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文檔簡(jiǎn)介

18.1平行四邊形

一、選擇題

1.已知四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是BC的中

點(diǎn),以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.0E=1DCB.0A=0C

C.ZB0E=Z0BAD.Z0BE=Z0CE

2.如圖,在平行四邊形ABC。中,AO=5,AB=3,他平分交8c邊于點(diǎn)E,

則線段BE,EC的長(zhǎng)度分別為()

A.2和3B.3和2C.4和1D.1和4如圖

3.如圖,將口ABCD沿對(duì)角線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B,處.若N1=N2=44。,

則28為()

A.66°B.104°C.114°D.124°

4.如圖,在ABCD中,將AADC沿AC折疊后,點(diǎn)D恰好落在DC的延長(zhǎng)線

上的點(diǎn)E處.若NB=60。,AB=3,則aADE的周長(zhǎng)為

5.如圖,QABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC+BD=16,CD=6,則

△ABO的周長(zhǎng)是()

A.10B.14C.20D.22

D

0

------------乂C

6.點(diǎn)A、B、C、。在同一平面內(nèi),從①AB〃C£>,②AB=CD,@BC//AD,

@BC=AD.這四個(gè)條件中任選兩個(gè),能使四邊形ABC。是平行四邊形的選法有

()種

A.3B.4C.5D.6

7.在平行四邊形ABCO中,點(diǎn)兒、&、4、4和G、C2、C3、C4分別為鉆和C。的

五等分點(diǎn),點(diǎn)4、為和。、。2分別是BC和D4的三等分點(diǎn),已知四邊形A/2G2的

面積為1,則平行四邊形ABC。面積為()

35

A.2B.-C.-D.15

53

8.如圖,D是4ABC內(nèi)一點(diǎn),BD±CD,AD=7,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為

9.已知四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a",c,d,其中a"為對(duì)邊,并且滿足

cr+kr+c2+d'=2ab+led

則這個(gè)四邊形是()

A.任意四邊形B.平行四邊形

C.對(duì)角線相等的四邊形D.對(duì)角線垂直的四邊形

10.

(2020.臨沂)如圖,P是面積為S的A8CO內(nèi)任意一點(diǎn),的面積為號(hào)

,APBC的面積為§2,則()

D

AB

qq

A.S,+S2>-B.S,+S2<-

C.S,+S2=^-D.S1+S2的大小與p點(diǎn)位置有關(guān)

二、填空題

11.如圖,在平行四邊A8CO中,乙4=120。,則/£)=

圖1

12.如圖,在平行四邊形ABC。中,DB=DC,NA=65。,CE工BD于E,則NfiCE=

13.如圖所示,四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,若AB〃CD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條

件(寫(xiě)一個(gè)即可),使四邊形ABCD是平行四邊形.

14.(2020.涼山州)如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

OE〃AB交AD于點(diǎn)E.若OA=1,aAOE的周長(zhǎng)等于5,則平行四邊形ABCD

的周長(zhǎng)等于.

A.ED

15.如圖,已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為10,尸是AABC內(nèi)一點(diǎn),PD//AC,

PE//AB,PF//BC,點(diǎn)。,E,尸分另U在A8,8C,AC上,則/Y)+PE+PF=

4

D.

16.如圖,在QABCD中,E為邊CD上一點(diǎn),將△ADE沿AE折疊至△ADE處,

AD'與CE交于點(diǎn)F,若/B=52。,NDAE=20°,則NFED,的大小為.

三、解答題

17.如圖,矩形ABC。中,E是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)CE,BA交于點(diǎn)F連接AC,

DF.

(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;

(2)當(dāng)CT平分N8CO時(shí),寫(xiě)出與C。的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

18.(2020?淮安)如圖,在nABCD中,點(diǎn)E、F分別在BC、AD±,AC與EF

相交于點(diǎn)O,且AO=CO.(1)求證:△AOF^^COE;

(2)連接AE、CF,則四邊形AECF(填"是"或"不是")平行

四邊形.

19.如圖,在等腰AABC中,延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)。,延長(zhǎng)邊。到點(diǎn)E,連接£>E,恰

有AD=BC=CE=DE.求證:ZfiAC=100°.

E

20.如圖,在AA8C中,A3=AC,A0_L5C于。,點(diǎn)P在8C上,PE上BC交BA

的延長(zhǎng)線于E,交AC于Fo求證:2AD=PE^-PF;

21.如圖所示,在平行四邊形A8C。中,^ijEAC24-BD2=AB2+BC2+CD24-DA2.

