小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一吳正憲〔北京教育科學(xué)研究院〕王彥偉〔北京東城區(qū)教師研修中心〕張杰〔北京東城區(qū)教育研修學(xué)院〕2023版課標(biāo)終于要公布了，新課標(biāo)修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何〞這個(gè)領(lǐng)域的變化。新課標(biāo)在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個(gè)核心概念。主要有空間觀念、幾何直觀、推理能力等。空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如下列圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。案例：《打》如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時(shí)間，能使多少人收到通知？大膽的猜想一下。下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點(diǎn)以圖形的形式，來描述打來通知這件事情，設(shè)計(jì)方案。通過這個(gè)數(shù)圖就把這個(gè)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，很簡明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個(gè)圖本身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個(gè)人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否那么你算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點(diǎn)，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能力的開展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的根本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)〔包括定義、公理、定理等〕和確定的規(guī)那么〔包括運(yùn)算的定義、法那么、順序等〕出發(fā)，按照邏輯推理的法那么證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。通過對一線教師的訪談，查閱資料，把老師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個(gè)大話題。討論話題：1．如何在觀察、操作中“認(rèn)識圖形〞抽象出圖形特征，開展空間觀念？2．如何以“圖形的測量〞為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實(shí)際意義，了解掌握測量的根本方法，并在具體問題中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)墓罍y？從而開展學(xué)生的空間觀念與推理能力？3．如何通過“圖形的運(yùn)動〞探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法，開展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣？4．如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位置〞的方法，開展學(xué)生的空間觀念和推理能力？話題一、圖形的認(rèn)識——抽象圖形特征，開展空間觀念問題一、新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？這次新課標(biāo)修訂后圖形的認(rèn)識局部都包括哪些內(nèi)容？有什么新的變化？課標(biāo)修訂前后立體圖形的認(rèn)識局部內(nèi)容的比照：

修訂前修訂后第一學(xué)段〔1〕通過實(shí)物和模型識別長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形。

〔2〕識別從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀。［參見例1］

〔3〕識別長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。

〔4〕通過觀察、操作，能用自己的語言描述長方形、正方形的特征。

〔5〕會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。

〔6〕結(jié)合生活情境認(rèn)識角，會識別直角、銳角和鈍角。

〔7〕能對簡單幾何體和圖形進(jìn)行分類。

1.能通過實(shí)物和模型識別長方體、正方體、圓柱和球等幾何體。2.能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖識別從不同角度觀察到的簡單物體〔參見例11〕。3.能識別長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4.通過觀察、操作，初步認(rèn)識長方形、正方形的特征。5.會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6.結(jié)合生活情境認(rèn)識角，了解直角、銳角和鈍角。7.能對簡單幾何體和圖形進(jìn)行分類〔參見例20〕。

第二學(xué)段〔1〕了解兩點(diǎn)確定一條直線和兩條相交直線確定一個(gè)點(diǎn)。

〔2〕能區(qū)分直線、線段和射線。

〔3〕體會兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知道兩點(diǎn)間的距離。

〔4〕知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。

〔5〕結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交〔包括垂直〕關(guān)系。

〔6〕通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，會用圓規(guī)畫圓。

〔7〕認(rèn)識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。

〔8〕認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

〔9〕通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。

〔10〕能識別從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。［參見例1］1．結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線。2．體會兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知道兩點(diǎn)間的距離。3．知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4．結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交〔包括垂直〕關(guān)系。5．通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。6．認(rèn)識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。7．認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8．能識別從不同方向〔前面、側(cè)面、上面〕看到的物體的形狀圖〔參見例32〕。9．通過觀察、操作，認(rèn)識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖。

