2023-2024學(xué)年山東省濰坊市高一上冊(cè)普通高中學(xué)科素養(yǎng)能力測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省濰坊市高一上學(xué)期普通高中學(xué)科素養(yǎng)能力測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)模擬試題一、單選選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．2．已知“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．存在函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有（

）A． B．C． D．4．函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．5．已知命題關(guān)于的不等式與的解集相同，命題：，則是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減7．定義在上的偶函數(shù)，記，，，則（

）A． B． C． D．8．已知一臺(tái)搟面機(jī)共有對(duì)減薄率均在的軋輥（如圖），所有軋輥周長(zhǎng)均為，面帶從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出，若某個(gè)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周會(huì)在面帶上壓出一個(gè)疵點(diǎn)（整個(gè)過(guò)程中面帶寬度不變，且不考慮損耗），已知標(biāo)號(hào)的軋輥有缺陷，那么在搟面機(jī)最終輸出的面帶上，相鄰兩個(gè)疵點(diǎn)的間距為（

）（減薄率）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題9．已知實(shí)數(shù)、、，滿足，則（

）A． B． C． D．10．函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．對(duì)任意，有C．對(duì)任意，有 D．對(duì)任意，有11．已知，，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥艉瘮?shù)在的值域?yàn)?，則稱為的“倍美好區(qū)間”.特別地，當(dāng)時(shí)，稱為的“完美區(qū)間”，則（）A．函數(shù)存在“倍美好區(qū)間”B．函數(shù)不存在“完美區(qū)間”C．若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則D．若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13．已知函數(shù)，若，則.14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù).①對(duì)任意都成立；②在上不單調(diào).15．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、、、，則的取值范圍為.16．設(shè)函數(shù)，，，則函數(shù)的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．設(shè)全集，集合，.(1)求；(2)設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)，且不等式的解集中有且僅有兩個(gè)正整數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式的解集是，求的最大值.19．為研究某種病毒的繁殖規(guī)律，并加以預(yù)防，將病毒注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).經(jīng)檢測(cè)，病毒總數(shù)與天數(shù)存在指數(shù)函數(shù)關(guān)系，如下表.已知該種病毒在小白鼠體內(nèi)的數(shù)量超過(guò)的時(shí)候小白鼠將死亡，但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)的該種病毒.為了使小白鼠的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，設(shè)第一次在第天注射該種藥物.第天（）病毒總數(shù)……(1)求的最大值；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，第二次最遲應(yīng)在第幾天注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？附.20．已知函數(shù)，且是定義在上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，有，且時(shí)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；(3)若，解不等式.22．對(duì)于函數(shù)，記，，，…，，其中.(1)若函數(shù)是一次函數(shù)，且，求的最小值；(2)若，且，求；(3)設(shè)函數(shù)（），記，，若，證明.1．D【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則，化成同底數(shù)，計(jì)算可求解.【詳解】故選：D2．A【分析】由題意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得.【詳解】由題意得，又，此時(shí)，故.故選：A.3．C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于任一自變量有唯一的與之對(duì)應(yīng)，對(duì)取特殊值，通過(guò)舉反例排除即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋缓虾跻?；?duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則有，與函數(shù)的定義矛盾；對(duì)于C選項(xiàng)，，令，則，其中，合乎題意；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，與函數(shù)的定義矛盾.故選：C.4．A【分析】結(jié)合在定義域上的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷.【詳解】由圖知，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以在處無(wú)意義，排除C，D；對(duì)B，令時(shí)，或，且，當(dāng)時(shí)，，，所以，排除B故選：A5．D【分析】假設(shè)為真，驗(yàn)證能否得到，再假設(shè)為真，驗(yàn)證能否得到即可得.【詳解】若，則可化為，則與的解集不同，故不是的必要條件；若、的解集都為空集，如、，此時(shí)兩不等式解集都為空集，不滿足，故不是的充分條件；綜上所述，是成立的既不充分又不必要條件.故選：D.6．B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定義域，并利用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)判斷區(qū)間單調(diào)性即可得.【詳解】由，可得的定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，故該函數(shù)為奇函數(shù)，故AC錯(cuò)誤，又，令，則，當(dāng)時(shí)，隨增大而增減小，且，故隨增大而增減小，當(dāng)時(shí)，隨增大而增減小，但，故隨增大而增大，又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.7．B【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)求出的值，即可得的解析式，進(jìn)而可得在上的單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，因?yàn)?，，?所以，所以，即.故選：B.8．C【分析】分析可知，第對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間面帶體積與最終出口處兩疵點(diǎn)間面帶體積相等，寬度不變，利用除以可得結(jié)果.【詳解】由圖可知，第對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間面帶體積與最終出口處兩疵點(diǎn)間面帶體積相等，因?qū)挾炔蛔儯趽{面機(jī)最終輸出的面帶上，相鄰兩個(gè)疵點(diǎn)的間距為，故選：C.9．ACD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)推導(dǎo)出，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷ABC選項(xiàng)，利用作差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，則，，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)可得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，D對(duì).故選：ACD.10．ABD【分析】A，分是無(wú)理數(shù)和是有理數(shù)，兩種情況根據(jù)奇偶性的定義討論.B，分是無(wú)理數(shù)和是有理數(shù)，兩種情況，從內(nèi)函數(shù)到外函數(shù)討論.C，時(shí)可判斷；D分是無(wú)理數(shù)和是有理數(shù)，兩種情況結(jié)合條件討論.