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)18.1平行四邊形培優(yōu)訓(xùn)

練?答案

一、選擇題

1.【答案】D【解析】A、B、C均正確,因?yàn)?8不一定等于0C,所以NQBE

不一定等于N0CE.

2.【答案】B

3.【答案】C【解析】設(shè)/AC。=x,ZB=y,則根據(jù)題意可列方程組

x+y+44°=180°

\'/、,解得y=U4。.

[180。一)一(44°-x)=44°'

4.【答案】C

【解析】由折疊可得,NACD=NACE=90。,.?.NBAC=90。,

又?.?NB=60。,.?.NACB=30。,;.BC=2AB=6,,AD=6,

由折疊可得,NE=ND=NB=60。,

.,.ZDAE=60°,.'.△ADE是等邊三角形,

AADE的周長(zhǎng)為6x3=18,

故選C.

5.【答案】B【解析】?.,四邊形ABCO是平行四邊形,.?.QA=OC,OB=OD.

由AC+B£)=16可得OA+OB=8,又,.泡8=。。=6,.'.△ABO的周長(zhǎng)為QA+

03+43=8+6=14.

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

【解析】VBD±CD,BD=4,CD=3,

:?BC=4+于=5,

VE.F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),

.\EH=FG=-BC,EF=GH=-AD,

22

/.四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又;AD=7,

...四邊形EFGH的周長(zhǎng)=7+5=12.故選A.

9.【答案】B

10.【答案】c

【解析】可以利用割補(bǔ)法對(duì)平行四邊形進(jìn)行分割,然后使分割后的圖形與APAO

的面積APBC的面積邑發(fā)生關(guān)聯(lián),然后求出其數(shù)量關(guān)系,如下圖,過(guò)點(diǎn)P

作AD的平行線,分別交ABCD的邊于點(diǎn)M、N:

AMND

S1+S2=—=5(S+SMI>CN)=萬(wàn).

二、填空題

11.【答案】60°

12.[答案]25。

【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形

ZA=NDCB=65°

又,/DB=DC

:.NDBC=NDCB=65°,NCDB=50°

又?/CE1BD,:.ZECD=40°

ZBCE=65°-40°=25°.

13.【答案】AO45c(答案不唯一)【解析】根據(jù)平行四邊形的判定,在已有

AB〃DC的條件下,可再加另一組對(duì)邊平行即可證得它是平行四邊形,即加

“AD〃BC”.

14.【答案】16

【解析】?.,四邊形ABC。是平行四邊形,,OA=OC,AB=CD,AD=BC.V

OE//AB,是△ACO的中位線.:.AE=-AD,OE=-CD.\"OA=1,△

22

AOE的周長(zhǎng)等于5,:.AE+OE=4.:.AD+CD=S.二平行四邊形ABC。的周

長(zhǎng)=16.故答案為16.

15.【答案】10

16.【答案】360【解析】?.?在口ABCD中,ZD=ZB=52°,.*.ZAEF=ZDAE

+ZD=200+52°=72°,AZAED=180°-ZAEF=108°,由折疊的性質(zhì)得,Z

AEDZ=ZAED=108°,AZFED7=ZAED(-ZAEF=108°-72°=36°.

三、解答題

17.【答案】

解:⑴證明:???四邊形ABCD是矩形,

:.AB//CD,:.ZFAE=ZCDE,

TE是AO的中點(diǎn),:.AE=DE,

又,?NFEA=ZCED,.*.△FAE^△CDE,:.CD=FA,

y.':CD//AF,

...四邊形ACDF是平行四邊形.

(2)BC=2CD理由:

,:CF^ZBCD,:.ZDCE=45°,

,/NCDE=90。,

/.△CDE是等腰直角三角形,

:.CD=DE,

E是AO的中點(diǎn),:.AD=2CD,

?:AD=BC,:.BC=2CD.

18.【答案】

(1)?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

:.AD〃BC,

/.ZFAO=ZECO,

^△AOF和△COE中

NFAO=NECO

<AO=CO

ZAOF=4cOE

/.△AOFflACOE(ASA).

(2)由(1)AAOF^OACOE,

/.OF=OE,

XVOA=OC,

四邊形AEOF為平行四邊形.

19.【答案】

由4)=班,知4莊是等腰三角形,其底角ZE4D必為鈍角,所以等腰

AA8C中,N8AC必為鈍角,因此必為等腰AA8C的頂角,則AB、AC是

腰,即AB=4C.

過(guò)C作AD收平行線CF,與過(guò)。所作8c的平行線交于點(diǎn)F,則四邊形

BCFO為平行四邊形,故。B=CF,DF=BC,NFDB=NBCF.