從這個(gè)表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認(rèn)識局部只有一些細(xì)小的變化，圖形與幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形〞為“圖形與幾何〞；重提幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力、邏輯思維能力，用詞更加標(biāo)準(zhǔn)，表達(dá)了課標(biāo)的嚴(yán)肅。<標(biāo)準(zhǔn)>的〞圖形與幾何〞第一、二學(xué)段仍分為四局部，具體表示有所變動，〔1〕圖形的認(rèn)識，〔2〕測量，〔3〕圖形的運(yùn)動〔修改稿：圖形與變換〕，〔4〕圖形與位置。圖形的運(yùn)動〞強(qiáng)調(diào)了圖形的運(yùn)動是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運(yùn)動也是一種根本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)刪除“兩點(diǎn)確定一條直線〞和“兩條直線確定一個(gè)點(diǎn)〞?！皥D形與幾何〞領(lǐng)域，將幾何學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生生活的空間，強(qiáng)調(diào)空間和圖形知識的現(xiàn)實(shí)背景，從第一學(xué)段開始使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新《標(biāo)準(zhǔn)》突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認(rèn)識方向、制作模型等活動，開展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計(jì)與推理〔合情推理與演繹推理〕的能力。新《標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一內(nèi)容。扇形的認(rèn)識，《大綱》〔修訂版〕教材作為選學(xué)內(nèi)容，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中沒有認(rèn)識扇形的要求。認(rèn)識扇形在《課標(biāo)修改稿》中確實(shí)沒有做要求，但在“統(tǒng)計(jì)與概率〞局部卻明確提出了通過實(shí)例認(rèn)識扇形統(tǒng)計(jì)圖的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，考慮到知識的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認(rèn)識扇形統(tǒng)計(jì)圖的需要，《課標(biāo)修訂稿》在認(rèn)識圓的根底上，增加了初步認(rèn)識扇形。簡單說對圖形認(rèn)識的要求主要包括兩個(gè)方面：一是對圖形自身特征的認(rèn)識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識。在三個(gè)學(xué)段中，認(rèn)識同一個(gè)或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“識別〞到“初步認(rèn)識〞，再從“認(rèn)識〞到“探索并證明〞。例如，對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學(xué)段要求“識別〞；第二學(xué)段要求“認(rèn)識〞；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。又如，對于平行四邊形，第一學(xué)段要求“識別〞；第二學(xué)段要求“認(rèn)識〞；第三學(xué)段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理〞。再如，三角形內(nèi)角和的例子：關(guān)于“視圖〞，第一學(xué)段要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖識別從不同角度觀察到的簡單物體〞；第二學(xué)段要求“能識別從不同方向〔前面、側(cè)面、上面〕看到的物體的形狀圖〞；第三學(xué)段要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體〞。這種要求的層次性，既表達(dá)了從整體到局部的認(rèn)識過程；也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，逐漸深入、循序漸進(jìn)。對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認(rèn)識。第一學(xué)段的“了解直角、銳角和鈍角〞；第二學(xué)段的“體會兩點(diǎn)間所有連線中線段最短〞；“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系〞；“了解三角形兩邊之和大于第三邊〞；第三學(xué)段的“會比擬線段的長短〞，“能比擬角的大小〞等，都是對圖形大小關(guān)系的研究。點(diǎn)與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關(guān)系。圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程內(nèi)容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似那么還涉及到了圖形的位置關(guān)系。在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的開展是有層次的，荷蘭范.希爾夫婦對學(xué)生幾何思維水平的研究說明了從直觀識別到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認(rèn)知水平主要分為五級：水平1：直觀化；水平2：描述/分析；水平3：抽象/關(guān)聯(lián)；水平4：演繹/形式化推理；水平5：嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)表達(dá)，四五水平是在中學(xué)表達(dá)的。這和我們課標(biāo)的要求也是一致。圖形認(rèn)識的教學(xué)先明確兩點(diǎn)：一是這局部內(nèi)容屬于圖形認(rèn)識的哪個(gè)水平，前后繼知識各是什么；二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個(gè)什么階段，要通過你的教學(xué)到達(dá)什么階段。問題二、小學(xué)階段對于“圖形的認(rèn)識〞這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個(gè)編排體系的？第一，現(xiàn)在的教材，在圖形的認(rèn)識當(dāng)中，是先講立體，再講平面，再回到立體。從歷史開展過程上看，實(shí)際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點(diǎn)、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個(gè)世紀(jì)90年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當(dāng)時(shí)要改？因?yàn)楫?dāng)時(shí)很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比擬低，認(rèn)識起來比擬困難。這局部是個(gè)難點(diǎn)，分階段安排可以分散難點(diǎn)。第二，實(shí)際上一個(gè)人是生活在三維空間當(dāng)中，一個(gè)嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實(shí)際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個(gè)過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實(shí)物的模型的。那在這種情況之下，低年級孩子，剛開始初步的認(rèn)識立體圖形是有可能的。所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個(gè)長期的反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以當(dāng)時(shí)的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認(rèn)識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形?，F(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求識別，到第二學(xué)段要求是認(rèn)識。也就是現(xiàn)在教材是“體－形－體〞的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)問題三、怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？第一、通過對實(shí)物的觀察與操作認(rèn)識圖形第一學(xué)段要求“能通過實(shí)物和模型識別長方體、正方體、圓柱和球等幾何體〞、“通過觀察、操作，初步認(rèn)識長方形、正方形的特征〞；第二學(xué)段要求“結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線〞、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交〔包括垂直〕關(guān)系〞等，這些要求的共同特點(diǎn)是通過觀察與操作認(rèn)識圖形，直觀地、整體地認(rèn)識立體圖形和平面圖形。從對實(shí)物的觀察與操作過程中來認(rèn)識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)要求。這樣的過程有助于學(xué)生開展能力，初步體會數(shù)學(xué)的思想方法，開展積極的情感與態(tài)度。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球…都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象。基于這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以從認(rèn)識立體圖形開始，“通過實(shí)物和模型等識別長方體、正方體、圓柱和球等幾何體〞?！白R別〞是認(rèn)識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗(yàn)有所不同，它要經(jīng)歷從實(shí)物到幾何圖形的抽象過程。從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的外表，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實(shí)物到圖形，從整體到局部的安排，揭示了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。第二學(xué)段要求“結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線〞、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交〔包括垂直〕關(guān)系〞。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實(shí)中沒有“直線〞的實(shí)物原型，這就需要學(xué)生進(jìn)行抽象與想象。認(rèn)識線段要容易一些，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中有“線段〞的實(shí)物原型。