利息理論課件

利息理論

InterestTheory

第1章利息度量方法內(nèi)容提要：利息是借款人使用他人資金所需支付的代價(jià)，或貸款人出讓資金所獲得的報(bào)酬。對(duì)利息恰當(dāng)?shù)亩攘渴抢⒗碚搼?yīng)用于金融和保險(xiǎn)領(lǐng)域的基礎(chǔ)。度量利息與計(jì)算利息的方式（單利，復(fù)利，連續(xù)時(shí)間復(fù)利）有關(guān)；任何時(shí)刻資金的累積值依賴于其所經(jīng)歷的時(shí)間；不同時(shí)刻資金價(jià)值是不能直接比較的，須按一定的計(jì)算規(guī)則（折現(xiàn)，累積）把不同時(shí)刻的資金價(jià)值換算到同一時(shí)刻進(jìn)行比較。關(guān)鍵詞：累積函數(shù)；貼現(xiàn)函數(shù)；金額函數(shù)；單利；復(fù)利；實(shí)際利率；實(shí)際貼現(xiàn)率；名義利率；名義貼現(xiàn)率；利息力；貼現(xiàn)力；累積因子；貼現(xiàn)因子。第1章利息度量方法本章要解決以下問題：復(fù)利和單利有何區(qū)別？復(fù)利產(chǎn)生的利息是否總大于單利產(chǎn)生的利息？如果復(fù)利在一年內(nèi)有多次利息結(jié)轉(zhuǎn)，甚至按時(shí)間連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時(shí)，復(fù)利的利息會(huì)有何變化？貼現(xiàn)率和利率有何關(guān)系？實(shí)際利率與名義利率有何關(guān)系？實(shí)際貼現(xiàn)率和名義貼現(xiàn)率有何關(guān)系？第1章利息度量方法教學(xué)要求：本章的重點(diǎn)是圍繞利息的度量和利息問題的求解這兩大問題展開討論。要求掌握有關(guān)利息的各種度量工具以及與此相聯(lián)系的累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)，能夠熟練地運(yùn)算與利息有關(guān)的一些問題，特別要求重點(diǎn)掌握與復(fù)利有關(guān)的計(jì)算問題。要求對(duì)利息的各種度量工具之間的相互關(guān)系比較熟悉。

教學(xué)內(nèi)容：

1.1累積函數(shù)與實(shí)際利率1.2單利1.6名義利率

1.3復(fù)利1.7名義貼現(xiàn)率1.4貼現(xiàn)函數(shù)1.8利息力1.5貼現(xiàn)率1.9利率概念辨析1.1累積函數(shù)與實(shí)際利率關(guān)于利息的幾個(gè)基本概念本金（principal）：初始投資的資本金額。累積值（accumulatedvalue）：過一段時(shí)期后收到的總金額。利息（interest）——累積值與本金之間的差額。1.1.1

累積函數(shù)(AccumulationFunction)累積函數(shù)a(t)及其性質(zhì)累積函數(shù)：0時(shí)刻的1單位貨幣到t時(shí)刻時(shí)的累積值，記為a(t)。累積函數(shù)a(t)也稱為t期累積因子，因?yàn)樗菃挝槐窘鹪趖期末的累積值。累積函數(shù)的性質(zhì)：

1a(t)(1)a(0)=1；012……t(2)a(t)通常是時(shí)間t的遞增函數(shù)，即利息≥0

；

(3)如果按時(shí)間連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息，a(t)是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)；如果間斷結(jié)轉(zhuǎn)利息，a(t)為間斷函數(shù)（若在每期末結(jié)轉(zhuǎn)利息，則是以結(jié)轉(zhuǎn)利息時(shí)刻為間斷點(diǎn)的階梯函數(shù)）。

(注)：一般假設(shè)利息是連續(xù)產(chǎn)生的。1.1累積函數(shù)與實(shí)際利率1.1.1

累積函數(shù)金額函數(shù)（Amountfunction）當(dāng)原始投資不是1個(gè)單位的本金，而是k個(gè)單位時(shí)，則把k個(gè)單位本金的原始投資在時(shí)刻t的累積值記為A(t),稱為金額函數(shù)(也稱為總額函數(shù)、總量函數(shù))。金額函數(shù)：0時(shí)刻的k單位貨幣到t時(shí)刻時(shí)的累積值，記為A(t)。kA(t)金額函數(shù)的性質(zhì)：

012……t

(1)A(0)=k；

(2)A(t)=k·a(t),k>0,t≥0；

(3)如果按時(shí)間連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息，A(t)為關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)。金額函數(shù)和累積函數(shù)可以互相表示：A(t)=A(0)a(t)1.1累積函數(shù)與實(shí)際利率1.1.1

累積函數(shù)利息（interest）的數(shù)學(xué)定義金額函數(shù)A(t)在時(shí)間段[t1,t2]內(nèi)所獲得的利息金額為

I(t1,t2)=A(t2)?A(t1)從投資之日算起，在t個(gè)時(shí)期所獲得的利息金額記為

I(t)=A(t)-A(0)＝A(0)[a(t)-1]，n≥1

其中Is=A(s)-A(s-1)表示金額函數(shù)在時(shí)間段[s-1,s]上產(chǎn)生的利息。(注)：利息金額I(t)在整個(gè)時(shí)期內(nèi)產(chǎn)生，但在最后時(shí)刻實(shí)現(xiàn)（支付、獲?。?.1累積函數(shù)與實(shí)際利率1.1.2

實(shí)際利率（effectiverateofinterest）利息率的基本含義

利息率：是一定時(shí)期內(nèi)產(chǎn)生的利息與投入或貸出的本金之比率，簡(jiǎn)稱為利率。利息率的具體形式年利率，用本金的％表示；月利率，用本金的‰表示；日利率，用本金的‰0表示。實(shí)際利率的概念

某一度量期的實(shí)際利率是指該度量期末得到的利息金額與此度量期初投資的本金金額之比。實(shí)際利率常用字母i表示。實(shí)際利率與名義利率的根本區(qū)別

用實(shí)際利率表示的利息只在給定的度量期期末支付一次；而名義利率計(jì)算的利息在一個(gè)度量期內(nèi)可能進(jìn)行多次支付。1.1累積函數(shù)與實(shí)際利率1.1.2

實(shí)際利率實(shí)際利率實(shí)質(zhì)是單位本金在給定的某一時(shí)期上產(chǎn)生的利息金額。累積函數(shù)a(t)必然通過兩點(diǎn)：(0，1)和(1,1+i)①

。實(shí)際利率的表示形式單期（單階段）實(shí)際利率計(jì)算公式：多期（多階段）實(shí)際利率計(jì)算公式：第t個(gè)度量期（時(shí)間段(t-1,t)）實(shí)際利率相關(guān)的關(guān)系式：

