專題02 函數(shù)的性質(zhì)

第20頁（共20頁）專題02專題02函數(shù)的性質(zhì)熱點研究熱點研究專題熱度★★★☆☆命題熱點(1)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性．(2)函數(shù)的最值、對稱軸、對稱中心．熱門方法圖象法、基本不等式法、配方法、數(shù)形結合法．熱點題型選擇題、多選題，解答題中往往也伴隨著函數(shù)的性質(zhì)．熱點突破熱點突破熱點1單調(diào)性名師點撥1．若或，則是單調(diào)增函數(shù)．2．若或，則是單調(diào)減函數(shù)．3．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，復合函數(shù)單調(diào)性——同增異減．【例1】（2023?秀英區(qū)校級二模）若函數(shù)f（x）=?x2+2a，x≤?1ax+4，x＞?1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】因為當x≤﹣1時，函數(shù)f（x）＝﹣x2+2a為單調(diào)遞增函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)f（x）的單調(diào)性建立不等式組，由此即可求解．【解答】解：因為當x≤﹣1時，函數(shù)f（x）＝﹣x2+2a為單調(diào)遞增函數(shù)，又函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，則需滿足a＞0?1+2a≤?a+4，解得0＜a≤所以實數(shù)a的范圍為（0，53則滿足范圍的選項是選項B，故選：B．【例2】（2023?平谷區(qū)一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A．f（x）＝x2﹣|x| B．f(x)=1x2 C．f（x）＝e|x| D．f（x【答案】B【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結合各選項進行判斷即可．【解答】解：對于A，由題意可知f（x）的定義域為R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣|﹣x|＝x2﹣|x|＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上不是單調(diào)遞減，不符合題意；故A錯誤；對于B，由題意可知f（x）的定義域為{x|x≠0}，f(?x)=1(?x)2=1x2對于C，由題意可知f（x）的定義域為R，f（﹣x）＝e|﹣x|＝e|x|＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增；不符合題意；故C錯誤；對于D，f（x）＝|lnx|的定義域為（0，+∞），不是偶函數(shù)，不符合題意；故D錯誤；故選：B．【例3】（多選）（2023?唐縣校級二模）已知函數(shù)f(x)=ln(e2x?aA．若a＝1，則f（x）為奇函數(shù) B．若a＝﹣1，則f（x）為偶函數(shù) C．若f（x）具備奇偶性，則a＝﹣1或a＝0 D．若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為[﹣1，+∞）【答案】BCD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)依次判斷ABC選項，根據(jù)f(x)=ln(e32【解答】解：若a＝1，f(x)=ln(e2x?e?x)?12x，則e2x﹣e﹣x若a＝﹣1，f(x)=ln(e2x+e?x)?12x=ln(e2x+e?x)?ln當a＝﹣1時，由B知f（x）為偶函數(shù)，當a＝0時，知f(x)=32x由題知，f(x)=ln(e32x?ae?32x)，若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)=e3故選：BCD．熱點2最值名師點撥1．單調(diào)性法是求函數(shù)最值的通法．2．求函數(shù)最值時，首先考慮討論函數(shù)的單調(diào)性，除非某些特殊函數(shù)可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，導數(shù)法等．【例4】（2023?龍華區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且f（f（x）﹣x﹣log2x）＝5，則f（x）在[1，8]上的值域為（）A．[2，10] B．[3，10] C．[2，13] D．[3，13]【答案】D【分析】由題意設f（x）﹣x﹣log2x＝m，則f（x）＝x+log2x+m，且f（m）＝5，然后令x＝m，得到log2m＝5﹣2m，由此求出m的值，進而求出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，由此即可求解．【解答】解：由題意設f（x）﹣x﹣log2x＝m，則f（x）＝x+log2x+m，且f（m）＝5，所以m+log2m+m＝5，即log2m＝5﹣2m，解得m＝2，所以f（x）＝x+log2x+2，x∈[1，8]，因為函數(shù)y＝x，y＝log2x都為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[1，8]上單調(diào)遞增，則當x＝1時，f（x）min＝1+0+2＝3，當x＝8時，f（x）max＝8+3+2＝13，所以函數(shù)f（x）的值域為[3，13]，故選：D．【例5】（2023?