類似的，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)系也比擬困難，可以利用兩根鐵軌作為實(shí)物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實(shí)，都揭示了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實(shí)物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生開展抽象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，開展空間觀念新教材內(nèi)容編排上增加了“視圖和投影、展開與折疊〞等內(nèi)容。視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當(dāng)中，增加了觀察物體，這局部在課標(biāo)上有兩個(gè)要求。第一個(gè)學(xué)段的要求是根據(jù)具體事物照片或直觀圖，識別從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，這是識別。很多教材里面是這樣，有的是拿個(gè)實(shí)物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時(shí)候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個(gè)學(xué)段的要求能識別從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個(gè)形狀圖實(shí)際上就是一個(gè)平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個(gè)投影，也就是拍照。例如拍照的結(jié)果，雖然不是真正意義上的視圖，但是它確實(shí)實(shí)現(xiàn)了，把三維空間向二維空間的一個(gè)轉(zhuǎn)化的過程，這是過去小學(xué)沒有的，現(xiàn)在有了，這兩個(gè)階段的目標(biāo)要到達(dá)，就為第三學(xué)段的正式的視圖和投影打下比擬好的根底?！罢郫B〞和“展開〞，過去教材也有，長方體、正方體、圓柱體的展開圖。但是這個(gè)做法現(xiàn)在要加強(qiáng)，而且在進(jìn)行折疊和展開當(dāng)中，操作過程，必須要通過兒童的想象，這個(gè)過程本有什么實(shí)際意義呢？這是讓孩子們認(rèn)識到，立體圖形的結(jié)構(gòu)和展開圖之間的這種對應(yīng)關(guān)系。怎么讓他來認(rèn)識這個(gè)對應(yīng)關(guān)系呢？例如，“正方體展開圖〞課例。通過課例可以看到，孩子可以折一折，通過操作找到結(jié)果；也可以不折，先想一想，我們提倡先想象，再動手驗(yàn)證，這樣有利于開展學(xué)生的空間想象力，促進(jìn)空間觀念的形成。讓學(xué)生操作的時(shí)候，它不是一個(gè)簡單的操作，首先得想象一下，可能會是什么樣子，然后再通過操作，去驗(yàn)證自己的想法，而這個(gè)過程，學(xué)生參與這個(gè)想象，包括動手操作，包括把這個(gè)過程表現(xiàn)出來，是非常重要的。讓學(xué)生的這種想象也好，操作也好，實(shí)際上進(jìn)一步理解，我們講三維和兩維之間的這樣一種關(guān)系，就是你講的對應(yīng)關(guān)系，是經(jīng)歷了下面過程?！罢J(rèn)識長方體、正方體和圓柱的展開圖〞，表達(dá)了三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，目標(biāo)是在圖形轉(zhuǎn)換中引導(dǎo)學(xué)生觀察、抽象、想象，開展空間觀念。教學(xué)中應(yīng)注重展開與折疊的操作過程，通過想象實(shí)現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。認(rèn)識圖形過程中大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，開展學(xué)生空間觀念教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的重視。話題二、圖形的測量——滲透度量意識，掌握測量方法一、如何以“圖形的測量〞為載體，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實(shí)際意義，滲透度量意識?！惨弧呈箤W(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性在教學(xué)長度單位的認(rèn)識時(shí)，經(jīng)常有老師問為什么要講統(tǒng)一單位？原來的教學(xué)中學(xué)生就是直接認(rèn)識長度單位，學(xué)習(xí)度量單位有什么價(jià)值？下面以人教版教材為例談一談：二年級學(xué)生第一次學(xué)習(xí)長度單位，教材呈現(xiàn)的例1，并沒有上來就認(rèn)識厘米，而是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)活動的情境：讓學(xué)生測量數(shù)學(xué)書封面，有的學(xué)生用兩個(gè)硬幣或者兩個(gè)三角形，兩個(gè)曲別針進(jìn)行測量。這個(gè)活動使學(xué)生感受用不同的測量工具，測量出不同的物體長度。然后例2是開始學(xué)習(xí)厘米的認(rèn)識。《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段要求“結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。〞這種要求對面積、體積的單位也同樣適用。度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個(gè)別的、特殊的測量活動成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應(yīng)用和交流的前提。因此，在課程的實(shí)施過程中，應(yīng)該為學(xué)生提供必要的時(shí)機(jī)，鼓勵學(xué)生選擇不同的方法進(jìn)行測量，并在相互交流的過程中發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)不同的方法，不同單位的選擇對測量結(jié)果的影響，進(jìn)而體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。例如，海淀區(qū)中關(guān)村三小鮑海影老師執(zhí)教的《厘米的認(rèn)識》一課，學(xué)生在活動中充分體會了統(tǒng)一度量單位的重要性。鮑老師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境，先鼓勵學(xué)生采用不同的方法去測量相同的長度，有的學(xué)生用手量，有的用自己的鉛筆量，還有可能用自己桌上的橡皮去量，由于采用了不同的測量工具，所得的結(jié)論，當(dāng)然是不同的了。比方說，有的同學(xué)測量的是三扎長，有的同學(xué)可能測量的是五根鉛筆這么長，還有的同學(xué)測量的是15塊橡皮那么長。學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)，當(dāng)同學(xué)們你說你的結(jié)果，我說我的結(jié)果，彼此間就無法交流。通過這個(gè)活動讓學(xué)生深刻地體會到度量單位需要統(tǒng)一，否那么它會給生活帶來不便。這時(shí)，學(xué)生有一個(gè)共同的心里需求，即要使測量結(jié)果讓大家都接受，就必須要有一個(gè)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)單位。學(xué)生產(chǎn)生了這種需求，然后再來學(xué)習(xí)長度單位。建立標(biāo)準(zhǔn)度量單位，有助于學(xué)生從知識本身的邏輯體系出發(fā)，對建立標(biāo)準(zhǔn)單位的意義有客觀地認(rèn)識。教材這樣編排，不僅突出了統(tǒng)一單位的重要性，也表達(dá)了一種數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，揭示了度量單位是怎么發(fā)生開展，又是怎么推動社會的前進(jìn)的?！?023版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)，要結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式，測量物體長度的過程，讓學(xué)生去體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。所以教師在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)該堅(jiān)持把讓學(xué)生體會了統(tǒng)一度量單位的重要性這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)好，讓學(xué)生經(jīng)歷完整“度量單位〞的從形成到產(chǎn)生的過程。由此看來，關(guān)于讓學(xué)生體會建立統(tǒng)一的度量單位的重要性，不僅要在長度的測量中給予關(guān)注，在面積和體積的測量中，仍要讓學(xué)生去感受?！捕呈箤W(xué)生理解與把握度量單位的實(shí)際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段要求“在實(shí)踐活動中，體會并認(rèn)識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進(jìn)行簡單的單位換算，能恰當(dāng)?shù)剡x擇長度單位〞。進(jìn)行單位之間的換算，不能靠機(jī)械地記憶換算公式和反復(fù)操練，而是要能夠體會單位之間的實(shí)際關(guān)系，這就涉及到了對單位的理解。長度〔類似的，面積、體積〕單位不僅僅是一個(gè)抽象的概念，對它的體會和認(rèn)識應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐活動，體驗(yàn)它的實(shí)際意義。例如，生活中哪些物體的長度大約為1米，1厘米的長度可以用什么熟悉的物體來估計(jì)，哪些物體的重量大約是1千克，哪些物體的體積大約是1立方米等。對單位的實(shí)際意義的理解，還表達(dá)在對測量結(jié)果、對量的大小或關(guān)系的感悟。關(guān)于對度量單位的認(rèn)識，要結(jié)合實(shí)際例子體會度量單位的大小，比方，一個(gè)成人的身高為175〔〕，應(yīng)中選擇cm而不是mm作為單位，這是對認(rèn)識長度單位地深化理解。再如“北京到南京的鐵路長約1000〔〕〞，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會選擇適宜的度量單位；要用實(shí)物感知度量單位的大小，如“一米約相當(dāng)于〔〕根鉛筆長〞，強(qiáng)化學(xué)生對度量單位地感知；還應(yīng)關(guān)注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，例如，理解1平方分米=100平方厘米，可以借助圖形〔10×10的方格，每個(gè)方格為1平方厘米〕，也可以借助等式1平方分米=1分米×1分米=10厘米×10厘米=100平方厘米，防止學(xué)生死記硬背單位之間的換算關(guān)系?？傊诰唧w的問題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進(jìn)行測量測量是從人類的生產(chǎn)、生活實(shí)際需要中產(chǎn)生的，學(xué)習(xí)測量的目的是為了實(shí)際的應(yīng)用。在明確實(shí)際測量的對象后，選擇恰當(dāng)?shù)亩攘繂挝?、測量工具及方法關(guān)系到測量能否方便、可操作地進(jìn)行、影響著測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。