從而,Z£AD=Z.ACB+NABC=NACB+NFDB=NACB+ZBCF=NECF.

連斯,在MDE和XCEF中,

AD=CE,NEAD=NECF,

AE=CE-AC=AD-AB=DB=CF,

則&4OE/ACEF,于是ED=EF.

而。=8C=OF,即知AD£F是等邊三角形,從而

NEDF=60°.

設(shè)ABAC=a,則

ZADF=ZABC=1(180°-tz),

ZDAE=180°-a,

ZA£>E=180°-2ZZM£=180o-2(180o-a)=2a-180°.

由ZADF+ZADE=4EDF=60°,得

^(180o-a)+(2a-180°)=60°.解得a=100°,即N8AC=100°.

20.【答案]

分析:加倍中線構(gòu)造平行四邊形,然后再通過(guò)等量線段證明原式成立。

證明:延長(zhǎng)AQ,使得AD=DH,連接延長(zhǎng)FP交C”于點(diǎn)K。

AB=AC,ADYBC=>BD=CD

":AD=DH

:.ABC4為平行四邊形

AB//CH,NBCH=ZABC=ZACB

':FP±BC,CP為公共邊

\FCP學(xué)SKCP

:.FP=PK

':AD±BC,PFLBCnAH〃EK

ABCH

???4旌為平行四邊形

:.AH=EK

,2AD=AH=EK=PE+PK=PE+PF

說(shuō)明:倍長(zhǎng)中線構(gòu)造平行四邊形是競(jìng)賽中常用的技巧之一,競(jìng)賽班的學(xué)生一定要

掌握。

而運(yùn)用其性質(zhì)的一個(gè)典型例題。

21.【答案】

本題實(shí)質(zhì)是證明AC2+BD2=2(AB2+AD2).

如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CE〃QB交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)£,

因?yàn)镃E〃/58,DC//BE,

故8ECD是平行四邊形,從而CE=OB,BE=DC.

作CH_LAE,〃是垂足,則:

AC2=AH2+CH2=(AB+BH)2+CH2=AB2+2ABxBH+BH2+CH2,

DB2=CE2=EH2+CH2=(BE-BHY+CH2+CH2-2ABx

BH+BH2+CH2,

故AC2+BD2=2AB2+2cH2+2BH°=2AB2+2BC2=2(A8?+AD2).

18.2特殊的平行四邊形

選擇題(共10小題)

1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)邊相等B.對(duì)角相等

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直

選D

2.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE/7BD,DE〃AC,若

AC=4,則四邊形OCED的周長(zhǎng)為()

解:?.?四邊形ABCD為矩形,

.?.OA=OC,OB=OD,且AC=BD,

.?.OA=OB=OC=OD=2,

?.?CE〃BD,DE〃AC,

四邊形DECO為平行四邊形,

VOD=OC,

四邊形DECO為菱形,

,OD=DE=EC=OC=2,

則四邊形OCED的周長(zhǎng)為2+2+2+2=8,

故選B

3.有3個(gè)正方形如圖所示放置,陰影部分的面積依次記為S2,則SI:S2等

解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為X,根據(jù)圖形可得:

??EF.1

?-------..-,

AC3

._i

SADAC9

.Si_i

??'---,

S正方形ABCD18

/.S|=-^-S正方J6ABCD,

18

Si=-^-x2,

18

S

?-2=1

2AABC4

?S2_1

??1-,

S正方形ABCD8

.?.s2=ls正方形ABCD,

8

/.S?=—x2,

8

/.Si:S7=-^-x2:—X2=4:9;

188

4.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),

D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,當(dāng)4CDE的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為()

M.

A.(3,1)B.(3,A)C.(3,1)D.(3,2)

33

解:如圖,作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H,連接CH與AB的交點(diǎn)為E,此時(shí)

△CDE的周長(zhǎng)最小.

VD泣,0),A(3,0),

2

AH(X0),

2

直線CH解析式為y=-卷x+4,

,x=3時(shí),y=?,

3

二點(diǎn)E坐標(biāo)(3,-1)

3

故選:B.

5.如圖,在矩形ABCD中(AD>AB),點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),且DE=DA,AF

_LDE,垂足為點(diǎn)F,在下列結(jié)論中,不一定正確的是()

A.AAFD^ADCEB.AF=1ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

解:(A)由矩形ABCD,AF_LDE可得NC=NAFD=90。,AD〃BC,

:.ZADF=ZDEC.