泰州模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，y＝f（x）+ex是偶函數(shù)，y＝f（x）﹣3ex是奇函數(shù)，則f（x）的最小值為（）A．e B．22 C．23 【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)f（x）的解析式，再利用基本不等式可求得f（x）的最小值．【解答】解：因為函數(shù)y＝f（x）+ex為偶函數(shù)，則f（﹣x）+e﹣x＝f（x）+ex，即f（x）﹣f（﹣x）＝e﹣x﹣ex，①又因為函數(shù)y＝f（x）﹣3ex為奇函數(shù)，則f（﹣x）﹣3e﹣x＝﹣f（x）+3ex，即f（x）+f（﹣x）＝3ex+3e﹣x，②聯(lián)立①②可得f（x）＝ex+2e﹣x，由基本不等式可得f(x)=ex+2e?x≥2ex?2e故函數(shù)f（x）的最小值為22故選：B．【例6】（2023?安徽三模）函數(shù)f(x)=?x+4，x≤2，1+log【答案】[2，+∞）．【分析】分段分別求出函數(shù)f（x）的值域，最后取并集即可．【解答】解：函數(shù)f(x)=?x+4，x≤2當x≤2時，f（x）＝﹣x+4≥2，當x＞2時，f（x）＝1+log2x＞2，所以函數(shù)f（x）的值域為[2，+∞）．故答案為：[2，+∞）．熱點3奇偶性名師點撥1．是偶函數(shù);是奇函數(shù)．2．若奇函數(shù)在處有意義，則．3．若滿足對任意實數(shù)a,b都有,則是奇函數(shù)．【例7】（2023?閔行區(qū)二模）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的為（）A．y＝0 B．y=1x C．y＝x2 D．y【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解．【解答】解：選項A，y＝0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，不符合題意；選項B，y=1選項C，y＝x2是偶函數(shù)，不符合題意；選項D，y＝2x是非奇非偶函數(shù)，符合題意．故選：D．【例8】（多選）（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）設函數(shù)f（x）的定義域為R，f（2x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）＝ax+b．若f（0）+f（3）＝﹣1，則（）A．b＝﹣2 B．f（2023）＝﹣1 C．f（x）為偶函數(shù) D．f（x）的圖像關于(1【答案】AC【分析】根據(jù)題意，先利用函數(shù)的對稱性分析函數(shù)的周期，由此可得f（3）＝f（1）＝a+b＝0，f（0）＝b+1＝﹣1，由此求出a、b的值，即可得區(qū)間[0，1]上，f（x）的解析式，由此分析選項，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）的定義域為R，f（2x+1）為奇函數(shù)，則f（1）＝0且f（1﹣2x）＝﹣f（1+2x），變形可得f（x+2）＝﹣f（﹣x），又由f（x+2）為偶函數(shù)，則f（2+x）＝f（2﹣x），變形可得f（x+4）＝f（﹣x），綜合可得：f（x+4）＝﹣f（x+2），則有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則f（3）＝f（1）＝a+b＝0，f（0）＝b+1，則有f（0）+f（3）＝b+1＝﹣1，則b＝﹣2，a＝2，故在區(qū)間[0，1]上，f（x）＝2x﹣2，由此分析選項：對于A，b＝﹣2，A正確；對于B，f（x）是周期為4的周期函數(shù)，f（2023）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，B錯誤；對于C，f（x）是周期為4的周期函數(shù)且f（x+4）＝f（﹣x），則有f（x）＝f（﹣x），f（x）是偶函數(shù)，C正確；對于D，f（0）＝1﹣2＝﹣1，f（1）＝2﹣2＝0，則f（x）一定不關于（12，0）對稱，D故選：AC．【例9】（2023?張家口一模）已知f(x)=1+ae2x?1是奇函數(shù)，則實數(shù)【答案】2．【分析】利用奇函數(shù)的定義f（x）＝﹣f（﹣x）代入函數(shù)式，化簡即可求出a．【解答】解：由題意得f（x）＝﹣f（﹣x），所以1+a解得a＝2．故答案為：2．熱點4對稱性名師點撥1．軸對稱：若函數(shù)f(x)(1)．fx+a(2)．fx(3)．f?x2．點對稱：若函數(shù)f(x)(1)．fx+a(2)．fx(3)．f?x3．點對稱：若函數(shù)f(x)(1)．fx+a(2)．fx(3)．f?x【例10】（2023?三門峽模擬）已知函數(shù)f(x)=2?1?x+2，x＜?1，2?2A．點（1，﹣2）對稱 B．點（﹣1，2）對稱 C．直線x＝1對稱 D．直線x＝﹣1對稱【答案】B【分析】構造g（x），它是奇函數(shù)，進而根據(jù)f（x）＝g（x+1）+2即可根據(jù)平移求解．【解答】解：構造函數(shù)g(x)=f(x?1)?2=由于g（x）的定義域關于原點對稱，且g（﹣x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函數(shù)，所以f（x）＝g（x+1）+2的圖象關于點（﹣1，2）對稱．故選：B．【例11】（2023?