比方，用直尺測量黑板的長度是不錯的選擇，用它測量一棟大樓的長度就不是上策了…學(xué)生只有在親身實(shí)踐中才能積累選擇度量單位、測量工具和具體方法的經(jīng)驗(yàn)。二、如何幫助學(xué)生在圖形測量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的根本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。關(guān)于規(guī)那么圖形的度量公式，《標(biāo)準(zhǔn)》要求探索并掌握長方形、正方形的周長公式；探索并掌握長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題；探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和外表積以及圓錐體積的計(jì)算方法，并能解決簡單的實(shí)際問題?！稑?biāo)準(zhǔn)》還要求探索不規(guī)那么圖形的周長、面積、體積。例如，測量簡單圖形的周長、會用方格紙估計(jì)不規(guī)那么圖形的面積、體驗(yàn)?zāi)承?shí)物〔如土豆等〕體積的測量方法等，通過這樣的測量，學(xué)生不僅能進(jìn)一步加深對度量意義的理解，而且能在運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的過程中，體會學(xué)科之間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)思想〔如微積分的思想〕。同時(shí)，課程內(nèi)容要反映數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、開展和應(yīng)用的過程中，是根底知識的靈魂，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。那么，在教學(xué)圖形測量這局部內(nèi)容時(shí)，如何滲透數(shù)學(xué)思想呢？下面結(jié)合一些具體案例來闡述。1.以圖形測量公式推導(dǎo)為載體，讓學(xué)生在操作、實(shí)踐中感悟“轉(zhuǎn)化〞、“極限〞、“函數(shù)〞和“積分〞的數(shù)學(xué)思想。在直邊圖形公式的推導(dǎo)過程中，教師經(jīng)常讓學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行操作活動，將新圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，從而找到新舊兩個(gè)圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，推導(dǎo)出計(jì)算公式，在這個(gè)過程中巧妙地滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。圓是第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)的平面圖形中唯一的一個(gè)曲線圖形，是學(xué)生第一次了解π這個(gè)無理數(shù),是學(xué)生第一次正式接觸并運(yùn)用極限的數(shù)學(xué)思想來解決曲線的長度和圓形的面積等問題，因此對圓的周長以及面積的探索具有一定的挑戰(zhàn)性，這個(gè)過程的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力，獲得根本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體會〞轉(zhuǎn)化〞、“極限〞和“函數(shù)〞的思想。案例1：圓的周長公式的推導(dǎo)化曲為直--------轉(zhuǎn)化思想我們只需得到圓的周長和直徑有什么關(guān)系就可以了，那么我們又該怎樣研究周長與直徑的關(guān)系呢？老師給每組同學(xué)準(zhǔn)備了不同的實(shí)物：有圓紙片、紙杯或硬幣。拿出來，就你們小組的實(shí)驗(yàn)材料，誰來說說怎樣得到我們所需要的數(shù)據(jù)〔尤其是周長的數(shù)據(jù)〕？〔討論〕為什么要繞線？為什么要滾動？〔化曲為直〕活動二：在圓的周長教學(xué)中，向?qū)W生介紹“割圓術(shù)〞，讓學(xué)生經(jīng)歷正多邊形到圓的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察體驗(yàn)，隨著邊數(shù)越來越多，正多邊形越來越像圓，感受極限思想。然后又化曲為直：割之彌補(bǔ)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，那么與圓合體，而無所失矣?；顒尤簻y量尋找周長與直徑的關(guān)系-------函數(shù)思想在測量圓的周長和直徑填寫數(shù)據(jù)的過程中，感受直徑變，圓的大小變，周長也隨之變化，而它們的倍數(shù)關(guān)系不變，從而讓學(xué)生體會到函數(shù)思想。通過課件形象直觀的演示周長和直徑的關(guān)系，體會函數(shù)思想。案例2：圓的面積公式的推導(dǎo)圓面積的探究活動活動設(shè)計(jì):學(xué)生利用手中學(xué)具，獨(dú)立探究，小組合作，探索圓面積的計(jì)算方法。核心問題：給學(xué)生提供幾張圓形的紙片，小組合作探究，如何計(jì)算圓的面積？這一活動的設(shè)計(jì)，給了學(xué)生充分的探究空間。通過對學(xué)生情況的把握，以及學(xué)生所經(jīng)歷的前面一系列認(rèn)識和周長的教學(xué)活動，可以充分相信學(xué)生有自主探究的能力。通過圓面積的探究活動，使學(xué)生在親身經(jīng)歷中體會轉(zhuǎn)化的研究方法和極限的重要數(shù)學(xué)思想。圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形--------轉(zhuǎn)化思想(課件演示)通過以上案例地分析，可以看出，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、開展和應(yīng)用的過程中，是根底知識的靈魂，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。同時(shí)在度量圖形的過程中組織學(xué)生進(jìn)行大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累根本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。掌握規(guī)那么圖形的周長、面積和體積公式，仍然是圖形測量內(nèi)容的重要方面，以往我們的教學(xué)將主要精力放在套用公式進(jìn)行計(jì)算上，以至于將這局部內(nèi)容簡單地處理為計(jì)算問題。實(shí)際上，對于規(guī)那么圖形周長、面積和體積公式的探索和應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生靈活運(yùn)用多種策略和方法解決實(shí)際問題，并且對于學(xué)生認(rèn)識圖形的特征和圖形間的相互關(guān)系，開展空間觀念也是大有好處的。學(xué)生在操作活動中，經(jīng)歷探索從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法，在體驗(yàn)解決問題方法多樣性的過程中創(chuàng)新意識也得到開展。三、如何在圖形測量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識和能力，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。估測或估計(jì)是《標(biāo)準(zhǔn)》突出強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。估測或估計(jì)，既是一種意識的表達(dá)，也是一種能力的表現(xiàn)；不僅具有現(xiàn)實(shí)的意義，而且也有助于學(xué)生感受度量單位的大小。估測與精確測量之間有著密切的關(guān)系。生活中精確測量的結(jié)果有時(shí)需要用估計(jì)的方法來感受，對事物進(jìn)行估計(jì)時(shí)那么需要對度量單位很好的認(rèn)識與把握、對圖形度量知識的掌握，以及需要具有一定的空間觀念。估測的意識和能力是在實(shí)踐中開展起來的?！稑?biāo)準(zhǔn)》要求“能估測一些物體的長度，并進(jìn)行測量〞，并給出具體的實(shí)踐任務(wù)“測量并計(jì)算一張給定正方形紙的面積，利用結(jié)果估計(jì)課桌面的面積；測量步長，利用步長估計(jì)教室的面積〞。這樣，把測量與面積計(jì)算有機(jī)地結(jié)合起來，有利于學(xué)生體會估測的作用以及估測的方法?！稑?biāo)準(zhǔn)》還要求探索不規(guī)那么圖形的周長、面積、體積。例如，測量簡單圖形的周長、會用方格紙估計(jì)不規(guī)那么圖形的面積、體驗(yàn)?zāi)承?shí)物〔如土豆等〕體積的測量方法等。教材在學(xué)生積累了足夠的實(shí)際測量經(jīng)驗(yàn)后，為學(xué)生提供了先估測再實(shí)測的練習(xí)，讓學(xué)生比擬估測與實(shí)際測量所得結(jié)果的差異，從而修正自己的估測策略。案例:測量不規(guī)那么圖形的面積圖中每個(gè)小方格為1個(gè)面積單位，試估計(jì)曲線所圍成的面積。如圖一:教師們對此題目并不陌生，解決這個(gè)問題通常的做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個(gè)整格，再數(shù)一數(shù)有幾個(gè)半格，把不滿整格的進(jìn)行整合,最后累加起來,用此方法估計(jì)不規(guī)那么圖形的面積。這是我們常用的方法。但是這種估算不規(guī)那么圖形面積的方法并沒能表達(dá)估算的價(jià)值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內(nèi)涵。充分表達(dá)該題的數(shù)學(xué)教育價(jià)值。教學(xué)時(shí)教師可以幫助學(xué)生事先做好規(guī)劃，鼓勵學(xué)生運(yùn)用不同的方法估計(jì)圖形的面積。例如，教學(xué)中教師可以啟發(fā)學(xué)生首先觀察圖形，再進(jìn)行思考“你認(rèn)為曲線所圍成的面積結(jié)果可能會在那個(gè)范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題嗎？〞教師可以引導(dǎo)學(xué)生試一試。首先選擇好用來估計(jì)的“單位〞即：以圖形中的一個(gè)小方格為一個(gè)單位。再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學(xué)生可以這樣操作，先數(shù)出曲線圍成圖形內(nèi)包含的完整小方格數(shù)，用彩色筆將它圈出來，估計(jì)出這個(gè)曲線圍成圖形面積的下界〔有75個(gè)這樣的單位〕；然后再數(shù)出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)，也用彩色筆將它圈出來，估計(jì)出這個(gè)曲線圍成圖形面積的上界〔有113個(gè)這樣的單位〕。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第一種方法估計(jì)的比實(shí)際面積小，第二種方法估計(jì)的比實(shí)際面積大，實(shí)際的面積是在這兩個(gè)數(shù)之間。由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值范圍。如圖二：在此根底上教師可以鼓勵引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法進(jìn)行估計(jì)，通過記錄、計(jì)算、比擬的探究過程，體會估算的意義和方法。教師繼續(xù)追問“那么還有什么方法能使估算的結(jié)果更接近實(shí)際面積的嗎？試一試！〞對學(xué)有余力的學(xué)生無疑是提出了更富有挑戰(zhàn)性的問題。引導(dǎo)學(xué)生將所有的方格等分成更小的方格，繼續(xù)利用上面的經(jīng)驗(yàn)，探索出更接近實(shí)際面積的估計(jì)值，同時(shí)巧妙地滲透極限思想。