A(t)=A(t-1)(1+it)，A(t)=A(0)(1+i1)(1+i2)…(1+it)a(t)=a(t-1)(1+it)，a(t)=(1+i1)(1+i2)…(1+it)(注)：若無特別說明，實(shí)際利率是指年利率，因此實(shí)際利率通常用％表示。1.2單利(simpleinterest)1.2.1

單利的定義單利的概念：只有本金產(chǎn)生利息，投資期內(nèi)任何時(shí)期已經(jīng)產(chǎn)生的利息在后期不再計(jì)算利息。單利條件下的累積函數(shù)①：

a(t)=1+it，t=0,1,2,…②1.2.2

單利與實(shí)際利率的關(guān)系單利率為常數(shù)i時(shí)，實(shí)際利率it是時(shí)間t的單調(diào)減函數(shù)。

1.2.3常數(shù)單利率下的若干結(jié)論在常數(shù)單利率i下，累積函數(shù)a(t)=1+it(是時(shí)間t的線性函數(shù))

金額函數(shù)A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it)=A(0)＋A(0)it

利息總額I(t)=A(t)-A(0)=A(0)it(是時(shí)間t的單調(diào)增函數(shù))

每期利息額A(0)i(常數(shù))（注）：在實(shí)際應(yīng)用中，i通常是年利率，時(shí)間t應(yīng)以年為單位。1.2單利(simpleinterest)單利的實(shí)際應(yīng)用:累積函數(shù)中時(shí)間t的確定

（1）嚴(yán)格單利規(guī)則：“實(shí)際/實(shí)際”規(guī)則，即投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，每年按實(shí)際天數(shù)計(jì)算。①（2）精確單利規(guī)則：“實(shí)際/365”規(guī)則，即投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，每年按365天計(jì)算。（3）銀行家規(guī)則

(banker’srule)：“實(shí)際/360”規(guī)則，投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，而每年按360天計(jì)算。②（4）常規(guī)單利規(guī)則：“30/360”規(guī)則，在計(jì)算投資天數(shù)時(shí)，每月按30天計(jì)算，每年按360天計(jì)算。③在此規(guī)則下，兩個(gè)給定日期之間的天數(shù)可按下述公式計(jì)算：

360(Y2

?Y1)+30(M2

?M1)+(D2

?D1)

其中支取日為Y2年M2月D2日，存入日為Y1年M1月D1日。（注）：在計(jì)算兩個(gè)日期之間的精確天數(shù)時(shí)，可以應(yīng)用EXCEL軟件。1.3復(fù)利(compoundinterest)1.3.1

復(fù)利的定義復(fù)利的概念復(fù)利條件下的累積函數(shù)①：a(t)=(1+i)t，t=0,1,2…②1.3.1′

常數(shù)復(fù)利率下的若干結(jié)論在常數(shù)復(fù)利率i下，累積函數(shù)a(t)=(1+i)t

金額函數(shù)A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t

利息總額I(t)=A(t)-A(0)=A(0)[(1+i)t-1]1.3.2

復(fù)利與實(shí)際利率的關(guān)系

復(fù)利率為常數(shù)i時(shí)，實(shí)際利率it等于復(fù)利率(it=i)

。1.3復(fù)利(compoundinterest)例：如果本金為2000元，年利率為5%，在單利和復(fù)利的計(jì)息方式下，分別計(jì)算：（1）9個(gè)月后的累積值；（2）2年零3個(gè)月后的累積值。解：?jiǎn)卫?jì)息方式下，a(t)=1+it，A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it)（1）9個(gè)月后的累積值為2000×(1+0.05×0.75)=2075（元）（2）2年零3個(gè)月后的累積值為2000×(1+0.05×2.25)=2225（元）復(fù)利計(jì)息方式下，a(t)=(1+i)t，A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t

（1）9個(gè)月后的累積值為2000×(1+0.05)0.75=2074.54（元）（2）2年零3個(gè)月后的累積值為2000×(1+0.05)2.25=2232.06（元）(注)：①無論是單利或復(fù)利，在使用其累積函數(shù)和金額函數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，時(shí)間t的單位要與利率i對(duì)應(yīng)的時(shí)間單位一致。②如果時(shí)期不足1年，則單利的累積值比較大；如果時(shí)期超過1年，則復(fù)利的累積值比較大。1.3復(fù)利(compoundinterest)1.3.3

復(fù)利與單利①的區(qū)別基本意義的比較：?jiǎn)卫拢挥斜窘甬a(chǎn)生利息；復(fù)利下，本金和已生利息均能生息。實(shí)際利率與時(shí)間的關(guān)系：在常數(shù)利率i下，單利條件下的實(shí)際利率it是時(shí)間t的單調(diào)減函數(shù)；復(fù)利條件下的實(shí)際利率it等于常數(shù)復(fù)利率，與時(shí)間t無關(guān)。累積函數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)t=0ort=1時(shí)，1+it

=(1+i)t

；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，1+it＞(1+i)t

；當(dāng)t＞1時(shí)，1+it＜(1+i)t。1+it是t的線性函數(shù)，(1+i)t是t的凸函數(shù)。利息增長(zhǎng)的特征：在同樣長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)，單利利息增長(zhǎng)的絕對(duì)金額為常數(shù)；復(fù)利利息增長(zhǎng)的相對(duì)比率為常數(shù)。思考與討論(1-1)1.累積函數(shù)和金額函數(shù)各有什么作用？相互之間有什么聯(lián)系？

2.某一段時(shí)期的實(shí)際利率是指這段時(shí)期末得到的利息金額與期末累積值之比嗎？3.累積函數(shù)a(t)的曲線必然通過哪兩點(diǎn)？4.復(fù)利和單利有何區(qū)別？復(fù)利產(chǎn)生的利息是否總大于單利產(chǎn)生的利息？5.單利條件下的實(shí)際利率it相對(duì)于時(shí)間t表現(xiàn)出什么特征？復(fù)利條件下的實(shí)際利率it相對(duì)于時(shí)間t表現(xiàn)出什么特征？1.4貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)累積值：一筆資金在未來時(shí)刻的價(jià)值?，F(xiàn)值（presentvalue)：未來的一筆資金在現(xiàn)在的價(jià)值。貼現(xiàn)過程和貼現(xiàn)函數(shù)的概念為了在t期末得到某個(gè)累積值，而在開始時(shí)投資的本金額稱為該累積值的現(xiàn)值（貼現(xiàn)值、折現(xiàn)值）。顯然，t期末的累積值A(chǔ)(t)的現(xiàn)值為A(0)。由期末累積值求其現(xiàn)值的過程稱為貼現(xiàn)（折現(xiàn)）過程。累積和貼現(xiàn)（折現(xiàn)）是互逆的過程，a(t)表示1單位的本金在t期末的累積值，而a-1(t)表示為了在t期末得到累積值1，而在開始時(shí)投資的本金額。累積函數(shù)a(t)的倒數(shù)a-1(t)稱為貼現(xiàn)函數(shù)（折現(xiàn)函數(shù)）①或t期貼現(xiàn)因子。特別地，把一期貼現(xiàn)因子a-1(1)簡(jiǎn)稱為折現(xiàn)因子(貼現(xiàn)因子)，記為v。1.4貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)貼現(xiàn)函數(shù)的常見形式常數(shù)單利率下的貼現(xiàn)函數(shù)：