又YDE=AD,

/.△AFD^ADCE(AAS),故(A)正確;

(B)YNADF不一定等于30。,

二直角三角形ADF中,AF不一定等于AD的一半,故(B)錯(cuò)誤;

(C)由4AFD絲Z\DCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

,AB=AF,故(C)正確;

(D)由△AFDg/XDCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

XVBE=BC-EC,

/.BE=AD-DF,故(D)正確;

故選B.

6.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,將正方形折疊,使頂點(diǎn)D落在BC邊上的

EC=2:1,則線段CH的長(zhǎng)是()

A.3B.4C.5D.6

解:設(shè)CH=x,則DH=EH=9-x,

VBE:EC=2:1,BC=9,

.*.CE=1BC=3,

3

...在RCECH中,EH2=EC2+CH2,

即(9-x)2=32+X2,

解得:x=4,

即CH=4.

故選(B).

D

7.下列語(yǔ)句正確的是()

A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

B.有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.矩形的對(duì)角線相等

D.平行四邊形是軸對(duì)稱圖形

解:???對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形,

,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

???有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等,

,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

???矩形的對(duì)角線相等,

選項(xiàng)C正確;

???平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,不一定是軸對(duì)稱圖形,

???選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選:C.

8.如圖,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形EFGH

的周長(zhǎng)為()

解:?.?正方形ABCD的面積為1,

.?.BC=CD=VT=1,ZBCD=90°,

VE.F分別是BC、CD的中點(diǎn),

/.CE=1BC=1,CF=1JCD=1,

2222

,CE=CF,

...△CEF是等腰直角三角形,

.,.EF=V2CE=^.,

正方形EFGH的周長(zhǎng)=4EF=4義喙=2&;

故選:B.

9.如圖,有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG,其中E點(diǎn)在AD上.若/

解:?..四邊形CEFG是正方形,

/.ZCEF=90°,

ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形,

.?.NB=ND=70。(平行四邊形對(duì)角相等).

故選C.

10.如圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)分別為6、9、x的正方形所組成的圖形,若直線AB將它

分成面積相等的兩部分,則x的值是()

A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6

解:如圖,

?.?若直線AB將它分成面積相等的兩部分,

222

:.LX(6+9+x)X9-x*(9-x)=lx(6+9+X)-1X6X3,

222

解得x=3,或x=6.

二.填空題(共5小題)

11.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC=6,BD=10,則菱形ABCD的面積為

解:;在菱形ABCD中,對(duì)角線AC=6,BD=10,

,菱形ABCD的面積為:1AC*BD=3O.

2

故答案為:30.

12.如圖,在矩形ABCD中,AD=4,點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn),若滿足4PBC

是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè),則AB的長(zhǎng)為4或2亞.

AD

B--------------------'C

解:①如圖,當(dāng)AB=AD時(shí)

A曲)勺?俘2)

BC

滿足4PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè),

△PiBC,^PaBC是等腰直角三角形,APsBC是等腰直角三角形(P3B=P3C),

則AB=AD=4.

②當(dāng)AB<AD,且滿足aPBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)時(shí),如圖,

?.?P2是AD的中點(diǎn),

?>,BP2=*7I^=標(biāo)標(biāo),

易證得BP尸BP2,

又?;BP]=BC,

AV4+AB2=4

.,.AB=2?.

③當(dāng)AB>AD時(shí),直線AD上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足4PBC是等腰三角形.

故答案為:4或2我.

13.有一面積為5愿的等腰三角形,它的一個(gè)內(nèi)角是30。,則以它的腰長(zhǎng)為邊的

正方形的面積為20亞和20.

解:如圖1中,當(dāng)NA=30。,AB=AC時(shí),設(shè)AB=AC=a,

作BD_LAC于D,VZA=30°,

,BD」AB=Xa,

22

22

.方=20代,

...△ABC的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為2aM.

如圖2中,當(dāng)NABC=30。,AB=AC時(shí),作BD_LCA交CA的延長(zhǎng)線于D,設(shè)

AB=AC=a,

VAB=AC,

/.ZABC=ZC=30o,

,ZBAC=120°,ZBAD=60°,

在RTaABD中,:/口;鄉(xiāng)。。,ZBAD=60°,

,BD=&,

2

?亞a=5愿,

22

.\a2=20,

/.△ABC的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20.

故答案為20行或20.

14.如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為3,連接AC,AE平分NCAD,交BC的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,FA1AE,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則EF的長(zhǎng)為6&.

,AC=3&,

VAE平分NCAD,

:.ZCAE=ZDAE,

VAD^CE,

/.ZDAE=ZE,

.*.ZCAE=ZE,

,CE=CA=3&,

VFA±AE,

/.ZFAC+ZCAE=90o,ZF+ZE=90°,

,NFAC=NF,

.,.CF=AC=3&,

EF=CF+CE=3近

故答案為:6^2.