如圖三:以往我們在教授“數(shù)方格〞時(shí)，沒能充分表達(dá)估算的學(xué)習(xí)價(jià)值，只是把估算當(dāng)成一個(gè)操作技能——數(shù)方格〔知識點(diǎn)〕去教了，為了教估算而估算。上面“尋找區(qū)間〞的設(shè)計(jì)那么注重了學(xué)生估算意識和方法的培養(yǎng)，特別是選擇適宜的估計(jì)“單位〞是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效估算的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)逐漸逼近的極限思想。教學(xué)過程中教師要注重幫助學(xué)生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習(xí)慣，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用不同的方法估計(jì)圖形的面積。通過對上界、下界確實(shí)定，幫助學(xué)生尋求取值范圍，找到適宜的區(qū)間。這個(gè)上界、下界確實(shí)定，對學(xué)生體驗(yàn)估算是很有意義的。這是真正意義上估算價(jià)值的表達(dá)。特別是通過教師引導(dǎo)學(xué)生將方格等分成更小的方格，使估計(jì)值更逼近準(zhǔn)確值，從中滲透“極限〞的數(shù)學(xué)思想。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有意義的。最后回憶一下“圖形的測量〞中的幾個(gè)核心理念：1.使學(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性；2.使學(xué)生理解與把握度量單位的實(shí)際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟；3.在具體的問題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進(jìn)行測量；4.重視估測及其簡單應(yīng)用；5.幫助學(xué)生在圖形測量活動中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的根本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)空間觀念。話題三、圖形的運(yùn)動——體會研究方法，增加直觀能力一、為什么要在小學(xué)階段增加“圖形的運(yùn)動〞這個(gè)內(nèi)容？《2023版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“圖形與幾何〞領(lǐng)域仍然增加了“平移，旋轉(zhuǎn)，放大與縮小這些內(nèi)容〞，只是把“圖形與變換〞改為“圖形的運(yùn)動〞。為什么仍然保存這個(gè)內(nèi)容，學(xué)習(xí)它的價(jià)值是什么？運(yùn)動是世間萬物的根本特征，是物質(zhì)存在的根本形式。所謂圖形的運(yùn)動，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最根本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化〔合同運(yùn)動〕；二是形狀不變而大小變化〔相似運(yùn)動〕。1.從學(xué)生角度來看現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，例如，電梯、地鐵列車在平行移動；鐘面指針、自行車輪、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；許多年畫、卡通動物、建筑物的形狀具有對稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實(shí)背景。我們希望提供應(yīng)學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認(rèn)識和把握這些現(xiàn)象。通過圖形的運(yùn)動探索發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)圖形的一些性質(zhì)，有助于學(xué)生開展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的興趣、體會研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法。2．從數(shù)學(xué)開展的角度來看1872年，德國大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表“愛爾蘭根綱領(lǐng)〞的演說，這個(gè)里程碑式的論斷，改變了近兩千年來人們用靜止的觀點(diǎn)研究幾何的傳統(tǒng)方法。與靜態(tài)地研究圖形與幾何的性質(zhì)不同，圖形的變換是從運(yùn)動變化的角度去探索和認(rèn)識圖形與幾何的性質(zhì)，欣賞與設(shè)計(jì)圖案。是開展學(xué)生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。二、第一、二學(xué)段關(guān)于“圖形的運(yùn)動〞相關(guān)知識內(nèi)容有哪些？教學(xué)目標(biāo)分別是什么？按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，小學(xué)1-6年級圖形的運(yùn)動主要涉及平移、旋轉(zhuǎn)、對稱及簡單的圖形相似這樣一些內(nèi)容。在第一、二學(xué)段中圖形的運(yùn)動主要是合同運(yùn)動，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。第一學(xué)段中，學(xué)生借助日常生活中對圖形運(yùn)動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱；并認(rèn)識兩個(gè)圖形具有平移或軸對稱的關(guān)系。提供大量的豐富的圖形運(yùn)動現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生充分地觀察、想象，運(yùn)用日常生活中已經(jīng)積累的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，歸納、發(fā)現(xiàn)各種運(yùn)動的特點(diǎn)，是達(dá)成這個(gè)課程目標(biāo)的有效途徑?！?023版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡我們組織學(xué)生分組收集日常生活中常見的圖形〔如案例21〕——生活中的軸對稱圖形。引導(dǎo)學(xué)生觀察它們是否有對稱軸，假設(shè)有對稱軸，數(shù)出或說出有幾條對稱軸。嘗試畫出它們的對稱軸。在課堂中展示交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設(shè)計(jì)出一些軸對稱圖形。這個(gè)活動可以鼓勵學(xué)生主動觀察，設(shè)法收集〔如可以使用數(shù)碼相機(jī)或現(xiàn)場素描等〕。學(xué)生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他們熟悉的圖形對象中隱藏的對稱軸，并在交流過程中豐富自己的經(jīng)驗(yàn)。在交流大家收集到的圖形的根底上，教師進(jìn)一步鼓勵學(xué)生自己設(shè)計(jì)軸對稱圖形，并交流自己圖形所表達(dá)的意思。第二學(xué)段中，圖形的運(yùn)動的課程內(nèi)容及要求主要有以下幾個(gè)方面：〔1〕按要求在方格紙上畫出一個(gè)圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會補(bǔ)全一個(gè)軸對稱圖形。圖形的運(yùn)動對小學(xué)生的認(rèn)識來說，是比擬抽象的，有一定難度。如果把抽象的空間意識轉(zhuǎn)化為具體的、容易操作的教與學(xué)的過程，方格紙起到很好的作用。在第一、二學(xué)段，方格紙是學(xué)生認(rèn)識圖形運(yùn)動很好的平臺，利用它可以準(zhǔn)確地描述圖形位置、定量刻畫圖形的運(yùn)動，這樣的描述和刻畫又能加深學(xué)生對圖形運(yùn)動的認(rèn)識和理解?！稑?biāo)準(zhǔn)》只要求圖形沿水平或豎直方向平移、圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°。如，“在方格紙上認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90〞?！稑?biāo)準(zhǔn)》不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度。方格紙能幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識和理解圖形根本特征，能更好地使學(xué)生認(rèn)識和描述空間圖形的變換過程，可以有效地促進(jìn)學(xué)生對空間概念的建立。這也就答復(fù)了老師們的問題在“圖形與幾何〞學(xué)習(xí)中方格紙的作用?！?〕研究圖形的相似運(yùn)動，即將圖形放大或縮小。第二學(xué)段要求“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小〞，這里的“放大與縮小〞不是嚴(yán)格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小的不同。這將為第三學(xué)段研究圖形的相似運(yùn)動和位似運(yùn)動奠定根底?！?〕綜合運(yùn)用圖形的運(yùn)動進(jìn)行圖案的欣賞與設(shè)計(jì)。學(xué)生對圖形運(yùn)動特點(diǎn)的了解、能夠在方格紙上按要求畫出運(yùn)動后圖形，這些知識技能和經(jīng)驗(yàn)是圖案的欣賞和設(shè)計(jì)的根底。圖案的欣賞與設(shè)計(jì)，為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界、看生活提供了時(shí)機(jī)，也可以進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的價(jià)值。欣賞或設(shè)計(jì)一個(gè)圖案時(shí)，不同的學(xué)生會有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的都應(yīng)予以肯定，并進(jìn)行交流與分享；但應(yīng)要求學(xué)生用自己的語言表達(dá)圖案中的圖形運(yùn)動關(guān)系，從而更好地體會圖形的運(yùn)動在圖案欣賞和設(shè)計(jì)中的作用。課標(biāo)中有這樣的案例：例35圖畫復(fù)原。打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫構(gòu)成的平面畫面，請學(xué)生復(fù)原并利用平移和旋轉(zhuǎn)記錄復(fù)原步驟。在這個(gè)案例中，學(xué)生通過實(shí)際操作進(jìn)一步理解平移和旋轉(zhuǎn)，不僅能增加問題的趣味性，還可以讓孩子們感悟幾何運(yùn)動也是可以記錄的，體驗(yàn)選取最正確方案的過程。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可關(guān)注如下要點(diǎn)：〔1〕完成復(fù)原積木的任務(wù)一定要從簡單到復(fù)雜，如圖，先打亂四塊積木中的下面兩塊，讓學(xué)生嘗試思考的過程。學(xué)生有了一定經(jīng)驗(yàn)后，可以打亂三塊或四塊積木，讓學(xué)生繼續(xù)嘗試?！?〕可以分小組進(jìn)行。為了記錄準(zhǔn)確，事先要確定每一個(gè)步驟的代表符號?！?〕小組活動時(shí)，可以先討論，確定一個(gè)大概的復(fù)原路線，然后操作驗(yàn)證。〔4〕小組成員共同操作，進(jìn)行比擬，驗(yàn)證確定的路線。課標(biāo)修訂前后具體目標(biāo)有一些具體的變化