常數(shù)復(fù)利率下的貼現(xiàn)函數(shù)：

其中：t≥0，是貼現(xiàn)因子。()除非特別申明，今后一概用復(fù)利計(jì)算現(xiàn)值。貼現(xiàn)函數(shù)與累積函數(shù)的關(guān)系第1期期初的1元在t時(shí)期末的累積值為(1+i)t

，而t時(shí)期末的1元在第1期期初的現(xiàn)值為vt=(1+i)-t。幾個(gè)術(shù)語：貼現(xiàn)因子(discountfactor)：v=(1+i)-1t年貼現(xiàn)因子(t-yeardiscountfactor)：vt累積因子(accumulationfactor)：(1+i)t年累積因子(t-yearaccumulationfactor)：(1+i)t1.4貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)計(jì)算貼現(xiàn)值時(shí)的要點(diǎn)

無論是單利或復(fù)利，在使用其貼現(xiàn)函數(shù)計(jì)算現(xiàn)值時(shí)，時(shí)間t的單位要與利率i對(duì)應(yīng)的時(shí)間單位一致。單利和復(fù)利下貼現(xiàn)函數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)t=0ort=1時(shí)，(1+it)-1=(1+i)-t

；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，(1+it)-1＜(1+i)-t

；當(dāng)t＞1時(shí)，(1+it)-1＞(1+i)-t

。1.5貼現(xiàn)率1.5.1

實(shí)際貼現(xiàn)率(effectiverateofdiscount)實(shí)際貼現(xiàn)率的定義

一個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可收回金額（期末累計(jì)值）之比，記為d。

實(shí)際貼現(xiàn)率的表達(dá)式

1.5貼現(xiàn)率1.5.1

實(shí)際貼現(xiàn)率(effectiverateofdiscount)利率與貼現(xiàn)率的比較實(shí)際利率大于實(shí)際貼現(xiàn)率(d＜i)；貼現(xiàn)率d是利率i的增函數(shù)。當(dāng)利率i→∞時(shí)，貼現(xiàn)率d→1；利率i可在(0,∞)內(nèi)取值，貼現(xiàn)率d在(0,1)內(nèi)取值；貼現(xiàn)率d是利率i的貼現(xiàn)值(d=i·a-1(1))，利率i是貼現(xiàn)率d的累積值(i=d·a(1));利息是在期末收取的，而貼現(xiàn)值（貼現(xiàn)利息）是在期初收?。鄢┑模焕适抢⑴c期初本金的比率，貼現(xiàn)率是貼現(xiàn)值與期末累積值的比率；利率說明了資本在期末獲得利息的強(qiáng)度，貼現(xiàn)率說明了資本在期初獲得利息的強(qiáng)度。

用實(shí)際貼現(xiàn)率表示實(shí)際利率

1.5貼現(xiàn)率例：若現(xiàn)有面額為100元的零息債券在到期前一年的時(shí)刻價(jià)格為95元，同時(shí)，一年期儲(chǔ)蓄的利率為5.25％，如何進(jìn)行投資選擇?存款還是購買債券？解：95100從貼現(xiàn)率的角度看，01零息債券的貼現(xiàn)率：d＝(100-95)/100=5%儲(chǔ)蓄的貼現(xiàn)率：d＝i/(1+i)=5.25％/(1+5.25％)=4.988％<5%因此投資債券合算。從利息率的角度看，零息債券的利率：d=5%=1/20?i=d/(1-d)=1/19=5.26%儲(chǔ)蓄的利率為5.25％<5.26％因此投資債券合算。1.5貼現(xiàn)率1.5.2

實(shí)際貼現(xiàn)率與實(shí)際利率的一些重要關(guān)系重要關(guān)系式：

d=ivd=1-v,v=1-dd=iv=i(1-d)=i-id,i-d=id用實(shí)際貼現(xiàn)率表示貼現(xiàn)函數(shù)和累積函數(shù)

a-1(t)=vt=(1-d)t

a(t)=v–t=(1-d)-t

1.5貼現(xiàn)率1.5.3

單貼現(xiàn)率用單貼現(xiàn)率d表示貼現(xiàn)函數(shù)

a-1(t)=1-dt(0≤t≤1/d)有關(guān)結(jié)論：當(dāng)單利利率等于單貼現(xiàn)率(i=d)時(shí),根據(jù)單貼現(xiàn)率計(jì)算的現(xiàn)值小于根據(jù)單利利率計(jì)算的現(xiàn)值，即1-dt＜(1+it)-1。當(dāng)實(shí)際貼現(xiàn)率等于實(shí)際利率(d=i)時(shí),根據(jù)貼現(xiàn)率計(jì)算的現(xiàn)值小于根據(jù)利率計(jì)算的現(xiàn)值，即(1-d)t＜(1+i)-t。0＜t＜1時(shí),1-dt＞(1-d)t；

