熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課后習(xí)題新編 答案

第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律

1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)?，壓強(qiáng)系數(shù)?和等溫壓縮系數(shù)?T。

解：己知理想氣體的物態(tài)方程為pV=nRT

由此得到

1_nR_\

體脹系數(shù)=

av\^T）p~pV^T

1

P

1.2證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量T,P的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)量的體脹系數(shù)和等溫壓縮

系數(shù)，根據(jù)下述積分求得lnV=J(MT—4丁即)，如果&=",?7=下,試求物態(tài)方程。

解:體脹系數(shù)

等溫壓縮系數(shù)

以T,P為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為V=V（T,p）

其全微分為=|—jdT+\—\dp^VadT-VKTdp

I"。tdp)T

這是以T,P為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，得

根據(jù)題設(shè)，若（X=—,KT——

TP

T

則有InV=In—+C,PV=CT

P

要確定常數(shù)C,需要進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

1.4描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度L,力學(xué)參量是張力￡,物態(tài)方程是(￡,L,T)=O,實(shí)驗(yàn)通常在大氣壓

下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為&=工[9],等溫楊氏模量定義為

L{dT)F

Y=-\—\,其中A是金屬絲的截面。一般來(lái)說(shuō)，？和Y是T的函數(shù)，對(duì)￡僅有微弱的依賴關(guān)系。

AydL)r

如果溫度變化范圍不大，可以看作常數(shù)。假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由T1降至T2時(shí)，其張

力的增加為A￡=-YA。①-1)。

解：/(￡,L,T)=O，￡=F￡(L,T)

所以△￡=-YAC(T2-TJ

1.61mol理想氣體，在27。(3的恒溫下發(fā)生膨脹，其壓強(qiáng)由20Pli準(zhǔn)靜態(tài)地降到IP”，求氣體所做的功和

所吸收的熱量。

VB

解：將氣體的膨脹過(guò)程近似看做準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。根據(jù)W=

VA

在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中氣體體積由VA膨脹到VB,外界對(duì)氣體所做的功為

氣體所做的功是上式的負(fù)值，

?W=-/?Tln-=8.31?300?ln20J=7.47?10?3J

Pa

在等溫過(guò)程中理想氣體的內(nèi)能不變，即?U=0

根據(jù)熱力學(xué)第一定律?U=W+Q,

氣體在過(guò)程中吸收的熱量Q為Q=?W=7.47?10,3J

1.7在25。(：下，壓強(qiáng)在0至lOOOpn之間，測(cè)得水的體積為

V=18.066?0.715?10?3P+0.046?10?6P2cm3?mol?1

如果保持溫度不變，將Imol的水從Ipn加壓至lOOOpn,求外界所作的功。

解：將題中給出的體積與壓強(qiáng)的關(guān)系記為V=A+BP+CP2

由此得到dV=(B+2CP)dP

保持溫度不變，將Imol的水從IPn加壓至lOOOPn,在這個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中，外界所作的功為

VBPB])

W=-J小=-JP(B+2CP)^—(-BP2+-CP3)|；000=33.1J?mol”

VAPA23

1.11滿足PVn=C的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明，理想氣體在多方過(guò)程中

理想氣體多方過(guò)程PV=RT

PV-=C

PdV+VdP=RdT

有=>PdV=---dT

PVn-'ndV+V"dP=O,nPdV+VdP=On-\

所以

n—\

Cp-Cv=R

另一方面，理想氣體}C

n一夕一

所以得Cn=—y，證畢

n-1

1.12試證明，理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量Cn如果是常量，該過(guò)程一定是多方過(guò)程。多方指數(shù)

n=C--Cp.假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。

Cn-Cv

解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，dU=dQ+dW(1)

對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有dW=?pdV

對(duì)于理想氣體有dU=CvdT

氣體在過(guò)程中吸收的熱量為dQ=CndT

則熱力學(xué)第一定律(1)可表達(dá)為(Cn?Cv)dT=pdV

用理想氣體的物態(tài)方程？RT=pV去除上式，以及代入Cp?Cn=?R

得到(Cn—Cu)與=(Cp—(2)