修改前修改后第一學(xué)段1.結(jié)合實(shí)例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象。2.能在方格紙上畫出一個(gè)簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。3．通過觀察、操作，初步認(rèn)識軸對稱圖形。并能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形。1.結(jié)合實(shí)例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象。2.能識別簡單圖形平移后的圖形。3.通過觀察、操作，初步認(rèn)識軸對稱圖形。第二學(xué)段1.用折紙等方法確定軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上畫出一個(gè)簡單的軸對稱圖形。2.能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小，體會圖形的相似。3.通過觀察實(shí)例，認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90°。4.欣賞生活中的圖案，靈活運(yùn)用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計(jì)圖案。

1．通過觀察、操作等活動，進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補(bǔ)全一個(gè)簡單的軸對稱圖形。2．通過觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°。3．能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。4．能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運(yùn)用它們在方格紙上設(shè)計(jì)簡單的圖案?？傮w上看：修改后的課標(biāo)在這局部降低了難度，更加強(qiáng)調(diào)觀察與操作，積累學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。過程中大量的操作性活動，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的重視。這些畫圖和設(shè)計(jì)圖案的活動，既可以加深學(xué)生對圖形對稱性的理解，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的這些要求。三、“圖形的運(yùn)動〞內(nèi)容常用的教學(xué)策略有哪些？策略一：結(jié)合生活實(shí)例，在觀察與比擬中認(rèn)識圖形的運(yùn)動新課標(biāo)要求課程內(nèi)容要反映社會的需要，數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)、思考與探索。因?yàn)閮和某橄笏季S需要具體形象思維與生活經(jīng)驗(yàn)給與支撐，對感知圖形運(yùn)動這樣抽象概念來說尤其重要。小學(xué)階段關(guān)于圖形的圖形的運(yùn)動定位在積累感性體驗(yàn)，形成初步認(rèn)識。因此結(jié)合實(shí)例展開教學(xué)是一條相當(dāng)重要的教學(xué)策略。在生活中有很多圖形或圖案呈現(xiàn)出對稱、平移或旋轉(zhuǎn)的形式，通過對稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換同樣可以設(shè)計(jì)制作美麗的圖案。因此，在教學(xué)中，多收集一些這樣的素材，通過學(xué)生的觀察、比擬，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動變化的角度去發(fā)現(xiàn)不同的圖形變換。例如，教學(xué)“圖形的變換〞時(shí)豐富教材中的典型素材，注意融入了像道閘，車輪，鐘擺等素材并利用信息技術(shù)動態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在教學(xué)“軸對稱變換時(shí)〞，借助一組學(xué)生在生活中喜聞樂見的民族特點(diǎn)濃厚的素材。這樣做，一方面有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動的興趣，另一方面使學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，開展學(xué)生的概括能力。策略二：借助操作活動，加深對圖形運(yùn)動的認(rèn)識，幫助學(xué)生體會變換的特征加強(qiáng)學(xué)生操作活動，也是提高圖形變換教學(xué)成效的一個(gè)策略。操作是一種重要的實(shí)踐活動。圖形變換的操作主要是在方格紙上畫一個(gè)圖形經(jīng)某變換后的圖形和剪對稱圖形。應(yīng)鼓勵學(xué)生動手操作，并在操作過程中積極思考，開展思維能力。老師們在資源中觀看了《圖形的旋轉(zhuǎn)》一課，在教學(xué)“線的旋轉(zhuǎn)〞環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過用鉛筆表示線段在桌面方格中以三種不同的旋轉(zhuǎn)中心〔鉛筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點(diǎn)〕進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。來感悟旋轉(zhuǎn)中心可以是線段上的任意一點(diǎn)。為后面在方格紙上畫線段提供實(shí)物支撐。策略三：注重從變換的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計(jì)圖案學(xué)習(xí)圖形與變換內(nèi)容的一個(gè)重要目的是使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界。因此，教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生從變換的角度欣賞圖形，設(shè)計(jì)圖案。例如，在生活中隨處可見的美麗圖案，學(xué)生在觀察這些圖案時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)其中包含的熟悉的圖形；可以運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光分析圖案的組成，例如是否運(yùn)用了變換；可以欣賞這些各具特色的圖案，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的對稱美、和諧美、簡明美；可以以此為啟發(fā)，發(fā)揮自己的個(gè)性和創(chuàng)造力，親自動手設(shè)計(jì)圖案?！?023版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求：能畫出簡單平面圖形〔點(diǎn)，線段，直線，三角形等〕關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形；認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的軸對稱圖形、中心對稱圖形，認(rèn)識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；以及運(yùn)用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。這些畫圖和設(shè)計(jì)圖案的活動，既可以加深學(xué)生對圖形對稱性的理解，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的美及其應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的這些要求。《圖形旋轉(zhuǎn)一課》“感悟旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用〞環(huán)節(jié)中，教師借助信息技術(shù)，動態(tài)呈現(xiàn)一些根本圖形旋轉(zhuǎn)后形成的美麗圖形和圖案，鼓勵學(xué)生從變換的角度欣賞圖形與圖案，感受其中蘊(yùn)涵的對稱美、和諧美、簡明美。并能從不同角度觀察圖形，識別不同的根本圖形發(fā)生了怎樣的變換之后，形成了同一個(gè)圖形，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，為后面學(xué)習(xí)靈活應(yīng)用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)自己設(shè)計(jì)、制作圖案做了孕伏。策略四：在解決問題中注重“圖形的運(yùn)動〞和相關(guān)知識的聯(lián)系，開展空間想象力和解決問題的能力1.從變換角度認(rèn)識圖形在認(rèn)識圖形的教學(xué)過程中，可以借助變換，動態(tài)直觀的刻畫圖形的屬性。例如：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓、長方體、正方體、圓錐等圖形，在認(rèn)識他們的特征時(shí)可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的變換，清晰直觀地發(fā)現(xiàn)圖形隱含著的特點(diǎn)。2.從變換的角度理解度量小學(xué)階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導(dǎo)過程中，時(shí)刻都能感受到變換的重要作用。三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導(dǎo)過程中，會用到拼湊、割補(bǔ)等多種推導(dǎo)的方法，這些方法的實(shí)質(zhì)是圖形的變換?？傊W(xué)階段有關(guān)圖形的運(yùn)動的目標(biāo)的達(dá)成是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重多種策略的運(yùn)用，并以圖形的運(yùn)動教學(xué)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，開展空間觀念。話題四、圖形的位置——開展空間觀念，提高推理能力“圖形與位置〞教學(xué)中的主要問題，主要分為三個(gè)層面：教學(xué)內(nèi)容層面：第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)教材中安排了哪些“圖形與位置〞的教學(xué)內(nèi)容？這些內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是什么？這些內(nèi)容之間有什么關(guān)系？這些內(nèi)容與后續(xù)幾何知識學(xué)習(xí)有什么聯(lián)系？教學(xué)設(shè)計(jì)層面：在“圖形與位置〞內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該注意哪些問題？