t＞1時(shí),1-dt＜(1-d)t；

t=0ort=1時(shí),1-dt=(1-d)t

。1.5貼現(xiàn)率累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)的有關(guān)結(jié)論累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)既可以用利率表示，也可以用貼現(xiàn)率表示。計(jì)算累積值時(shí)既可以用利率，也可以用貼現(xiàn)率；計(jì)算現(xiàn)值時(shí)既可以用利率，也可以用貼現(xiàn)率。如果用利率i計(jì)算累積值和現(xiàn)值，累積函數(shù)：a(t)=(1＋i)t貼現(xiàn)函數(shù)：a-1(t)=vt=(1＋i)-t如果用貼現(xiàn)率d計(jì)算累積值和現(xiàn)值，累積函數(shù)：a(t)=v–t=(1-d)-t貼現(xiàn)函數(shù)：a-1(t)=vt=(1-d)t利息度量問題的求解利息度量問題的基本變量：(1)原始投資額或本金A(0)；(2)投資時(shí)期n；(3)利率i（實(shí)際利率）；(4)投資期末的累積值A(chǔ)(n)。需要求解的相關(guān)問題：(1)投資本金問題或現(xiàn)值問題；(2)投資時(shí)期問題或時(shí)間問題；(3)利率問題；(4)累積值問題。價(jià)值等式（價(jià)值方程）：是連接利息度量問題的4個(gè)基本變量的重要關(guān)系式。是求解以上4個(gè)相關(guān)問題的基本工具。思考與討論(1-2)1.累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)各有什么作用？相互之間有什么聯(lián)系？2.根據(jù)復(fù)利利率計(jì)算的現(xiàn)值是否總大于根據(jù)單利利率計(jì)算的現(xiàn)值？3.某一段時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率是指這段時(shí)期末得到的利息金額與期末累積值之比嗎？4.實(shí)際貼現(xiàn)率d與實(shí)際利率i之間有什么聯(lián)系？5.貼現(xiàn)率d與利率i有什么差別？6.累積函數(shù)是否只能用利率表示？貼現(xiàn)函數(shù)是否只能用貼現(xiàn)率表示？1.6名義利率（nominalrateofinterest）名義利率的定義實(shí)際利率，是指在每個(gè)度量時(shí)期末結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的利率。名義利率是指在一個(gè)度量期內(nèi)分多次結(jié)轉(zhuǎn)利息的利率。定義名義利率的意義定義名義利率的目的是為了給出在不足一年的一個(gè)小時(shí)間區(qū)間內(nèi)的實(shí)際利率。名義利率度量了資本在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間內(nèi)獲取利息的能力。名義利率i(m)必須和單位度量期內(nèi)的結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)m（計(jì)息期個(gè)數(shù)，結(jié)轉(zhuǎn)利息的時(shí)間區(qū)間的個(gè)數(shù)）相聯(lián)系。年名義利率=月實(shí)際利率×12=季度實(shí)際利率×4=半年實(shí)際利率×2=年實(shí)際利率×11.6名義利率（nominalrateofinterest）名義利率的表述季度的實(shí)際利率為3%：年名義利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年名義利率為12%，每年復(fù)利4次；年名義利率為12%，每個(gè)季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年名義利率為12%，每個(gè)季度復(fù)利一次。相關(guān)術(shù)語利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每季度支付一次：payablequarterly；每半年復(fù)利一次：compoundsemiannually；1.6名義利率（nominalrateofinterest）等價(jià)的名義利率與實(shí)際利率的相互轉(zhuǎn)換

(1-22)(1-23)

(注)：

(1)在年名義利率一定的條件下，每年結(jié)轉(zhuǎn)利息的次數(shù)越多，年實(shí)際利率將越大。(當(dāng)i(m)一定時(shí)，m↑，則i↑)(2)在年實(shí)際利率一定的條件下，每年結(jié)轉(zhuǎn)利息的次數(shù)越多，年名義利率將越小。(當(dāng)n<m時(shí)，i(n)>i(m))因此，當(dāng)m>1時(shí)，i(m)<i(1)＝i；當(dāng)m<1時(shí)，i(m)>i(1)＝i。Excel應(yīng)用由每年復(fù)利m次的年名義利率j計(jì)算年實(shí)際利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”；由年實(shí)際利率i計(jì)算每年復(fù)利m次的年名義利率，可以使用EXCEL的命令“NOMINAL（i,m）”。例：假設(shè)儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)的年利率如下，如何比較這些利率？問題：1萬元可以投資一年，請(qǐng)比較投資3個(gè)月的定期存款和投資一年期的定期存款，哪個(gè)合算？當(dāng)3個(gè)月期的年利率為多少時(shí)，兩種投資沒有差異？分析：3個(gè)月的實(shí)際利率為i季=i(4)/4=1.80％÷4＝0.45％，1年下來的累積值為

(1+i(4)/4)4=(1+0.45%)4=1.01812(萬元)；1年期存款的實(shí)際利率為2.52％,1年下來的累積值為

(1+2.52%)=1.0252(萬元)。結(jié)論：直接投資1年合算。如果要求投資3個(gè)月期的定期存款等價(jià)于投資1年期的定期存款，則應(yīng)有(1+i(4)/4)4=1+2.52%，由此可得i(4)=4[(1+2.52%)1/4-1]=2.4965%思考題某人2006年1月1日在銀行存入10000元，期限為1年，年利率為3%。1月末，銀行的1年期存款利率上調(diào)了100個(gè)基點(diǎn)。請(qǐng)分析此人是否有必要對(duì)該筆存款轉(zhuǎn)存？假設(shè)活期存款利率不變，為1%。1年按360天計(jì)算，每月按30天計(jì)算。假設(shè)情景：2007年1月末需要使用這筆存款。注：定期存款若提前支取，按活期計(jì)息。一個(gè)基點(diǎn)為0.01%。利率調(diào)整幅度通常能被9整除。因?yàn)橐荒臧?60天計(jì)息。按單利方式計(jì)息。1年零30天后的累積值：轉(zhuǎn)存：不轉(zhuǎn)存：每年的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)小于1時(shí)的名義利率在n個(gè)時(shí)期支付一次利息的名義利率（即每年結(jié)轉(zhuǎn)1/n次利息）可以表示為i(1/n)

，其中n是大于1的正整數(shù)。名義利率i(1/n)

是指每n個(gè)時(shí)期支付一次利息，且每n個(gè)時(shí)期的實(shí)際利率為i(1/n)/(1/n)=i(1/n)×n。例：3年期定期存款的年利率為5%，其含義為i(1/3)=5%3年期的實(shí)際利率為i(1/3)×3=5%×3=15%問題：等價(jià)的1年期的實(shí)際利率i為多少？

1+15%=(1+i)3?i=(1+15%)1/3?1=4.769%存款利率：名義利率和實(shí)際利率的比較注：小于一年時(shí)，年實(shí)際利率大于年名義利率；超過一年時(shí)，年實(shí)際利率小于年名義利率。活期定期3個(gè)月6個(gè)月1年2年3年5年年名義利率(%)0.352.853.053.253.754.254.75年實(shí)際利率(%)0.35062.88063.07333.253.68224.08124.35401.8名義貼現(xiàn)率(nominalannualrateofdiscount)1.8.1

