安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．將正整數(shù)排列如下：123456789101112131415……則圖中數(shù)出現(xiàn)在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列2．已知向量，滿足：則A． B． C． D．3．已知a=logA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a4．已知過點的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．5．已知，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．不能確定6．圓與圓的位置關系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離7．與直線垂直于點的直線的一般方程是（）A． B． C． D．8．已知，，，則它們的大小關系是（）A． B． C． D．9．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．10．若點在圓外，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．半徑為的圓上，弧長為的弧所對圓心角的弧度數(shù)為________．12．如圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值是________.13．設數(shù)列的前n項和為，關于數(shù)列，有下列三個命題：（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；（2）若，則是等差數(shù)列：（3）若，則是等比數(shù)列這些命題中，真命題的序號是__________________________.14．設數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數(shù)列{}的前10項的和為__．15．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻自點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為______.16．實數(shù)x、y滿足，則的最大值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知角的頂點與原點重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點，若，且.（1）求的值；（2）求的值.18．某校從高一年級學生中隨機抽取60名學生，將期中考試的物理成績（均為整數(shù)）分成六段：，，，…，后得到如圖頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計眾數(shù)和中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從的學生中抽取一個容量為5的樣本，從這五人中任選兩人參加補考，求這兩人的分數(shù)至少一人落在的概率.19．如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.20．的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，且的面積為，求的值．21．已知的頂點都在單位圓上，角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

計算每行首個數(shù)字的通項公式，再判斷出現(xiàn)在第幾列，得到答案.【題目詳解】每行的首個數(shù)字為：1,2,4,7,11…利用累加法：計算知：數(shù)出現(xiàn)在第行列故答案選B【題目點撥】本題考查了數(shù)列的應用，計算首數(shù)字的通項公式是解題的關鍵.2、D【解題分析】

利用向量的數(shù)量積運算及向量的模運算即可求出．【題目詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積運算和向量模的計算，屬于基礎題．3、B【解題分析】

運用中間量0比較a?,?c【題目詳解】a=log20.2<log21=0,【題目點撥】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉化與化歸思想解題．4、B【解題分析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程求解．【題目詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點，由直線方程的點斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【題目點撥】本題考查直線的點斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關系，是基礎題．5、C【解題分析】

根據(jù)題意，求出與的值，比較易得，變形可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，，，易得，則有，故選：C．【題目點撥】本題主要考查不等式的大小比較，屬于基礎題．6、B【解題分析】

由兩圓的圓心距及半徑的關系求解即可得解.【題目詳解】解：由圓，圓，即，所以圓的圓心坐標為，圓的圓心坐標為，兩圓半徑，則圓心距，即兩圓外切，故選：B.【題目點撥】本題考查了兩圓的位置關系的判斷，屬基礎題.7、A【解題分析】由已知可得這就是所求直線方程，故選A.8、C【解題分析】因為，，故選C.9、A【解題分析】

當直線與垂直時距離最大，進而可得直線的斜率，從而得到直線方程。【題目詳解】原點坐標為，根據(jù)題意可知當直線與垂直時距離最大，由兩點斜率公式可得：所以所求直線的斜率為：故所求直線的方程為：，化簡可得：故答案選A【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，涉及直線的點斜式方程和一般方程，屬于基礎題。10、C【解題分析】

先由表示圓可得，然后將點代入不等式即可解得答案【題目詳解】由表示圓可得，即因為點在圓外所以，即綜上：a的取值范圍是故選：C【題目點撥】點與圓的位置關系（1）在圓外（2）在圓上（3）在圓內(nèi)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)弧長公式即可求解.【題目詳解】由弧長公式可得故答案為：【題目點撥】本題主要考查了弧長公式的應用，屬于基礎題.12、【解題分析】由程序框圖，得運行過程如下：；，結束循環(huán)，即輸出的的值是7.13、（1）、（2）、（3）【解題分析】

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和形式，逐一判斷即可.【題目詳解】既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是非零常數(shù)列，故（1）正確.等差數(shù)列的前項和是二次函數(shù)形式，且不含常數(shù)，故（2）正確.等比數(shù)列的前項和是常數(shù)加上常數(shù)乘以的形式，故（3）正確.故答案為：（1），（2），（3）【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，同時考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，屬于簡單題.14、【解題分析】試題分析：∵數(shù)列滿足，且，∴當時，．當時，上式也成立，∴．∴．∴數(shù)列的前項的和．∴數(shù)列的前項的和為．故答案為．考點：（1）數(shù)列遞推式；（2）數(shù)列求和.15、【解題分析】

將正三棱柱的側面沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點，可知點為棱的中點，即可計算出沿著螞蟻走過的路徑截開木塊時兩幾何體的體積之比.【題目詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點.由于，，再結合棱柱的性質，可得，一只螞蟻自點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，為的中點，因為三棱柱是正三棱柱，所以當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查棱柱側面最短路徑問題，涉及棱柱側面展開圖的應用以及幾何體體積的計算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．16、【解題分析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，將目標函數(shù)化為斜截式，找到其在軸截距的最大值，得到答案.【題目詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖所示，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃求最大值，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）平方處理求出，根據(jù)角的范圍可得，即可得解；（2）變形處理，結合（1）已計算的結果即可求解.【題目詳解】（1）由題：角的頂點與原點重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點，若，，即，兩邊平方可得：，，所以；（2）【題目點撥】此題考查同角三角函數(shù)的關系，根據(jù)平方關系處理同角正余弦的和差積三者關系，利用平方關系合理變形求值.18、（1）眾數(shù)為75，中位數(shù)為73.33；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出a=0.1．由此能求出眾數(shù)和中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從[40，60）的學生中抽取一個容量為5的樣本，從這五人中任選兩人參加補考，基本事件總數(shù)，這兩人的分數(shù)至少一人落在[50，60）包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩人的分數(shù)至少一人落在[50，60）的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，

解得，

所以眾數(shù)為：，的頻率為，

的頻率為，

中位數(shù)為：.（2）用分層抽樣的方法從的學生中抽取一個容量為5的樣本，

的頻率為0.1，的頻率為0.15，

中抽到人，中抽取人，從這五人中任選兩人參加補考，

基本事件總數(shù)，這兩人的分數(shù)至少一人落在包含的基本事件個數(shù)，所以這兩人的分數(shù)至少一人落在的概率.【題目點撥】在求解有關古典概型概率的問題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率19、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【題目詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設為，則，整理得，設為圓．所以點應該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點：1、圓的標準方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關系及轉化與劃歸思想的應用.【方法點睛】本題主要考查圓的標準方程及切線的方程、圓與圓的位置關系及轉化與劃歸思想的應用.屬于難題.轉化與劃歸思想是解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.本題（2）巧妙地將圓上存在點，使問題轉化為，兩圓有公共點問題是解決問題的關鍵所在.20、（1）（2）【解題分析】

（1）對等式，運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉化，再利用同角三角函數(shù)關系中的商關系，可求出角的正切值，最后根據(jù)角的取值范圍，求出角；（2）由三角形面積公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．【題目詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴在中；（2）∵的面積為，∴，∴，由余弦定理，有，∴．【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學運算能力.21、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）由正弦定理，兩角和的