學(xué)生在生活中獲得了很多對“方向與位置〞的認(rèn)識，可能這些認(rèn)識是零散、模糊的，與教學(xué)的要求并不相符，教學(xué)中如何充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)？“圖形與位置〞內(nèi)容教學(xué)的首要目標(biāo)是開展學(xué)生的空間觀念，教學(xué)中采取哪些教學(xué)方式有利于開展學(xué)生的空間觀念？教學(xué)實(shí)施層面：描述物體的位置具有相對性，需要確定觀測點(diǎn)，在教學(xué)中如何讓學(xué)生認(rèn)識到這種“相對性〞？如何讓學(xué)生感受到確定觀測點(diǎn)的重要性？用“行與列〞、“方向與距離〞描述物體的位置又具有唯一確定性，我們在教學(xué)中如何讓學(xué)生感受到確定位置時(shí)兩個(gè)要素缺一不可？問題一：第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)教材中安排了哪些“圖形與位置〞的教學(xué)內(nèi)容？這些內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是什么？這些內(nèi)容之間有什么關(guān)系？這些內(nèi)容與后續(xù)幾何知識學(xué)習(xí)有什么聯(lián)系？內(nèi)容間的關(guān)系：第一、二學(xué)段“圖形與位置〞的內(nèi)容是按兩條線索展開的：一是確定物體的相對位置；二是識別方向和使用路線圖?！踩缦铝袌D〕把“圖形與位置〞的教學(xué)內(nèi)容分成“確定物體的相對位置〞、“識別方向與使用路線圖〞兩局部，可以讓我們看出兩方面內(nèi)容是有區(qū)別的。但是它們并非截然分開，而是有聯(lián)系的，無論是上下、前后、左右，還是東、南、西、北，都既可以用來描述物體的相對位置，又可以用來說明方向。例如，“把數(shù)學(xué)書放在作業(yè)本的上面〞、“電梯上行〞，前者表示相對位置，后者表示方向。問題二：在“圖形與位置〞內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該注意哪些問題？“圖形與位置〞教學(xué)的總體建議：空間與人類生存和居住密切相關(guān)，了解、探索和把握空間，能使孩子更好地生存、活動和成長?！拔恢门c方向〞的內(nèi)容是“空間觀念〞在教材中的具體呈現(xiàn)，因此，開展學(xué)生的空間觀念是“位置與方向〞教學(xué)的核心目標(biāo)。在“位置與方向〞的教學(xué)中，如何更好地開展學(xué)生的空間觀念呢？提出三點(diǎn)總體建議：①充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的空間知識來自于豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系非常緊密，這是他們理解和開展空間觀念的珍貴資源。讓學(xué)生在“教室里〞、“校園內(nèi)〞、“電影院中〞、“上學(xué)路上〞等熟悉的情境中學(xué)習(xí)“位置與方向〞的內(nèi)容，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，而且有利于更好地認(rèn)識空間，開展空間觀念。②讓學(xué)生經(jīng)歷生活經(jīng)驗(yàn)回憶、觀察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活動過程。開展空間觀念的途徑是多樣化的，在教學(xué)中我們只有讓學(xué)生經(jīng)歷了多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，才能逐步開展空間觀念。③倡導(dǎo)自主探索與合作交流的教學(xué)方式。以被動的聽講和練習(xí)為主的方式，很難形成空間觀念。培養(yǎng)空間觀念需要大量的實(shí)踐活動，學(xué)生需要有充分的時(shí)間和空間去經(jīng)歷多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，這不僅需要自主探索、親身體驗(yàn)，更需要合作交流。問題三：學(xué)生在生活中獲得了很多對“方向與位置〞的認(rèn)識，可能這些認(rèn)識是零散、模糊的，與教學(xué)的要求并不相符，教學(xué)中如何充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)？案例一：四年級《用數(shù)對確定位置》教學(xué)前測測試問題：請你在紙上描述出你們班長的位置。下面是學(xué)生的幾種做法：①文字表達(dá)班長的位置班長的位置是第三排第四個(gè)班長的位置是第三列第四個(gè)班長在從窗戶數(shù)的第三排第四個(gè)。從門這邊數(shù)第五組的第四個(gè)是班長②畫圖表示班長的位置③還有一個(gè)孩子談到了，班長在我的斜前方第三個(gè)。學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)很豐富，這固然可喜。但是，學(xué)生的想法各異，老師該如何處理呢？如何引導(dǎo)學(xué)生掌握教材介紹的“用數(shù)對確定位置〞的方法呢？案例解讀：面對學(xué)生不同的表示方法，教師應(yīng)迅速歸類，選擇有代表性的方法，傾聽學(xué)生的心聲。在所有的學(xué)生理解不同的表示方法之后，通過不同表示方法的比照，讓學(xué)生體會到確定位置要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。最后引導(dǎo)學(xué)生掌握用數(shù)對確定位置的方法：確定學(xué)生在教室中的位置，要以教師面向?qū)W生的位置為觀測點(diǎn)，豎排叫做列，橫排叫做行。確定第幾列一般是從左往右數(shù)，確定第幾行一般是從前往后數(shù)。按這樣的方法表示班長的位置應(yīng)是：第五列第四行，可以簡單表示為〔5，4〕，兩個(gè)數(shù)的順序不能調(diào)換。問題四：描述物體的位置具有相對性，需要確定觀測點(diǎn)，在教學(xué)中如何讓學(xué)生認(rèn)識到這種“相對性〞？如何讓學(xué)生感受到確定觀測點(diǎn)的重要性？案例：學(xué)生“用方向描述物體的相對位置〞出現(xiàn)的問題案例解讀：這是兩名學(xué)生“用方向確定物體的位置〞的不同做法，顯然他們都掌握了東、南、西、北、東南、東北、西南、西北等方位的知識，而且都會正確描述物體的相對位置關(guān)系。但是，就這道題的解決來看，第一個(gè)同學(xué)是正確的，第二個(gè)同學(xué)那么是錯誤的。因?yàn)槊枋龊笊皆谙蠓康氖裁捶较蛏?，?yīng)以象房為觀測點(diǎn)，他選錯了觀測點(diǎn)。兩個(gè)物體的位置關(guān)系具有相對性，如果不確定觀測點(diǎn)，描述相對位置的方法是不唯一的。如：上海在北京南偏東30度方向上〔如右圖〕，這是以北京為觀測點(diǎn)。如果以上海為觀測點(diǎn)，上海與北京這一相互位置關(guān)系也可以換成下面說法：北京在上海北偏西30度方向上教學(xué)中我們應(yīng)加強(qiáng)比照，讓學(xué)生體會到選準(zhǔn)觀測點(diǎn)的重要性。問題五：用“行與列〞、“方向與距離〞描述物體的位置又具有唯一確定性，我們在教學(xué)中如何讓學(xué)生感受到確定位置時(shí)兩個(gè)要素缺一不可？案例：《位置與方向》教學(xué)片斷1．引入。①欣賞京東大峽谷、房山周口店北京人遺址、朝陽公園、八達(dá)嶺長城等北京人文景觀圖片。②以朝陽實(shí)驗(yàn)小學(xué)為觀測點(diǎn)，你能在這幅圖上標(biāo)出八達(dá)嶺長城的位置嗎？通過思考讓學(xué)生體會到：要確定八達(dá)嶺長城在這幅圖中的位置，需要知道具體方向和朝陽實(shí)驗(yàn)小學(xué)到八達(dá)嶺的距離。2．探究，解決問題。①要確定八達(dá)嶺長城的位置只知道“在朝陽實(shí)驗(yàn)小學(xué)西北方向〞行嗎？——只能確定所在的區(qū)域②要確定八達(dá)嶺長城的位置只知道“在朝陽實(shí)驗(yàn)小學(xué)西偏北40度方向上〞行嗎？——只能確定在一條射線上③要確定八達(dá)嶺長城的位置只知道“距離朝陽實(shí)驗(yàn)小學(xué)60千米〞行嗎？——只能確定在一個(gè)半徑60千米的圓周上案例解讀：這樣的引入，激發(fā)了學(xué)生的興趣，利用了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，喚起了學(xué)生“位置與方向〞的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。學(xué)習(xí)用“方向與距離去定位置〞學(xué)生的一個(gè)主要困惑點(diǎn)是：既要考慮方向，又要考慮距離，容易顧此失彼。這正是兒童的思維特點(diǎn)，他們善于從一個(gè)維度去思考問題，但需要從兩個(gè)維度甚至多個(gè)維度去深入思考時(shí)，就會顯得力不從心。老師引導(dǎo)學(xué)生開展探究，先從單個(gè)維度考慮，讓學(xué)生真正體會到了：方向與距離在確定位置中缺一不可。只有二者相結(jié)合，找到射線與圓周的交點(diǎn)，才能確定物體的位置。學(xué)習(xí)用“方向與距離確定位置〞學(xué)生還有一個(gè)困惑點(diǎn)是：方向混淆。這節(jié)課上學(xué)生就暴露出了這一問題：確定“北偏西40度方向〞，讓學(xué)生白量角器，第一個(gè)學(xué)生就擺錯了，擺成了“西偏北40度〞。教師讓其他同學(xué)再擺出一條線，讓全體同學(xué)在比擬中鑒別：哪條線表示的是“北偏西40度方向〞。通過比擬讓學(xué)生明確了：確定“北偏西40度方向〞，先要判斷以哪個(gè)方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，以“北〞為標(biāo)準(zhǔn)，要把量角器的0刻度線與表示“北〞的方向線重合，量角器的中心點(diǎn)與觀測點(diǎn)重合。老師們在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，不斷的去積累我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷深入的學(xué)習(xí)思考，通過圖形與幾何的教學(xué)，真正的到達(dá)課標(biāo)對我們教學(xué)的根本要求。最后提三點(diǎn)建議1.把握好空間觀念、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識等核心概念。2.在數(shù)學(xué)活動中感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)3.通過開展觀察、操作、想象等活動使學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，從而開展學(xué)生的空間觀念。參考文獻(xiàn)：［1］教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔實(shí)驗(yàn)稿〕北京師范大學(xué)出版社［2］〔英〕G豪森，等《數(shù)學(xué)課程開展》周克希等譯上海教育出版社［3］鄭毓信《數(shù)學(xué)教育從理論到實(shí)踐》上海教育出版社［4］劉曉玫《教學(xué)藝術(shù)來自準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容》首都師范大學(xué)出版社［5］人民教育編輯部《小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新性備課》教育科學(xué)出版社長度、周長、面積與體積等概念的共同本質(zhì)結(jié)構(gòu)白春軍(小學(xué)數(shù)學(xué)遼寧朝陽小學(xué)數(shù)學(xué)班)有關(guān)空間與圖形局部的知識是小學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要組成局部。