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文檔簡(jiǎn)介
?微分的計(jì)算
難點(diǎn)
要求期gm
,理解
可導(dǎo)、微分的定義
?掌握
導(dǎo)數(shù)、微分的運(yùn)算法則
導(dǎo)數(shù)公式
復(fù)合函數(shù)及隙
3.1導(dǎo)數(shù)的概念
3.1.1導(dǎo)數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)>=/(%)在點(diǎn)須)處及其左右近旁有定
義,當(dāng)自變量X在%處有改變量時(shí)△%(△%,。),相
應(yīng)的函數(shù)y有改變量△、=/(%+△%)—(△())如果
當(dāng)0時(shí),F(xiàn)的極限存在,即lim生存在,
-0Ar,
Ay
則稱[r巴。入;為函數(shù)丁二(月在點(diǎn)兩處的導(dǎo)數(shù)。
記為y\x=x0
△y/(/+Ax)-f(x0)
即N_=lim
%一和—△x△x
也可以記作:/'(%)或今
或y'x一
X=XQ
函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=/處存在導(dǎo)數(shù),簡(jiǎn)稱為函
數(shù)”/⑴在點(diǎn)X=xo處可導(dǎo)。
例
已知/⑴=%2,求/?,⑴,/,⑴,/,(通).
2
].(x()+AX)2—%2%2+2工2^冗+(△%)?—%
f(x)=hm------------二lim---------------------
△x-?oAx△%一()Ax
「Ax(2x+△%)八
二hm——---------=2x
△%->oAx
3.12導(dǎo)數(shù)的幾何意義
313可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
定理1若函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)工??蓪?dǎo),貝l]/(x)
在點(diǎn)明必連續(xù)。
注意此定理的逆定理不成立。即連續(xù)不一
定可導(dǎo),但連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。
3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
jf3.2.1幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1.求導(dǎo)公式「
(一),=以”(4為任意常數(shù))
2.兩點(diǎn)說明
1)幕函數(shù)的求導(dǎo)公式的特點(diǎn)是:求一次導(dǎo)
數(shù),幕指數(shù)降低一次。
2)在求幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),若遇到根式和分
式,應(yīng)先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)或負(fù)指數(shù),然后
再用上述公式求導(dǎo)。
例閶msiHHgq
已知/(X)=萬,求T(x)
JC
解
1
因?yàn)?x)=?=x
所以廣⑴=-2/T=-2]
3.2.2代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)
如果力(X)/(X),....fn(%)(〃為正整數(shù))在點(diǎn)X可導(dǎo)
則[力⑴土八⑴……±fn(x)y=fi\x)±f2\x)±……±fn\x)
323乘積的導(dǎo)數(shù)
如果力⑴,力⑴都在點(diǎn)可導(dǎo),則
[/1(%)?%(x)T=%'(%)?%(尤)+fl⑴/'⑴
特別地,當(dāng)力(x)=c(c為常量)時(shí),[或%(,)=。叫
k/i(x)r=cf\(X){或[c/<2(x)r=cf\(%)}即常數(shù)因子可以
移到導(dǎo)數(shù)符號(hào)外面來。
?1
例已知]⑺=(1+/)(3--),W(1)
JQ
解因?yàn)閉
尸(兀)=(1+%3)(3一%—2)+(1+元3)(3—%—2),=3/2(3一%—2)+Q+%3)X2/一3
2-32
=9x-3+2x+2=9x+2-1所以/'⑴=9+2-1=10
22T商的導(dǎo)數(shù)
,如果力⑴/⑴都在點(diǎn)可導(dǎo)且%(%)wO貝代.
“1叫"一'1(X)?/2(X)—力二)?廣2(外
/l2(X)H⑴
特別地,當(dāng)/i(x)=c(°為常數(shù))時(shí),有[,-r=_J⑴
例%⑴于2⑴
已知,=T―7,求y'=?