名義貼現(xiàn)率的定義名義貼現(xiàn)率的定義實(shí)際貼現(xiàn)率，是指在每個(gè)度量時(shí)期初預(yù)收一次貼現(xiàn)值(貼現(xiàn)利息)的貼現(xiàn)率。名義貼現(xiàn)率是指在一個(gè)度量期內(nèi)分多次預(yù)收貼現(xiàn)值的貼現(xiàn)率。定義名義貼現(xiàn)率的意義定義名義貼現(xiàn)率的目的是為了度量在不足一年的一個(gè)小時(shí)間區(qū)間內(nèi)的實(shí)際貼現(xiàn)率。名義貼現(xiàn)率度量了資本在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間內(nèi)預(yù)收貼現(xiàn)利息的能力。名義貼現(xiàn)率d(n)必須和單位度量期內(nèi)的貼現(xiàn)次數(shù)n（貼現(xiàn)期個(gè)數(shù)，預(yù)收貼現(xiàn)值的時(shí)間區(qū)間的個(gè)數(shù)）相聯(lián)系。年名義貼現(xiàn)率=月實(shí)際貼現(xiàn)率×12=季度實(shí)際貼現(xiàn)率×4=半年實(shí)際貼現(xiàn)率×2=年實(shí)際貼現(xiàn)率×11.8名義貼現(xiàn)率等價(jià)的名義貼現(xiàn)率與實(shí)際貼現(xiàn)率的相互轉(zhuǎn)換

(1-24)

(1-25)

(注)：

(1)在年名義貼現(xiàn)率一定的條件下，每年預(yù)收貼現(xiàn)值的次數(shù)越多，年實(shí)際貼現(xiàn)率將越小。(當(dāng)d(n)一定時(shí)，n↑，則d↓)(2)在年實(shí)際貼現(xiàn)率一定的條件下，每年預(yù)收貼現(xiàn)值的次數(shù)越多，年名義貼現(xiàn)率將越大。(當(dāng)m<n時(shí)，d(m)<d(n))因此，當(dāng)m>1時(shí)，d＝d(1)<d(m)

；當(dāng)m<1時(shí)，d＝d(1)>d(m)

。

1.8名義貼現(xiàn)率1.8.2

名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系一般關(guān)系：

(1-27)其中：m為一年結(jié)轉(zhuǎn)利息的次數(shù)；n為一年貼現(xiàn)的次數(shù)。特殊關(guān)系：

m=1時(shí)，n=1時(shí)，m=n時(shí)，(1-28)

，i(m)＞d(m)m=n=1時(shí)，i-d=i·d，1.8名義貼現(xiàn)率重要結(jié)論①

i(1)=i,d(1)=d

。當(dāng)時(shí)，i>d

。當(dāng)時(shí)，i(m)>d(n)

。思考與討論(1-3)1.為什么要定義名義利率？2.名義利率是否總大于同期的實(shí)際利率？

3.在年名義貼現(xiàn)率一定的條件下，隨著每年貼現(xiàn)次數(shù)的增多，年實(shí)際貼現(xiàn)率將增大嗎？

4.當(dāng)名義利率與名義貼現(xiàn)率等價(jià)時(shí)，兩者哪一個(gè)比較大？1.9利息力(forceofinterest)1.9.1

利息力的定義利息力利息力,是在某一時(shí)點(diǎn)上單位資金的利息，它度量了資本在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上獲取利息的能力①。利息力,是在確切時(shí)點(diǎn)上的利息強(qiáng)度，可以用累積函數(shù)在時(shí)點(diǎn)t的單位變化率來定義②。利息力,是在一定時(shí)期內(nèi)利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)趨于無窮大時(shí)的名義利率，即連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時(shí)的名義利率。在實(shí)際金融業(yè)務(wù)中，連續(xù)復(fù)利的利率就是利息力。1.9利息力(forceofinterest)1.9.2

利息力與累積函數(shù)的關(guān)系累積函數(shù)(1-31)

貼現(xiàn)函數(shù)金額函數(shù)n個(gè)時(shí)期的利息總額1.9利息力(forceofinterest)1.9.3復(fù)利條件下的利息力

在復(fù)利條件下，a(t)=(1+i)t,δt=ln(1+i)，與時(shí)間t無關(guān)，是一常數(shù)利息力δ。δ=ln(1+i)，1＋i=eδ，i=eδ-1.v=(1＋i)-1=e-δ，δ=-lnv.累積函數(shù)可以表示為：貼現(xiàn)函數(shù)可以表示為：當(dāng)利息力為常數(shù)時(shí)，實(shí)際利率也是常數(shù)。當(dāng)實(shí)際利率為常數(shù)時(shí)，利息力未必一定是常數(shù)。實(shí)際利率i、實(shí)際貼現(xiàn)率d、貼現(xiàn)因子v和利息力δ之間的換算關(guān)系（表1－4）1.9利息力(forceofinterest)1.9.4

單利條件下的利息力單利條件下的利息力是時(shí)間t的遞減函數(shù)，復(fù)利條件下的利息力與時(shí)間t無關(guān)。δ=ln(1+i)1.10

貼現(xiàn)力(forceofdiscount)定義：貼現(xiàn)力是貼現(xiàn)函數(shù)a-1(t)在時(shí)點(diǎn)t的單位變化率。

貼現(xiàn)力與利息力是等價(jià)的。()復(fù)利（復(fù)貼現(xiàn)）條件下的常數(shù)貼現(xiàn)力1.11

利率概念辨析1.11.1

實(shí)際利率和名義利率利息理論中的實(shí)際利率和名義利率實(shí)際利率，是指在每個(gè)度量時(shí)期末結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的利率。名義利率，是指在一個(gè)度量期內(nèi)分多次結(jié)轉(zhuǎn)利息的利率。經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中的實(shí)際利率和名義利率及其相互關(guān)系實(shí)際利率和名義利率：在經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中，所謂的實(shí)際利率是指扣除了通貨膨脹因素以后的利率；而名義利率是指沒有扣除通貨膨脹因素的利率。如果用i表示名義利率，用r表示實(shí)際利率，用π表示通貨膨脹率，則有(1+i)=(1+r)(1+π)，i=r+π+rπ，可近似表示為i≈r+π或r≈i－π即實(shí)際利率近似等于名義利率減去通貨膨脹率。在經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中，一般有名義利率≥實(shí)際利率，在利息理論中，可以有名義利率＜實(shí)際利率。1.11

利率概念辨析1.11.2

利率和貼現(xiàn)率利率和貼現(xiàn)率的計(jì)算基礎(chǔ)比較i=I(1)/A(0),d=I(1)/A(1)

在需要計(jì)算現(xiàn)值的場(chǎng)合，利率常常被誤稱為貼現(xiàn)率。利率和貼現(xiàn)率的關(guān)系利率和貼現(xiàn)率的應(yīng)用比較

財(cái)務(wù)分析和投資決策中的貼現(xiàn)問題計(jì)算現(xiàn)值既可以應(yīng)用利率i，也可以應(yīng)用貼現(xiàn)率d，還可以應(yīng)用利息力δ等，如：

a-1(t)=(1+i)-t=vt=(1-d)t=e-δt計(jì)算現(xiàn)值時(shí)所使用的未必是貼現(xiàn)率。人們更加習(xí)慣于使用利率(起貼現(xiàn)作用的利率)計(jì)算現(xiàn)值。

小結(jié)思考與討論(1-4)1.利息力和利息率在意義上有什么差別？利息力的定義是用什么來表現(xiàn)的？2.