Irj1\7

理忠想'氣八體件的刖物會(huì)態(tài)刀方作程H的'J王全微愀分為-—-----+1---—-----==——(3)

PVT

以上兩式聯(lián)立，消去?，得(Cn—Cu)￡—(Cn—=0(4)

上式(4)表示為

若Cp,Cv,Cn都是常量，將上式積分得PV"=C

上式表明，過(guò)程是多方過(guò)程。

1.16假設(shè)理想氣體的定壓熱容量和定容熱容量之比?是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和V

的關(guān)系。該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)F(T),其表達(dá)式為lnR(7j=J少而。

解：dV=Tds-PdV,dV=CvdT

對(duì)準(zhǔn)靜絕熱過(guò)程，dS=O,

得到CydT=(dV)s=—PdV

C?~CV=R

另一方面，理想氣體

PV=RT

RT

于是,

/-I~V~

R

即得到■dT=--dV

7-IV

dFdT

令

MJ-下=(7-1尸

有Jln(V-F)=O,VF(T)=Const

1.21溫度為0℃的1kg水與溫度為100℃的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到100。。試分別求水和熱源的牖

變，以及整個(gè)系統(tǒng)的總?cè)甲?。欲使參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的燧保持不變，應(yīng)如何使水溫從0℃升至

100℃?已知水的比熱容為4.18J?g?i?K?i

解：0℃的水與溫度為100。(2的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到100昭。這一過(guò)程是不可逆過(guò)程。

為求水、熱源和整個(gè)系統(tǒng)的爆變，可以設(shè)想一個(gè)可逆過(guò)程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來(lái)不可逆過(guò)程中

的同樣的變化。通過(guò)設(shè)想的可逆過(guò)程來(lái)求不可逆過(guò)程前后的烯變。

為了求水的燧變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無(wú)窮小的熱源。其溫度分布在o℃與ioo(>c之間。令水

依次從這些熱源吸收熱量，使水溫由0℃升至100昭。在這可逆過(guò)程中，水的烯變?yōu)?/p>

,?產(chǎn)3mCpdT373,“,373,

AS永—I----------tnCpIn.......-10n3x4.18xIn-----J?K—1304.6J?K(1)

水上73T273273

水從0℃升至100℃所吸收的總熱量Q為Q=mCp?T=103?4.18?100J=4.18?105J

為求熱源的燔變，可令熱源向溫度為100℃的另一熱源放出熱量Q。在這可逆過(guò)程中，熱源的婚變

.?4.18x10_.叱-I/j

△執(zhí)源=----1

S...源-373-----J,K=-1120.6J-K(2)

由于熱源的變化相同，式子(2)給出的摘變也就是原來(lái)的不可逆過(guò)程中熱源的燧變。整個(gè)系統(tǒng)的

總焙變?yōu)?/p>

?S總=?S水+?S熱源=184J?K?|

為使水溫從0℃升至100℃而參與整個(gè)過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的燧保持不變，應(yīng)令水與溫度分布在0℃與

100<>C之間的一系列熱源吸熱。水的嫡變?S*水仍由式子(2)給出。這一系列熱源的懶變之和為

AS*執(zhí)消=-[OTmCPdTIn—^-103x4.18xln—J-K-'=—1304.617?參與

探源J273T273273

過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的總烯變?yōu)?/p>

?S*,?=?S*水+?S*熱源=0(5)

1.2210A的電流通過(guò)一個(gè)25?的電阻器，歷時(shí)1S。

(A)若電阻器保持為室溫27昭，試求電阻器的烯增加值。

(B)若電阻器被一絕熱殼包裝起來(lái)，其初溫為27℃,電阻器的質(zhì)量為10g,比熱容Cp為

0.84J?g?,?k?\問(wèn)電阻器的燃增加值為多少？

解：(A)以T,P為電阻器的狀態(tài)參量，設(shè)