【詳解】A，若是無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)，此時(shí)，若是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，此時(shí)，綜上恒成立，故函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；B，若是有理數(shù)，則，則，若是無(wú)理數(shù)，則，則，故B正確，C，若，則，，C錯(cuò)誤；D，若是有理數(shù)，則與均為有理數(shù)，則，若是無(wú)理數(shù)，則與均為無(wú)理數(shù)，則，綜上：對(duì)任意，有，故D正確.故選：ABD11．ACD【分析】變形恒成立的不等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再解分式不等式即得.【詳解】因?yàn)?，則，而，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，依題意，，整理得，解得或，所以實(shí)數(shù)的值可以是，，.故選：ACD12．AC【分析】分析每個(gè)函數(shù)的定義域及其在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，按“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，列出相應(yīng)方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，若存在“倍美好區(qū)間”，則可設(shè)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)易得為方程的兩根，解得或.故存在定義域，使得的值域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，易得在區(qū)間與上均為增函數(shù)，故若存在“完美區(qū)間”（同號(hào)），則有，即為的兩根，即有兩根，由于，且，則故存在“完美區(qū)間”，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)闉闇p函數(shù)，若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則，則，，即，因?yàn)椋?，易得，所以，令，則，代入化簡(jiǎn)可得，同理也滿足，則在區(qū)間上有兩根不相等的實(shí)數(shù)根，故，解得，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，若函數(shù)存在“完美區(qū)間”（同號(hào)），當(dāng)時(shí)，則，即為的兩根，即為的兩根，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，兩式相減，得，因?yàn)?，所以，即，所以，此時(shí)；綜上：若函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：抓住“倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，在已知單調(diào)性的前提下，即可通過(guò)分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的取值，列出方程組.13．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的概念代入求值即可.【詳解】若則（舍去），若則或（舍去），故答案為.14．（答案不唯一）【分析】根據(jù)性質(zhì)①②，即可寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)，滿足這2個(gè)性質(zhì)，即得答案.【詳解】根據(jù)性質(zhì)①②，取函數(shù)，圖象對(duì)稱軸為，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，則滿足①②，故15．【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求出的范圍及、、、之間的關(guān)系與范圍，即可求解.【詳解】結(jié)合題意，畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示：不妨設(shè)，由圖可知，由二次函數(shù)的對(duì)稱性，有，有，即，即，即，即，由，則，則，令，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即的取值范圍為.故答案為.16．7【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)性質(zhì)，在時(shí)，分段去絕對(duì)值符號(hào)，作出函數(shù)的圖象，借助圖象求出面積即得.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即函?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在時(shí)的圖象，利用偶函數(shù)性質(zhì)得在上的圖象，如圖，其中點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是：.故7關(guān)鍵點(diǎn)睛：含多層絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，分段逐層去絕對(duì)值符號(hào)，再作出函數(shù)的圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.17．(1)(2)【分析】（1）解出集合、，利用交集的定義可求得集合；（2）求出集合，分、、三種情況討論，求出集合，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可，在時(shí)，根據(jù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；【詳解】（1）解：由得，即，解得，則，由可得，解得，即，所以，.（2）解：由（1）可得或，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．(1)(2)4【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合方程與不等式的關(guān)系，韋達(dá)定理及基本不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)正整數(shù)解，所以兩個(gè)正整數(shù)解為1和2，所以，即，所以．（2）因?yàn)椋?，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以為的兩根，所以所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的最大值為4．19．(1)(2)再經(jīng)過(guò)天必須注射藥物，故第二次應(yīng)在第天注射藥物【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得出，解不等式可得結(jié)果；（2）計(jì)算出第一次注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒數(shù)量，可得出再經(jīng)過(guò)天后小白鼠體內(nèi)病毒數(shù)量為，解不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意病毒總數(shù)關(guān)于天數(shù)的函數(shù)為，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，則，故的最大值為，故第一次最遲應(yīng)在第天注射該種藥物．（2）由題意第一次注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒數(shù)量為，再經(jīng)過(guò)天后小白鼠體內(nèi)病毒數(shù)量為，由題意，兩邊取對(duì)數(shù)得，得，所以再經(jīng)過(guò)天必須注射藥物，故第二次應(yīng)在第天注射藥物．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可得，結(jié)合及定義域計(jì)算即可得；（2）原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求的最值與的最值之間的關(guān)系，計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，所以，解得，，因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋环弦螅划?dāng)時(shí)，，滿足要求；所以；（2）因?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得成立，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，所以，所以．21．(1)為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）利用賦值法求出，再利用奇偶函數(shù)的定義推理判斷即得.（2）任取，利用函數(shù)單調(diào)性定義推理即可.（3）利用（1）（2）的結(jié)論，求解抽象的函數(shù)不等式.【詳解】（1）為奇函數(shù)，證明如下：令，則，令，任意，有則，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)．（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，顯然，即，又，因此，又，則，于是，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)楹瘮?shù)的定