復(fù)利條件下的利息力和單利條件下的利息力各有什么特點(diǎn)？3.可以運(yùn)用利息力來計(jì)算現(xiàn)值或者累積值嗎？怎樣計(jì)算？4.在一定時(shí)期內(nèi)利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)趨于無窮大時(shí)的名義利率是什么？5.利息理論中的實(shí)際利率、名義利率與經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中的實(shí)際利率、名義利率有什么差別？第2章等額年金（LevelAnnuity）內(nèi)容提要：年金是指按相等的時(shí)間間隔支付的一系列款項(xiàng)。在相同的時(shí)間間隔上支付相同金額的款項(xiàng)叫等額年金；在相同的時(shí)間間隔上支付等額款項(xiàng)但在不同的計(jì)息期利率不同或者雖然利率相同但計(jì)息頻率與付款頻率不同的年金稱為一般等額年金；在相同的時(shí)間間隔上支付不同金額的款項(xiàng)叫變額年金。本章主要討論各種等額年金的現(xiàn)值與終值的計(jì)算方法，以及等額年金的現(xiàn)值與終值之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞：年金；標(biāo)準(zhǔn)年金；等（定）額年金；期初付年金；期末付年金；延期年金；永續(xù)年金；可變利率年金；利息結(jié)轉(zhuǎn)周期（頻率）；支付周期（頻率）；連續(xù)年金。本章著重解決以下若干問題：標(biāo)準(zhǔn)年金的現(xiàn)值與終值計(jì)算以及兩者之間的關(guān)系；標(biāo)準(zhǔn)年金在任意時(shí)刻的值；可變利率年金的現(xiàn)值與終值計(jì)算；付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金的終值與現(xiàn)值計(jì)算；連續(xù)年金的終值與現(xiàn)值計(jì)算。第2章等額年金（LevelAnnuity）教學(xué)要求：本章主要介紹有關(guān)等額年金的一些內(nèi)容。通過本章的學(xué)習(xí)，要求理解年金的含義，熟悉年金的分類，掌握有關(guān)基本年金（標(biāo)準(zhǔn)年金）的計(jì)算。要求重點(diǎn)掌握年金的現(xiàn)值和終值的計(jì)算及其相互關(guān)系、期初付年金與期末付年金的相互關(guān)系，熟悉每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)支付m次的年金。對(duì)有關(guān)年金的利率問題和時(shí)間問題的求解要求一般程度的了解，對(duì)連續(xù)年金有一定程度的理解。

教學(xué)內(nèi)容：

2.1年金的含義2.2年金的現(xiàn)值

2.3年金的終值2.4年金現(xiàn)值與終值的關(guān)系

2.5年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值

2.6可變利率年金的現(xiàn)值和終值

2.7每年支付m次的年金

2.8連續(xù)支付的等額年金2.9價(jià)值方程2.1年金的含義2.1.1年金的基本概念經(jīng)濟(jì)生活中有一大類的支付款項(xiàng)，如：零存整取、住房的按揭還款、購物的分期付款、保險(xiǎn)中的養(yǎng)老保險(xiǎn)金給付、分期交付保費(fèi)，等等，該類支付款項(xiàng)的共同特點(diǎn)是支付的時(shí)間間隔相等。利息理論中把支付時(shí)間間隔相等的一系列款項(xiàng)稱為年金（annuity）。年金任意時(shí)刻的價(jià)值，與支付時(shí)點(diǎn)（期初，期末）、計(jì)息期的實(shí)際利率（有效利率）、支付期與計(jì)息期的關(guān)系、支付金額有關(guān)。年金是金融保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中十分常見的支付款項(xiàng)。2.1.2年金的含義及其延伸年金最原始的含義：一年付款一次，每次支付相等金額的一系列款項(xiàng)。年金含義的延伸

1）時(shí)間間隔可以是年、季度、月、周、日、瞬時(shí)；

2）支付款項(xiàng)的金額可以相等也可以不等；可以是確定也可以是不確定；支付期和計(jì)息期可以相同也可以不同。2.1年金的含義2.1.3

年金的分類

1．按照年金的支付時(shí)間和支付金額是否確定，年金可以分為確定年金(Annuity-certain)和風(fēng)險(xiǎn)年金(Contingentannuity)。

2．按照年金的支付期限長(zhǎng)短，年金可以分為定期年金（Period-certainannuity)和永續(xù)年金（Perpetuity）。

3．按照年金的支付周期不同，年金可以分為非連續(xù)年金(每年(季、月、…)支付一次)和連續(xù)年金。

4．按照年金在每期的支付時(shí)點(diǎn)不同，年金可以分為期初付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金）。

5．按照年金開始支付的時(shí)間不同，年金可以分為即期年金和延期年金。

6．按照每次付款的金額是否相等，年金可以分為等額年金(Levelannuity)和變額年金(Variableannuity)。2.2年金的現(xiàn)值①

2.2.1期末付定期年金（annuity-immediate）的現(xiàn)值單位貨幣期末付n年定期年金的現(xiàn)值

(2-1)每期末支付k元的n年定期年金的現(xiàn)值

的性質(zhì)：當(dāng)n↑時(shí),↑；當(dāng)i↑時(shí),↓；。計(jì)算公式的變形及其意義

(2-2)

2.2年金的現(xiàn)值

2.2.2期初付定期年金（annuity-due）的現(xiàn)值單位貨幣期初付n年定期年金的現(xiàn)值

(2-3)

每期初支付k元的n年定期年金的現(xiàn)值的性質(zhì)：當(dāng)n↑時(shí),↑；當(dāng)i↑時(shí),↓；。

計(jì)算公式的變形及其意義

與的關(guān)系：1)(2-4)2)(2-5)

2.2年金的現(xiàn)值

【例2－2】某企業(yè)租用了一間倉庫，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假設(shè)年實(shí)際利率為6％，試計(jì)算如果每年初支付租金，該倉庫的年租金應(yīng)該是多少？【解】設(shè)每年初的租金為A，則根據(jù)題意，可以建立下述方程：①因此每年初的租金為即②2.2年金的現(xiàn)值

【例2－2】思考題：在倉庫租賃市場(chǎng)上，實(shí)際的年租金一定是7596元嗎？如果實(shí)際的年租金不是7596元,會(huì)出現(xiàn)什么情況？此時(shí)倉庫租賃市場(chǎng)處于非均衡狀態(tài)。2.2年金的現(xiàn)值