雁塔區(qū)校級三模）已知y＝f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，若y＝f（2x+1）的最小正周期為1，則下列說法中正確的個數(shù)是（）①f(②f(③f（x）的一個對稱中心為（1，0）④f（x）的一條對稱軸為x=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)題意，y＝f（x）的最小正周期為2，再根據(jù)周期性，奇偶性，對稱性，求解即可．【解答】解：因為y＝f（2x+1）的最小正周期為1，所以f（2（x+1）+1）＝f（2x+1），即f（2x+3）＝f（2x+1），所以y＝f（x）的最小正周期為2，且y＝f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(12)+f(32)=f(12)+f(?12)=0，f(∵y＝f（x）最小正周期為2，y＝f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（x+2）＝f（x）＝﹣f（﹣x），∴f（x）對稱中心為（x+2?x2，0），即（1，0），故③正確，④故選：B．【例12】（多選）（2023?讓胡路區(qū)校級模擬）已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f(1A．f（0）＝﹣1 B．f（x）是偶函數(shù) C．f（x）關于(12D．f（1）+f（2）+…+f（2022）＝0【答案】BCD【分析】函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），取y＝0得可求出f（0）的值，取x＝0得可證得函數(shù)為偶函數(shù)，取x=12可得函數(shù)f（x）關于點（12【解答】解：∵函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），取y＝0得，f（x）+f（x）＝2f（x）f（0），∴2f（x）＝2f（x）f（0），∴f（0）＝1，故A錯誤，取x＝0得，f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y），又∵f（0）＝1，∴f（y）+f（﹣y）＝2f（y），∴f（﹣y）＝f（y），∴f（x）為偶函數(shù)，故B正確，取x=12得，f（12+y）+f（12?y）＝2f（12）f（y），又∵f(12)=0，∴f（12+y）+∵f（x）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）關于點（12，0）中心對稱，∴函數(shù)f（x）的周期T＝2，取x＝y(tǒng)=12得，f（1）+f（0）＝2f（12）f（12），∴f（1）＝﹣1，取x＝y(tǒng)＝1得，f（2）+f（0）＝2f2（1），∴f（2）＝1，∴f（1）+f（2）+…+f（2022）＝1011[f故選：BCD．熱點5由函數(shù)性質(zhì)解不等式名師點撥當題目中出現(xiàn)一些比較復雜的不等式，常常分析函數(shù)的奇偶性（對稱性）和單調(diào)性，利用這些性質(zhì)解決即可．【例13】（2023?林芝市二模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，2]上單調(diào)遞減，且f（x+2）為偶函數(shù)，則不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集為（）A．(?∞，?53)?(6，+∞) C．(?53，1)【答案】D【分析】由f（x+2）為偶函數(shù)求得函數(shù)對稱軸，再結合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（﹣x+2）＝f（x+2），即f（2﹣x）＝f（2+x），∴函數(shù)f（x）的圖象關于直線x＝2對稱，又∵函數(shù)f（x）定義域為R，在區(qū)間（﹣∞，2]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，∴由f（x﹣1）＞f（2x）得，|（x﹣1）﹣2|＞|2x﹣2|，解得x∈(?1，5故選：D．【例14】（多選）（2023?江蘇模擬）已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)y＝f（x﹣1）的圖象關于點（1，1）對稱，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．若f（mcosθ+4cosθ﹣2）+f（﹣4cos2θ）＞2對任意θ∈[π4，A．22?4 B．2?22 C．2【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性得到函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，進而得到mcosθ+4cosθ﹣2＞4cos2θ，利用參變分離和θ的取值范圍求出m的取值范圍，進而求解．【解答】解：因為函數(shù)y＝f（x﹣1）的圖象關于點（1，1）對稱且在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f（x）（x∈R）的圖象關于（0，1）對稱，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，由f（mcosθ+4cosθ﹣2）+f（﹣4cos2θ）＞2，可得f（mcosθ+4cosθ﹣2）+f（﹣4cos2θ）＞f（﹣4cos2θ）+f（4cos2θ），也即f（mcosθ+4cosθ﹣2）＞f（4cos2θ），則有mcosθ+4cosθ﹣2＞4cos2θ恒成立，即mcosθ＞4cos2θ﹣4cosθ+2，因為θ∈[π4，當cosθ＝0時，得到0＞﹣2恒成立；當cosθ≠0時，則有m＞4cos2θ+2?4cosθ令cosθ=t∈(0，22]因為函數(shù)y=8t?2t?4所以ymax=22?4，則m＞22故選：BC．