控制體的微分方程課件

控制體的微分方程符號的定義對于原本就是標量的量，當其所對應的物理量增加時取為正，減少時取為負。質量，能量等都是標量。對于矢量，在對坐標軸投影時，各坐標軸上的分量與坐標軸的方向一致時為正，反之為負。動量，力等都是矢量。例如矢量分解成和：坐標系中的自然定義：與坐標方向一致的，符號為“+”，否則為“—”。控制體中的人為定義：控制體中的諸物理量增加時，符號為“+”，否則為“—”?？刂企w產(chǎn)生率定義：控制體內隨時間的物理量增量減去因控制面上的流動而引起的控制體物理量增量。對控制面上的流動必須同時考慮“進”和“出”兩種情況?？刂企w的：質量產(chǎn)生率=?動量產(chǎn)生率=?能量產(chǎn)生率=?根據(jù)三大守恒原理：質量產(chǎn)生率=0動量產(chǎn)生率=F能量產(chǎn)生率=0自然語言數(shù)學語言關于質量（標量）：在控制體體積內部出現(xiàn)的質量凈增量：由控制面上流動導致的質量凈增量：X方向流進：流出：Y方向流進：流出：流進-流出：質量守恒原理：系統(tǒng)：在系統(tǒng)中不存在源或匯的條件下，系統(tǒng)的質量不隨時間變化。控制體：質量產(chǎn)生率=0→控制體內質量隨時間的變化率（凈增量），與由控制面上的質量流動而導致的質量凈增量相減后而共同形成的控制體的質量產(chǎn)生率等于零。即二者數(shù)值相等：關于動量（矢量）：以x方向為例進行討論：在控制體體積內部出現(xiàn)的動量凈增量：由控制面流動導致的動量凈增量：正面流進:流出：側面流進：流出：流進-流出：

體積內部的合力：控制面上的合力：正應力：：；

：切應力：：；

：X方向合力為：動量守恒原理：系統(tǒng)：系統(tǒng)的動量對時間的變化率，等于外界作用在該系統(tǒng)上的合力。即：控制體：動量產(chǎn)生率=F→控制體內動量的產(chǎn)生率（隨時間的凈增和隨流動的凈增相減后而產(chǎn)生），等于外界作用在該系統(tǒng)上的合力。即：關于能量（標量）：在控制體體積內部出現(xiàn)的能量凈增量：由控制面導致的能量凈增量：流進-流出（對流項）：體積力所作的功：控制面上的力所做的功：壓力功：（已經(jīng)包含在對流項中，不必計入）因為切應力功：體積熱（熱的源或匯）：控制面上的熱：傳導熱（凈增量）：

對流熱（凈增量）：已經(jīng)在能量流中計及，不再重復。輻射熱（凈增量）：這里不考慮能量守恒原理：系統(tǒng)：單位時間內由外界傳入系統(tǒng)的熱量與外力對系統(tǒng)所作的功之和，等于該系統(tǒng)的總能量對時間的變化率。即：控制體：能量產(chǎn)生率=0→控制體內能量的產(chǎn)生率（凈增量），包括外界作用在該系統(tǒng)上的合力所做的功與外界傳入系統(tǒng)的熱量，等于0。即：控制體的微分方程（物理量的數(shù)學描述）（X方向）從以上推導我們可以看出，可以用質量、動量、能量、力和熱對控制體進行數(shù)學描述，但是它的整個運動規(guī)律的數(shù)學描述需建立在三大守恒原理的基礎上，從而把各個單一的物理量組合起來形成微分方程。方程封閉性的討論對控制體，在應用了三大守恒原理之后我們就可以寫出有限數(shù)量的微分方程：一維是3個，二維是4個，三維是5個。因為質量能量都是標量，無論幾維坐標都只能寫出一個方程，而動量是矢量，方程數(shù)量隨坐標軸數(shù)量變化。只有不相關的方程數(shù)量與未知量數(shù)量相等時，方程才是封閉的。連續(xù)性方程：

參量：以二維為例：動量方程:參量：能量方程

參量：非定常/粘性/體積力/內熱源一維：參數(shù)：9個；方程：3個；要封閉求解應補充方程：6個二維：參數(shù)：13個；方程：4個；要封閉求解應補充方程：9個三維：參數(shù)：20個；方程：5個；要封閉求解應補充方程：15個非定常/粘性一維：參數(shù)：7個；方程：3個；應補充方程：4個二維：參數(shù)：10個；方程：4個；應補充方程：6個三維：參數(shù)：16個；方程：5個；應補充方程：9個定常/理想（無粘性）一維：參數(shù)：6個；方程：3個；應補充方程：3個二維：參數(shù)：8個；方程：4個；應補充方程：4個三維：參數(shù)：10個；方程：5個；應補充方程：5個本章小結寫出控制體數(shù)學表述之前必須對物理量的符號進行定義：一種基于坐標系自然定義，一種是基于控制體的人為定義。如果不引入三大守恒原理，我們無法寫出關于控制體的微分方程。由于系統(tǒng)和控制體之間的差別在于在邊界面