當(dāng)資產(chǎn)出現(xiàn)兩種價(jià)值不等同的定價(jià)時(shí)，市場(chǎng)就處于非均衡狀態(tài)，價(jià)格偏離了由供需關(guān)系所決定的價(jià)值，此時(shí)就出現(xiàn)了套利機(jī)會(huì)。無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)的出現(xiàn)，說明市場(chǎng)處于非均衡狀態(tài)。每一位市場(chǎng)參與者都會(huì)抓住機(jī)會(huì)盡可能大地構(gòu)筑套利頭寸，去套取無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。套利力量將會(huì)推動(dòng)市場(chǎng)重建均衡。一旦恢復(fù)市場(chǎng)均衡，套利機(jī)會(huì)就消失了，在市場(chǎng)均衡時(shí)沒有套利機(jī)會(huì)。這就是無套利均衡分析。現(xiàn)代金融學(xué)研究的基本方法是無套利均衡分析方法。這一方法最早體現(xiàn)在公司金融理論中的MM定理(研究企業(yè)資本結(jié)構(gòu)和企業(yè)價(jià)值之間的關(guān)系)。它標(biāo)志著現(xiàn)代金融學(xué)在方法論上從傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中獨(dú)立出來。它已成為金融工程中進(jìn)行金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)、開發(fā)和實(shí)施的基本分析技術(shù)。2.2年金的現(xiàn)值

【例2－2】思考題：如果每年初支付租金7000元可以租下這間倉庫，試設(shè)計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)套利方案?！窘狻緼＝7000元＜7596元，則套利方案：

1）簽訂租賃合同1，每年初支付7000元租金租下這間倉庫，租期8年；

2）簽訂租賃合同2，出租這間倉庫，租期8年，要求對(duì)方一次性支付50000元租金；

3）用50000元進(jìn)行投資或貸放款，在年實(shí)際利率6％之下，8年內(nèi)每年初連本帶息可獲取7596元，每年可獲利7596－7000＝596（元）50000

759675967596012345678

700070007000500002.2年金的現(xiàn)值

【例2－2】思考題：如果每年初支付租金8000元才能租下這間倉庫，試設(shè)計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)套利方案?！窘狻緼＝8000元＞7596元，則套利方案：

1）向銀行借款50000元，期限8年，在年實(shí)際利率6％之下，每年初分期還款7596元；

2）簽訂租賃合同1，一次性支付50000元租金租下這間倉庫，租期8年；

3）簽訂租賃合同2，出租這間倉庫，租期8年，要求對(duì)方每年初支付8000元租金，其中7596元還銀行，每年可獲利8000－7596＝404（元）。50000

800080008000012345678

759675967596500002.2年金的現(xiàn)值

2.2.3期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值

永續(xù)年金（perpetuity）及其現(xiàn)值的概念

永續(xù)年金是指可以無限期地支付下去的年金（付款次數(shù)是無窮大，付款期限是無窮長(zhǎng)）。永續(xù)年金的現(xiàn)值等于定期年金的現(xiàn)值當(dāng)支付期限n→∞時(shí)的極限。

單位貨幣期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值

(2-6)每期末支付k元的永續(xù)年金的現(xiàn)值

2.2年金的現(xiàn)值

2.2.4期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值單位貨幣期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值

(2-7)

每期初支付k元的永續(xù)年金的現(xiàn)值與的關(guān)系：

(2-8)

2.3年金的終值①

2.3.1期末付定期年金的終值單位貨幣期末付n年定期年金的終值

每期末支付k元的n年定期年金的終值

的性質(zhì)：當(dāng)n↑時(shí),↑；當(dāng)i↑時(shí),↑；。

計(jì)算公式的變形及其意義

(2-9)2.3年金的終值

2.3.2期初付定期年金的終值單位貨幣期初付n年定期年金的終值

每期初支付k元的n年定期年金的終值

的性質(zhì)：當(dāng)n↑時(shí),↑；當(dāng)i↑時(shí),↑；。

計(jì)算公式的變形及其意義

與的關(guān)系：1)2)(注)：永續(xù)年金不存在終值。

【思考題】某人在10年后需要為其子女支付上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，預(yù)計(jì)大學(xué)4年間每年初支付10000元學(xué)費(fèi)，為此他打算從現(xiàn)在開始每年初往一種基金存入一筆錢。如果該基金的年實(shí)際利率為6％，那么他每年應(yīng)該存入多少錢，才能保證可以支付子女的學(xué)費(fèi)？【解】假設(shè)每年初需要存入A元，則根據(jù)題意可以建立下述方程：①因此有

1000010000012………891011121314AAAAA2.4年金現(xiàn)值與終值的關(guān)系2.4.1年金現(xiàn)值與終值之間的換算關(guān)系與的關(guān)系：(2-11)

與的關(guān)系：(2-12)2.4.2年金現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系與之間的倒數(shù)關(guān)系：(2-13)

與之間的倒數(shù)關(guān)系：(2-14)2.5年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值2.5.1年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值延期年金（deferredannuity）：推遲若干時(shí)期后才開始付款的年金。年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值，可以看做為一個(gè)延期年金的現(xiàn)值。推遲m個(gè)時(shí)期，且隨后有n個(gè)時(shí)期的定期年金可看作一個(gè)m＋n期定期年金扣除一個(gè)m期的定期年金。延期m個(gè)時(shí)期的期末付n年定期年金的現(xiàn)值

(1)(2-15)(2)(2-16)

延期m個(gè)時(shí)期的期初付n年定期年金的現(xiàn)值

(1)(2-17)(2)2.5年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值2.5.1年金在支付期限開始前任意時(shí)點(diǎn)上的值延期m個(gè)時(shí)期的期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值

(1)

(2)延期m個(gè)時(shí)期的期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值

(1)(2)（注）：延期年金終值的計(jì)算方法與一般年金終值的計(jì)算方法相似，其終值的大小與延期期限無關(guān)?！纠磕橙肆粝逻z產(chǎn)10萬元。第一個(gè)10年將每年的利息付給受益人A，第二個(gè)10年將每年的利息付給受益人B，二十年后將每年的利息付給慈善機(jī)構(gòu)C。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)際收益率為7％，確定三個(gè)受益者的相對(duì)受益比例。【解】10萬元每年產(chǎn)生的利息是7000元。A所占的份額是B所占的份額是C所占的份額是注：請(qǐng)用Excel計(jì)算上述年金的值。從現(xiàn)值的角度看，A、B、C三個(gè)受益者的受益比例近似為49％，25％和26％。注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10萬元，其現(xiàn)值等于2.5年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值2.5.2年金在支付期限內(nèi)任意時(shí)點(diǎn)上的值計(jì)算原理(1)將原來的年金分解成兩個(gè)新的年金：一個(gè)由該時(shí)點(diǎn)之前的付款組成；另一個(gè)由該時(shí)點(diǎn)之后的付款組成。(2)原來的年金在該時(shí)點(diǎn)上的值