【例15】（2023?江西模擬）已知函數(shù)f（x）＝x﹣sinx，則不等式f（x+1）+f（1﹣2x）＞0的解集是．【答案】（﹣∞，2）．【分析】由定義可判斷函數(shù)的奇偶性，求導可得其單調(diào)性，從而可求解不等式．【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝x﹣sinx，所以f（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f′（x）＝1﹣cosx≥0，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則不等式f（x+1）+f（1﹣2x）＞0等價于f（x+1）＞﹣f（1﹣2x）＝f（2x﹣1），即x+1＞2x﹣1，解得x＜2，所以不等式的解集為（﹣∞，2）．故答案為：（﹣∞，2）．熱點6三角函數(shù)的對稱性名師點撥1．三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個，適當結合條件確定合適．2．一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個點都可以作為對稱中心．一般情況下，選擇它與坐標軸交點，或則別的合適的點．【例16】（2023?南寧模擬）下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的為（）A．f（x）＝tanx B．f(x)=?1C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義判斷奇偶性，根據(jù)函數(shù)的圖象判斷單調(diào)性，但要注意單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．【解答】解：A項中，f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），則f（x）＝tanx是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合；B項中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合；C項中，f（﹣x）＝（﹣x）﹣cos（﹣x）＝﹣x﹣cosx≠±f（x），則f（x）為非奇非偶函數(shù)，不符合；D項中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函數(shù)，又y＝ex在x∈R上單調(diào)遞增，y＝e﹣x在x∈R上單調(diào)遞減，則f（x）在x∈R上單調(diào)遞增，符合．故選：D．【例17】（多選）（2023?張家口三模）關于函數(shù)f(x)=|sinx|+1A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）在區(qū)間(π2C．f（x）的最小值為2 D．f（x）在區(qū)間（﹣π，4π）上有兩個零點【答案】ABD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷可得A正確；利用導數(shù)判斷可得B正確；根據(jù)f(3π2)=0可得C不正確；分段解方程f（x【解答】解：由題意得x≠±kπ，k∈Z，關于原點對稱，因為f(?x)=|sin(?x)|+1sin|?x|=|?sinx|+所以f（x）為偶函數(shù)，故A正確；當x∈(π2，π)時，f(x)=sinx+因為x∈(π2，π)，所以cosx＜0，0＜sinx＜1，1?1si所以f（x）在區(qū)間(π2，π)因為f(3π2)=|sin當x∈（﹣π，0）時，sinx＜0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝﹣1，無解；當x＝0時，函數(shù)f（x）無意義，當x∈（0，π）時，sinx＞0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sinx+1sinx=0，得sin當x＝π時，函數(shù)f（x）無意義，當x∈（π，2π）時，sinx＜0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝1，得sinx＝﹣1，得x=3π當x＝2π時，函數(shù)f（x）無意義，當x∈（2π，3π），sinx＞0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝﹣1，無解，當x＝3π時，函數(shù)f（x）無意義，當x∈（3π，4π）時，sinx＜0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝1，得sinx＝﹣1，得x=7π綜上所述：f（x）在區(qū)間（﹣π，4π）上有兩個零點x=3π2和x=7π故選：ABD．【例18】（2023?大武口區(qū)校級四模）關于函數(shù)f(x)=2①函數(shù)f（x）的圖像關于y軸對稱；②函數(shù)f（x）的圖像關于直線x=π③函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；④函數(shù)f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是．【答案】①②④．