15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為1的正方形OAIBIG的兩邊在坐標(biāo)軸

上,以它的對(duì)角線OBi為邊作正方形OBiB2c2,再以正方形OB|B2c2的對(duì)角線

OB2為邊作正方形OB2B3c3,以此類推…、則正方形OB2015B2016c2016的頂點(diǎn)B2OI6

的坐標(biāo)是.(2M8,。.

解:?.?正方形OAIBCI邊長(zhǎng)為1,

?.?正方形OB|B2c2是正方形OA|B|C|的對(duì)角線OB1為邊,

,OB2=2,

.?.B2點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

同理可知OB3=2我,

,B3點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2),

同理可知OB4=4,B4點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),

B5點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-4),B6點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-8),

B7(8,-8),B8(16,0)

B9(16,16),B10(0,32),

由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn),每經(jīng)過(guò)8次作圖后,點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同,每

次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的血(花

,.,20164-8=252

.??B2016的縱橫坐標(biāo)符號(hào)與點(diǎn)B8的相同,橫坐標(biāo)為正值,縱坐標(biāo)是0,

.?.B2016的坐標(biāo)為(21008,0).

故答案為:(2間8,0).

三.解答題(共5小題)

16.如圖,在^ABC中,ZACB=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),BF〃CE

交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:四邊形ECBF是平行四邊形;

(2)當(dāng)NA=30。時(shí),求證:四邊形ECBF是菱形.

證明:(1)VD,E分別為邊AC,AB的中點(diǎn),

;.DE〃BC,即EF〃BC.

又,;BF〃CE,

二四邊形ECBF是平行四邊形.

(2)VZACB=90°,ZA=30°,E為AB的中點(diǎn),

.,.CB=1AB,CE=1AB.

22

,CB=CE.

又由(1)知,四邊形ECBF是平行四邊形,

二四邊形ECBF是菱形.

17.如圖,矩形ABCD中,延長(zhǎng)AB至E,延長(zhǎng)CD至F,BE=DF,連接EF,

與BC、AD分別相交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求證:CP=AQ;

(2)若BP=1,PQ=2&,ZAEF=45°,求矩形ABCD的面積.

(1)證明:?.?四邊形ABCD是矩形,

/.ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,

.,.ZE=ZF,

VBE=DF,

/.AE=CF,

'/C=/A

在4CFP和AAEQ中,<CF=AE,

,ZF=ZE

/.△CFP^AAEQ(ASA),

,CP=AQ;

(2)解:VAD^BC,

/.ZPBE=ZA=90o,

,/ZAEF=45°,

...△BEP、AAEQ是等腰直角三角形,

/.BE=BP=1,AQ=AE,

,PE=V^BP=&,

/.EQ=PE+PQ=V^2后3加,

,AQ=AE=3,

.*.AB=AE-BE=2,

VCP=AQ,AD=BC,

.,.DQ=BP=1,

:.AD=AQ+DQ=3+1=4,

二矩形ABCD的面積=AB?AD=2X4=8.

18.如圖,點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),4EBF是等腰

直角三角形,其中NEBF=90。,連接CE、CF.

(1)求證:△ABFgACBE;

(2)判斷4CEF的形狀,并說(shuō)明理由.

AB

(1)證明:?.?四邊形ABCD是正方形,

,AB=CB,ZABC=90°,

?..△EBF是等腰直角三角形,其中NEBF=90。,

;.BE=BF,

:.ZABC-ZCBF=ZEBF-ZCBF,

/.ZABF=ZCBE.

'ABXB

在AABF和4CBE中,有1/ABF=/CBE,

,BF=BE

.".△ABF^ACBE(SAS).

(2)解:4CEF是直角三角形.理由如下:

VAEBF是等腰直角三角形,

,NBFE=NFEB=45。,

.,.ZAFB=180°-ZBFE=135°,

XVAABF^ACBE,

.,.ZCEB=ZAFB=135°,

ZCEF=ZCEB-ZFEB=135°-45°=90°,

.?.△CEF是直角三角形.

19.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,并且NA=ND.

(1)求證:四邊形ABCD為矩形;

(2)點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn),F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn),Z1=2Z2,若CE=4,CF=5,

求DF的長(zhǎng).

(1)證明:?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

,AB〃CD,

ZA+ZD=180°,

又NA=ND,

/.ZA=ZD=90o,

.??平行四邊形ABCD為矩形;

(2)解:延長(zhǎng)DA,

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