=第一個(gè)年金在該時(shí)點(diǎn)上的終值

+第二個(gè)年金在該時(shí)點(diǎn)上的現(xiàn)值。計(jì)算模型期末付年金的模型：期初付年金的模型：2.5年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值2.5.3年金在支付期限結(jié)束后任意時(shí)點(diǎn)上的值

計(jì)算原理(1)計(jì)算該年金的終值；(2)按年金支付期限末到該時(shí)點(diǎn)的時(shí)間長(zhǎng)度，計(jì)算此年金終值的復(fù)利累積值。計(jì)算模型期末付年金的模型：期初付年金的模型：2.6可變利率年金的現(xiàn)值和終值

本節(jié)討論的主題：利率在各個(gè)時(shí)期不完全相同的情況下，年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算問題。2.6.1每筆款項(xiàng)都以其支付時(shí)的利率①計(jì)算的可變利率年金現(xiàn)值和終值問題（固定利率計(jì)算利息）單位貨幣期末付年金的現(xiàn)值

單位貨幣期初付年金的現(xiàn)值

單位貨幣期末付年金的終值

單位貨幣期初付年金的終值

2.6可變利率年金的現(xiàn)值和終值2.6.2每筆款項(xiàng)經(jīng)歷哪個(gè)時(shí)期，就以哪個(gè)時(shí)期的利率計(jì)算的可變利率年金現(xiàn)值和終值問題(浮動(dòng)利率計(jì)算利息)單位貨幣期末付年金的現(xiàn)值

單位貨幣期初付年金的現(xiàn)值

單位貨幣期末付年金的終值

單位貨幣期初付年金的終值

2.7每年支付m次的年金兩個(gè)概念利息結(jié)轉(zhuǎn)周期：結(jié)轉(zhuǎn)一次利息所需間隔的時(shí)間長(zhǎng)度。年金支付周期：支付一次年金所需間隔的時(shí)間長(zhǎng)度。一般意義上的年金：年金支付周期未必等于利息結(jié)轉(zhuǎn)周期。當(dāng)支付周期和利息結(jié)轉(zhuǎn)周期不同時(shí)，有兩種情況：（1）每個(gè)年金支付周期內(nèi)結(jié)轉(zhuǎn)k次利息（年金支付周期比利息結(jié)轉(zhuǎn)周期長(zhǎng),年金支付頻率小于利息結(jié)轉(zhuǎn)頻率）；（2）每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)支付m次年金（年金支付周期比利息結(jié)轉(zhuǎn)周期短，年金支付頻率大于利息結(jié)轉(zhuǎn)頻率）。2.7每年支付m次的年金基本思路：對(duì)于每年支付m次的年金，計(jì)算其現(xiàn)值和終值可以采取兩種方法。方法一：進(jìn)行利率轉(zhuǎn)換，將年利率轉(zhuǎn)換成月、季度等小時(shí)間區(qū)間上的實(shí)際利率(i(m)→i→i(k)→i(k)/k)，然后應(yīng)用基本年金的公式計(jì)算年金的現(xiàn)值和終值及其他重要變量。方法二：不進(jìn)行利率轉(zhuǎn)換，直接建立新的計(jì)算公式。

符號(hào)體系：

n—總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)；

m—每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期中的年金支付次數(shù)；

nm—年金的總支付次數(shù)；(nm＞n)

i—每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率。【解】利率轉(zhuǎn)換：i(2)=6%，年實(shí)際利率i=(1+i(2)/2)2-1，

i(12)=12[(1+i)1/12-1]，月實(shí)際利率為

i(12)/12=(1+i)1/12-1=(1+i(2)/2)1/6-1=(1+3%)1/6-1=0.49386%；計(jì)算每月末的付款金額：設(shè)每月末的付款金額為X，則有所以【例】一筆50000元的貸款，計(jì)劃在今后的5年內(nèi)按月償還，如果每年結(jié)轉(zhuǎn)兩次利息的年名義利率為6%，試計(jì)算每月末的付款金額。（應(yīng)用基本公式）2.7每年支付m次的年金2.7.1每年支付m次的期末付定期年金每個(gè)支付周期末付款1/m元的年金現(xiàn)值

每個(gè)支付周期末付款1/m元的年金終值

(注)：1)實(shí)際每次付款1/m元，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期中付款m次，因此每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的付款1元。在應(yīng)用上述公式時(shí)，一定要注意它是以每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的付款為單位計(jì)算的。(后面的公式與此類似)

2)如果m=1，則i(m)=i

,所以,

。2.7每年支付m次的年金2.7.2每年支付m次的期初付定期年金每個(gè)支付周期初付款1/m元的年金現(xiàn)值

每個(gè)支付周期初付款1/m元的年金終值

(注)：1)如果m=1，則d(m)=d,所以,。

2)期初付定期年金與期末付定期年金的關(guān)系：

,。2.7每年支付m次的年金2.7.3每年支付m次的永續(xù)年金每個(gè)支付周期末付款1/m元的永續(xù)年金的現(xiàn)值

每個(gè)支付周期初付款1/m元的永續(xù)年金的現(xiàn)值

期初付永續(xù)年金現(xiàn)值與期末付永續(xù)年金現(xiàn)值的關(guān)系：

【例2-17】投資者現(xiàn)在投資20000元，希望在今后的每月末領(lǐng)取100元，并無限期地領(lǐng)下去，年實(shí)際利率應(yīng)該為多少？【解】假設(shè)年實(shí)際利率為i，則年名義利率為i(12)=12[(1+i)1/12-1]，月實(shí)際利率為i月=i(12)/12。根據(jù)題意，有價(jià)值等式所以，，。2.8連續(xù)支付的等額年金

連續(xù)支付年金（continuouslypayableannuity）：在一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)支付次數(shù)趨于無窮時(shí)的年金，即連續(xù)不斷進(jìn)行支付的年金。

2.8.1連續(xù)支付年金的現(xiàn)值年金：總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率為i，在每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)連續(xù)支付、支付總量為1元。該年金的現(xiàn)值：

(2-26)

連續(xù)支付年金的現(xiàn)值

連續(xù)支付年金的現(xiàn)值與基本年金的現(xiàn)值的關(guān)系

連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息、連續(xù)支付的年金現(xiàn)值

連續(xù)支付的永續(xù)年金的現(xiàn)值2.8連續(xù)支付的等額年金2.8.2連續(xù)支付年金的終值年金：總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率為i，在每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)連續(xù)支付、支付總量為1元。該年金的終值：

連續(xù)年金的終值

連續(xù)年金的終值與現(xiàn)值的關(guān)系

連續(xù)年金的終值與基本年金的終值的關(guān)系連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息、連續(xù)支付的年金終值

等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)等額年金公式小結(jié)2.9價(jià)值方程