【分析】對于①：由奇偶函數(shù)的定義，可判斷出f（x）為偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱；對于②：由f（π﹣x）＝f（x）即可判斷出函數(shù)f（x）的圖像關于直線x=π2對稱；對于③：由f（π+x）＝f（x）得出函數(shù)f（x）的最小正周期為π；對于④：設t=2【解答】解：對于①：f（x）定義域為R，因為f(?x)=2sin(?x)+(12)所以f（x）圖像關于y軸對稱，故①正確；對于②：對于任意的x∈R，f(π?x)=所以函數(shù)f（x）的圖像關于直線x=π2對稱，故對于③：因為f(π+x)=所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，故③錯誤；對于④：設t=2sinx∈[12，2]，則f(t)=t+1t，因為t+1t≥2故答案為：①②④．熱點7周期性名師點撥周期性的抽象函數(shù)：(1)．fx=f(x+a)(2)．fx+a=f(x?b)(3)．?fx=f(x+a(4)．fx+a=±1f(x【例19】（2023?洛陽模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（﹣x）＝0，f（﹣x﹣1）＝f（﹣x+1），當x∈（0，1）時，f（x）＝4x﹣3，則f（log480）＝（）A．15 B．?45 C．1【答案】D【分析】由題意，利用函數(shù)的奇偶性、周期性、對數(shù)的運算性質(zhì)，求得要求式子的值．【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（﹣x）＝0，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．∵f（﹣x﹣1）＝f（﹣x+1），∴﹣f（x+1）＝﹣f（x﹣1），即f（x+1）＝f（x﹣1），即f（x+2）＝f（x），故函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)．log480＝log4（16×5）＝2+log45．∵當x∈（0，1）時，f（x）＝4x﹣3，∴f（log480）＝f（log45+2）＝f（log45﹣2）＝﹣f（2﹣log45）＝﹣f（log4165）=?故選：D．【例20】（多選）（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）定義R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（6﹣x）+f（3），又f（x+π）的圖像關于點（﹣π，0）對稱，且f（1）＝2022，則（）A．函數(shù)f（x）的周期為12 B．f（2023）＝﹣2022 C．f(12x?1)+π關于點（﹣1，D．f(12x?1)+π【答案】ABD【分析】由題意可得f（x）為奇函數(shù)，關于x＝3對稱，進而可得f（x）的周期為12，即可判斷A、B；由題意可得f（x）關于（6k，0）對稱，k∈Z，進而得f（12x﹣1）+π關于（12k+2，π）對稱，k∈Z，即可判斷C、D【解答】解：因為f（x+π）的圖像關于點（﹣π，0）對稱，所以f（x）的圖像關于點（0，0）對稱，即f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），令x＝3，由f（x）＝f（6﹣x）+f（3）可得，f（3）＝0，所以f（x）＝f（6﹣x），即有f（3+x）＝f（3﹣x），所以y＝f（x）的圖象關于x＝3對稱，所以f（x+6）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+12）＝﹣f（x+6）＝f（x），所以f（x）的周期為12，故A正確；f（2023）＝f（168×12+7）＝f（7）＝f（6﹣7）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2022，故B正確；因為f（6）＝f（6﹣6）＝f（0）＝0，所以f（x）關于（6k，0）對稱，k∈Z，f（x﹣1）關于（6k+1，0）對稱，k∈Z，f（12x﹣1）關于（12k+2，0）對稱，k∈Zf（12x﹣1）+π關于（12k+2，π）對稱，k∈Z當k＝0時，有f（12x﹣1）+π關于（2，π）對稱，故D故選：ABD．【例21】（2023?陳倉區(qū)模擬）若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+1）是偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）＝log3（x+1），則f(1632【答案】1﹣log32．【分析】由奇、偶函數(shù)和周期函數(shù)的定義，可得f（x）的最小正周期，結合對數(shù)的運算性質(zhì)可得答案．【解答】解：由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），則f（x）的最小正周期為4，當0≤x≤1時，f（x）＝log3（x+1），則f(163故答案為：1﹣log32．熱點8函數(shù)性質(zhì)的綜合應用名師點撥1．是偶函數(shù);是奇函數(shù)．2．若函數(shù)f(x)關于直線x=a3．若函數(shù)f(x)關于點(4．若fx=f(x+a)【例22】（2023?興國縣模擬）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+1）是偶函數(shù)，且當x∈（0，1]時，f（x）＝x2，則f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1012【答案】B【分析】由奇函數(shù)f（x），滿足f（x+1）是偶函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的周期為4，分別求解f（0），f（1），f（2），f（3），從而可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）．