完后，第二次購(gòu)進(jìn)A，B兩種茶葉共100盒（進(jìn)價(jià)不變），B種茶葉的售價(jià)是每盒400元，兩種茶葉各售出一半后，兩種茶葉均打七折銷售，全部售出后（不考慮其他因素），求本次購(gòu)進(jìn)A，B兩種茶葉各多少盒？【分析】（Ⅰ）設(shè)A種茶葉每盒進(jìn)價(jià)為x元，則B種茶葉每盒進(jìn)價(jià)為1.4x元，根據(jù)用8400元購(gòu)買的B種茶葉比用4000元購(gòu)買的A種茶葉多10盒，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（II）設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)A種茶葉m盒，則購(gòu)進(jìn)B種茶葉（100﹣m）盒，根據(jù)總利潤(rùn)＝每盒的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（I）設(shè)A種茶葉每盒進(jìn)價(jià)為x元，則B種茶葉每盒進(jìn)價(jià)為1.4x元，依題意，得：﹣，解得：x＝200，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝200是原方程的解，∴1.6x＝280．答：A種茶葉每盒進(jìn)價(jià)為200元，B種茶葉每盒進(jìn)價(jià)為280元．（II）設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)A種茶葉m盒，則購(gòu)進(jìn)B種茶葉（100﹣m）盒，依題意，得：（300﹣200）×+（400﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次購(gòu)進(jìn)A種茶葉40盒，B種茶葉60盒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程23．（13分）（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）如圖2