解wKx+1
(X2+l)(x2-l)-(x2-l)(x2+1)12x(x2+1)-2x(x2-1)4x
”(x2+1)2(x2+l)2(x2+l)2
3.2.5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
\設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(p(x)即y是X的一個(gè)復(fù)合
函數(shù),即>=/[。(創(chuàng)如果在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)
.(X),>=/(〃)在點(diǎn)"處有導(dǎo)數(shù)仆),則>=H。(創(chuàng)
在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)也存在,且f'(x)=「C
或?qū)懗上x=包.也
dxdudx/
例已知y=(l+2x)3°求y,(x)
解/設(shè)y=/,"=i+2x,則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式
得了(犬)=330人.(1+2%)[=30〃29X2=60"29=60(1+2%)29
326三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1,正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(sinx)'=cosx
2.余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(cosx)'=-sinx
(tanxy=sec2%=-^-
.正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
3COSX
—1
(cotx),=-csc2X=
sin2x
廠〕,327指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”[]
(axy=ax=e時(shí),(1)'=e'
例
已知/。)=*與11碼求:7。)=?/'(1)=?
解「Jt
f\x)=(e玄)'sin;zx+e加(siivzx)'=e加(加)'sin/zx+e加?cos^x(^x)1
?一=碇"?sin衣+加公?cos7tx=庇公(sinm+cos吟
[7i
/*(—)=^^(sin—+cos-)-ne1
222
—Y3,2.8對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一
(logax),=—logae,當(dāng)a=e時(shí),(lnx)=—
例
已知y=Insin2X,求/(£)=?
解因?yàn)榱刷嵌?;Gil?%)=2smxcosx“eg
sinxsinx
所以y,(g)=2cotg=2百
329隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)M
例
已知y=xlny,求
解
3210取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
例
已知y=爐皿求y(])=?
解等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù):
1isinx
——y=cosxlnxd-------
Iny=sinxInxyx
,/sinx、sm%/[sinx、
y=y(cosxl1nxH-------)=x(cosxlnxH-------)
xSHHHx
象此類的幕指函數(shù)還可以按以下方法求導(dǎo):
sinx
)=(■),=(/n%inxy=eSin%in、(sinx?lnx)'=eSii(cosxlnx+
X
■
3.ZH導(dǎo)數(shù)公式
公式見教材公式
3.3高階導(dǎo)數(shù)
13.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念
如果函數(shù)>=/(無)的導(dǎo)數(shù)廣⑴在點(diǎn)x處可導(dǎo),則
稱/'⑴在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù),記作:
廣⑴y或今
dx
(〃-1)階導(dǎo)數(shù)y(i)=/(〃-,%)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)
y=/(%)的n階導(dǎo)數(shù),記作:
332高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
例
已知y=InX,求:
1-2_2
產(chǎn)-門二丁
解X3
例
已知求:y的二階、三階……幾階導(dǎo)數(shù)
用牛y=ae,y=ae,y—ae,泮-aeax
3.4^分
341微分的概念
在引入微分概念之前,我們先回顧我下
導(dǎo)數(shù)定義:設(shè),=/(尤)在*處可導(dǎo),則
AxfoAx
因此⑴+。其中
Ax
o為Axf0時(shí)無窮小故Ay=f\x)Ax+a-Ax顯然
戊&是廣(x)Ax的高階無窮小。.
當(dāng)|Ax|很小時(shí),有Ayp尸⑴Axo
定義1設(shè)函數(shù),在點(diǎn)x。具有導(dǎo)數(shù)/'5)則稱
/,(%)?Ar為函數(shù)>=/(/庵點(diǎn)元=%0處的微分,
記作dyX=XQ即閾X=%0=f(X。),X
函數(shù)的微分有以下兩個(gè)特點(diǎn):
L微分明自變量心成正比,即有線性關(guān)系。
2.函數(shù)微分辦與函數(shù)改變量與之差是一個(gè)比Ax
高階的無窮小量,因此函數(shù)微分是函數(shù)改變量
的主要部分。于是我們稱函數(shù)微分為函數(shù)改變
量的線性主部。
3.4.2微分的運(yùn)算
例
已知y=e*sinx,求:dy
解dy=(e,sinx)"dx="(sin犬+cosx)dx
3.4.3微分形式的不變性
設(shè)函數(shù)y=/(x)在x處可微,當(dāng)X為自變量時(shí),
有力="x)dx當(dāng)/為中間變量時(shí),設(shè)
%=0⑺且“⑺存在,貝|J辦=電.心力=f,(x)(p'(t)dt
dxdt
乂dx="。)力,所以dy=即:無論X是
自變量還是中間變量,y=/(%)的微分力總可用
尸(元磔來表示,這個(gè)性質(zhì)稱為微分形式的不變性。
3.4.4微分的應(yīng)用
例
求也.02的近似值
解設(shè)/⑴=VI則?。┒?
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