【解答】解：已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），所以f（x）＝﹣f（﹣x）①，且f（0）＝0，又f（x+1）是偶函數(shù)，所以f（x+1）＝f（﹣x+1），即f（x）＝f（2﹣x）②，所以f（2）＝f（0）＝0，由①②可得：﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），所以﹣f（2﹣x）＝f（4﹣x），則f（﹣x）＝f（4﹣x），則函數(shù)f（x）的周期為4，當x∈（0，1]時，f（x）＝x2，則f（1）＝1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1＝f（3），所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝506[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]＝0．故選：B．【例23】（多選）（2023?杭州二模）已知函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，f（x+2）＝f（﹣x）且f（1）＝2，f'（x）是f（x）的導函數(shù)，則（）A．f（2023）＝2 B．f'（x）的周期是4 C．f'（x）是偶函數(shù) D．f'（1）＝1【答案】BC【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)的周期可得B正確，結合函數(shù)的奇偶性求出f（2023）的值，可得A錯誤，對等式f（﹣x）＝﹣f（x）兩邊同時求導，可得f′（﹣x）＝f′（x），可得C正確，結合函數(shù)的奇偶性分析f′（1）的值，可得D錯誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足f（x+2）＝f（﹣x），則f（x+4）＝f（﹣x﹣2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，B正確；而函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，則f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，A錯誤；f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），等式兩邊同時求導，可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），f'（x）是偶函數(shù)，C正確；f（x+2）＝f（﹣x），則有f（x+2）＝﹣f（x），等式兩邊同時求導，可得f′（x+2）＝﹣f′（x），令x＝﹣1可得，f′（1）＝﹣f′（﹣1），又由f′（x）為偶函數(shù)，則f′（1）＝f′（﹣1），綜合可得f′（1）＝0，D錯誤；故選：BC．【例24】（多選）（2023?渝中區(qū)校級模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），且函數(shù)y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A．f（x）是周期函數(shù) B．f（x）的圖象關于點（2023，0）對稱 C．f（x）是R上的偶函數(shù) D．f（x）是R上的奇函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性分別進行判斷即可．【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；由y＝f（x﹣1）為奇函數(shù)，可知f（x）的圖象關于點（﹣1，0）對稱，因為周期是4，故B正確；∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+2），又f（x）的圖象關于點（﹣1，0）對稱，∴f（x﹣2）＝﹣f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f（x﹣2+4）＝﹣f（x+2），∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）是偶函數(shù)，故C正確；舉反例，如f(x)=cosπ2x故選：ABC．熱點9存在性與恒成立問題名師點撥常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：1.．2.．3.．4.．5.．6.．7.．8.．【例25】（2023?凱里市校級二模）若存在實數(shù)a，b，使得關于x的不等式3x23≤ax+b≤2x2+2對【答案】2+2【分析】令x＝0，可得b∈[0，2]，當x＞0時，分b＝2和b∈（0，2）討論．當b∈（0，2）時，將原命題分解成兩個恒成立問題，對于3x23≤ax+b恒成立問題，可參變分離構造函數(shù)g(x)=3x?13【解答】解：令x＝0，得b∈[0，2]．當x＞0且b＝2時，原命題等價于3x由a≤2x恒成立可知a≤0，又當x＝1時，a≥3?21=1當x∈（0，+∞），且b∈（0，2）時，由3x23設g(x)=3x?13當x∈(0，b32)時，g′（x）＞0，此時g（當x∈(b32，+∞)時，g′（x）＜0，此時g（g(