該局部知識是人們認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的形狀、大小和空間位置關(guān)系，以及解決現(xiàn)實(shí)問題的重要依據(jù)。在“空間與圖形〞的知識中，長度、面積和體積是一組最為根本的從一維到二維再到三維的度量概念。因此，在九年義務(wù)教育階段的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何幫助學(xué)生建構(gòu)起清晰的三維空間觀念，是我們必須思考和解決的問題。為此，我們首先需要對以往線段長度、面積，體積的概念教學(xué)不斷進(jìn)行反思；其次是要重新認(rèn)識線段長度、面積、體積概念教學(xué)的價(jià)值取向；最后要在開發(fā)合理利用教材資源的根底上對線段長度、面積和體積概念教學(xué)進(jìn)行整合規(guī)劃設(shè)計(jì)。一、長度、面積、體積概念教學(xué)常存在的問題長度、面積和體積是空間與圖形知識中一組最為根本度量概念。由于小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般將長度、面積和體積分別編排在小學(xué)不同的年級進(jìn)行教學(xué)，在教學(xué)中就容易表現(xiàn)出以下方面的問題：第一，教師容易關(guān)注知識點(diǎn)的教學(xué)，卻無視了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師常常既不注意在長度的概念教學(xué)中進(jìn)行思想方法的滲透和揭示；也不注意在面積的概念教學(xué)中與長度概念進(jìn)行差異比擬和內(nèi)在思想方法的溝通；更不注意在體積的概念教學(xué)中進(jìn)行一維的長度概念、二維的面積概念和三維的體積概念之間的差異比擬和縱向開展脈絡(luò)上的梳理。這種教學(xué)有局限性，不利于學(xué)生開展。如果說對概念認(rèn)識不夠，直接影響理解程度不利于較好解決問題。第二，教師容易注重知識掌握結(jié)果，而無視知識形成過程。即使是在具體的一節(jié)課的教學(xué)中，許多教師也只是把教學(xué)的重心放在如何認(rèn)識度量單位和準(zhǔn)確使用度量工具上面，無視度量工具的創(chuàng)造和度量單位的形成過程對于學(xué)生成長的重要價(jià)值。以長度概念的教學(xué)為例，教師在教學(xué)中一般會注意以下幾方面的問題：首先，教師會關(guān)注學(xué)生對度量單位建立初步的感性體驗(yàn)認(rèn)識，如1厘米相當(dāng)于人的指甲的長度，1米相當(dāng)于一個(gè)一年級學(xué)生的身高，等等；其次，教師十分關(guān)注學(xué)生正確使用度量工具，如學(xué)生是否使直尺的零刻度線與度量對象的起始點(diǎn)對齊，是否使直尺與度量對象重合(點(diǎn)對點(diǎn)，線對線)，等等。第三，教師會關(guān)注學(xué)生對度量單位使用的合理性，如度量較短物體的的長度選擇使用厘米做單位，度量比擬長的物體一般選擇米做單位，等等。諸如此類，從學(xué)生對于度量單位認(rèn)識和度量工具使用的角度來說，該注意的教師似乎都注意到了，但恰恰無視了教學(xué)過程中；最重要的育人資源的開發(fā)，即前人在形成度量工具和度量單位過程中的智慧。二、長度、面積、體積概念教學(xué)的育人價(jià)值長度、面積、體積概念教學(xué)的育人價(jià)值至少可以從兩個(gè)方面來加以關(guān)注，一是從知識之間整體的內(nèi)在聯(lián)系中開發(fā)育人的資源，二是從知識形成過程中開發(fā)育人的資源。1．知識結(jié)構(gòu)關(guān)系的梳理對于學(xué)生認(rèn)識概念的價(jià)值長度、面積和體積三者之間有著密切的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系。首先，長度、面積和體積在要素構(gòu)成上具有邏輯關(guān)系。幾何形體構(gòu)成的根本要素是點(diǎn)、線和面的有機(jī)結(jié)合，其中，點(diǎn)動成線(從這個(gè)意義上長度也可以稱為線積)；數(shù)線動成面(稱為面積)；面動成體(稱為體積)。因此，點(diǎn)、線、面和體中的前者分別是后者的構(gòu)成要素，而后者又分別是在前者根底上的形成和拓展而成。其次，長度、面積、體積在概念內(nèi)涵和思想方法上既有區(qū)別又有聯(lián)系。在概念內(nèi)涵的語言表述方面，它們是有差異的?！伴L度〞是一維的概念，表示物體或線段長短的程度；“面積〞是二維概念，表示物體外表或平面圖形的大小；“體積〞是三維的概念，表示物體所占空間的大小。在度量和比擬的思想方法上它們又表現(xiàn)出共同的特征。線段之間可以進(jìn)行長短比擬，平面圖形之間可以進(jìn)行大小比擬，物體之間可以進(jìn)行所占空間大小的比擬。它們各自有直接比擬和間接比擬的方法。直接比擬的方法有觀察法和重疊法，間接比擬的方法有借助中介物體或工具，等等。在此根底上，又形成了以二維的度量工具和單位為根底的三維空間的度量單位體系(見表2)。的概念，表示物體所占空間的大小。在度量和比擬的思想方法上它們又表現(xiàn)出共同的特征。線段之間可以進(jìn)行長短比擬，平面圖形之間可以進(jìn)行大小比擬，物體之間可以進(jìn)行所占空間大小的比擬。因此，它們各自有直接比擬和間接比擬的方法。直接比擬的方法有觀察法和重疊法，間接比擬的方法有借助中介物體或工具，等等。在此根底上，又形成了以二維的度量工具和單位為根底的三維空間的度量單位體系。因此，如果教師能夠認(rèn)識到這些知識之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系，努力在教學(xué)中梳理和溝通這些概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，開發(fā)和實(shí)現(xiàn)教學(xué)對學(xué)生認(rèn)識這些概念的意義，幫助學(xué)生對這些概念形成既清晰又豐富的認(rèn)識，從而為學(xué)生構(gòu)建正確的三維空間觀念。2．度量工具和單位的形成過程對于學(xué)生開展思維的價(jià)值長度、面積、體積的度量工具和單位的產(chǎn)生是人類不斷思索，挖掘知識歸結(jié)出來的精髓。是前人智慧的結(jié)晶，我們需要開發(fā)這些知識形成過程中的育人資源和價(jià)值。這里以長度的度量工具和單位的產(chǎn)生過程為例來說明。首先，度量單位的產(chǎn)生基于現(xiàn)實(shí)生活的需要。它產(chǎn)生于在兩個(gè)物體的長度不能直接進(jìn)行比擬的情況下，需要借助于作為中介的第三個(gè)物體長度進(jìn)行間接比擬的過程之中。在間接比擬的過程中，由于各人所采用的中介物的長度不一樣，導(dǎo)致比擬的標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果不一致，這樣就帶來間接比擬的困難，于是需要統(tǒng)一比擬的標(biāo)準(zhǔn)，度量的根本單位便在探索過程中逐漸形成。其次，度量單位的使用具有地域流通性的特征。度量單位是一個(gè)約定俗成的概念，不同的地域內(nèi)流通著各自不同的度量單位。我國度量長度的標(biāo)準(zhǔn)是“市制〞單位，根本的度量單位有l(wèi)尺、1寸、l里等；英國度量長度的標(biāo)準(zhǔn)是“英制〞單位，根本的度量單位有1英尺、1英寸、1英里等。由此又形成了不同地域之間度量長度的換算標(biāo)準(zhǔn)，如l英寸=2.54厘米=0.762寸。由于換算的麻煩，又產(chǎn)生了國際上通用的度量長度的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)“公制〞單位，其根本的度量單位有1厘米、1米、1千米，等等。第三，度量工具的多樣性與適用性表達(dá)了人類創(chuàng)造的智慧。由于現(xiàn)實(shí)生活需要的豐富多樣，人們創(chuàng)造創(chuàng)造了各式各樣的度量工具。例如，度量線段長度的工具有學(xué)生作為學(xué)習(xí)用品的以厘米為單位的直尺，商店?duì)I業(yè)員用來度量商品長度的以米為單位的米尺，裁縫師傅用來量體裁衣的塑料軟尺，建筑工人用來度量地基長度的卷尺，等等。盡管這些度量工具的度量對象、材料性質(zhì)各不相同，但它們都具有度量長度的功能。這些度量工具的開發(fā)充分表達(dá)了前人的智慧?？偠灾?，長度、面積和體積的概念對于學(xué)生來說不僅是遙遠(yuǎn)的歷史，更是抽象的概念；不僅是遠(yuǎn)離學(xué)生的，更是外在于學(xué)生的。它們是前人生命實(shí)踐的成果和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，已然成為符號化的書本知識。如果我們只是關(guān)注到了這些外表的符號化的知識，就會僅僅關(guān)注知識的傳遞價(jià)值，容易把學(xué)生當(dāng)作是為接受這些知識而存在的，也就容易無視知識形成過程中的資源開發(fā)，教學(xué)也就難以表達(dá)其促進(jìn)學(xué)生成長開展的價(jià)值。因此，我們需要透過符號化知識的外表，對其背后的過程形態(tài)的知識加以關(guān)注。這樣，我們就會發(fā)現(xiàn)，無論是度量比擬過程中的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，還是三維空間的度量單位體系的形成，甚至是適應(yīng)現(xiàn)實(shí)生活需要的各種度量工具的創(chuàng)造，它們無一不表達(dá)了前人生命實(shí)踐活動過程中的智慧。如果在教學(xué)中能夠使學(xué)生經(jīng)歷這樣的生命實(shí)踐活動的過程，教學(xué)就有可能使這些固化了的知識得到活化。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅能夠認(rèn)識和體會到比擬過程中標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的必要性，而且還能夠了解從一維到二維再到三維的度量工具和單位體系的形成過程。更為重要的是，學(xué)生在經(jīng)歷生命實(shí)踐活動的過程中可以實(shí)現(xiàn)自身的再創(chuàng)造。從這個(gè)意義上可以說，這是一種習(xí)得和形成智慧的教學(xué)，唯有這樣的教學(xué)才能夠表達(dá)促進(jìn)學(xué)生成長開展的價(jià)值?？傊ㄟ^這些有意識的溝通與比擬，不僅可以使學(xué)生形成清晰的概念認(rèn)識，而且還可以使學(xué)生建立起從一維的線到二維的面再到三維的體的整體認(rèn)識，從而使學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知和思維方式。下面以面積概念的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，具體說明度量概念的教學(xué)過程設(shè)計(jì)