滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊專題特訓(xùn) 專題1.9 絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【七大題型】（原卷版+解析版）

專題1.9絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【七大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】 1【題型2根據(jù)絕對值的非負性求值】 1【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】 2【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】 2【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|類型問題】 3【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】 3【題型7絕對值中的最值問題】 4【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】【例1】（2022?博湖縣校級期中）已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．【變式1-1】如圖表示在數(shù)軸上四個點p，q，r，s位置關(guān)系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，則|q﹣r|＝．【變式1-2】已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝．【變式1-3】化簡：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．【題型2根據(jù)絕對值的非負性求值】【例2】（2022春?諸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．【變式2-1】（2022秋?梅州校級月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，計算：（1）x，y的值．（2）求|x|+|y|的值．【變式2-2】（2022秋?南江縣校級期中）已知|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，求2y?2【變式2-3】（2022?淶水縣期末）已知x為實數(shù)，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一個確定的常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．5 B．10 C．15 D．75【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個式子中，正確的是（）A．若a≠b，那么a2≠b2 B．若a＞|b|，那么a2＞b2 C．若|a|＞|b|，那么a＞b D．若a2＞b2那么a＞b【變式3-1】（2022秋?全椒縣期中）已知a|a|①a，b一定互為相反數(shù)；②ab＜0；③a+b＜0；④ab|ab|其中正確的是．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【變式3-2】（2022秋?和平區(qū)期中）設(shè)y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個結(jié)論中正確的是（）A．y沒有最小值 B．只有一個x使y取最小值 C．有限個x（不止一個）y取最小值 D．有無窮多個x使y取最小值【變式3-3】（2022秋?青山區(qū)期中）若a，b為有理數(shù)，下列判斷：（1）若|a|＝b，則一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，則一定有a＞b；（3）若|a|＞b，則一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2．其中正確的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】【例4】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是．【變式4-1】（2021秋?長春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)＜0【變式4-2】（2022?吉首市校級月考）若m是有理數(shù)，則|m|+m的值（）A．不可能是正數(shù) B．一定是正數(shù) C．不可能是負數(shù) D．可能是正數(shù)，也可能是負數(shù)【變式4-3】（2022秋?長沙校級期中）（1）比較下列各式的大?。ㄓ茫蓟颍净颍竭B接）①|(zhì)﹣2|+|3||﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0||﹣2+0|；（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補充、歸納，當a、b為有理數(shù)時，|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系；（3）根據(jù)上述結(jié)論，求當|x|+2015＝|x﹣2015|時，x的取值范圍．【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|類型問題】【例5】（2022秋?江陽區(qū)校級期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示（1）用“＜”連接0、﹣a、﹣b、﹣1（2）化簡：|a|﹣2|a+b﹣1|?13|b﹣a（3）若c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，求|c+1|c+1【變式5-1】（2022秋?順平縣期中）設(shè)a、b、c、d為有理數(shù)，且|abcd|abcd=1，則|a|a【變式5-2】（2022秋?鄂州校級月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，則|a?1|a?1?|b+2|【變式5-3】（2022秋?西城區(qū)校級期中）有理數(shù)a，b，c均不為0，且a+b+c＝0．設(shè)x=||a|b+c+|b|c+a+|c|【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】【例6】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．【變式6-1】（2022春?寶山區(qū)校級月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為．【變式6-2】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【變式6-3】（2022秋?順平縣期中）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，則|a+d|＝．【題型7絕對值中的最值問題】【例7】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值【變式7-1】當|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是，最小是．【變式7-2】（2022秋?海安市月考）閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡|x+1|+|x﹣2|時，可分以下三種情況：①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當﹣1≤x＜2時，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當x≥2時，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2（1）|x﹣3|+|x+4|的零點值是；（2）化簡代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為，此時x的取值范圍為．【變式7-3】（2022秋?泉州期末）四個數(shù)分別是a，b，c，d，滿足|a﹣b|+|c﹣d|=1n|a﹣d|，（n≥3且為正整數(shù)，a＜b＜c＜（1）若n＝3．①當d﹣a＝6時，求c﹣b的值；②對于給定的有理數(shù)e（b＜e＜c），滿足|b﹣e|=49|a﹣d|，請用含b，c的代數(shù)式表示（2）若e=12|b﹣c|，f=12|a﹣d|，且|e﹣f|＞110|專題1.9絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【七大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】 1【題型2根據(jù)絕對值的非負性求值】 3【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】 5【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】 7【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|類型問題】 8【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】 10【題型7絕對值中的最值問題】 12【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】【例1】（2022?博湖縣校級期中）已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．【分析】分清a，﹣2b，3b﹣2a三個數(shù)的正負性是解決本題的關(guān)鍵．已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，可得出b≥0，|ab|＝﹣ab，則a≤0，b＝﹣a．所以﹣2b＜0，3b﹣2a＞0，從而得出|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的值．【解答】解：∵|a|＝b，|a|≥0，∴b≥0，又∵|ab|+ab＝0，∴|ab|＝﹣ab，∵|ab|≥0，∴﹣ab≥0，∴ab≤0，即a≤0，∴a與b互為相反數(shù)，即b＝﹣a．∴﹣2b≤0，3b﹣2a≥0，∴|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|＝﹣a+2b﹣（3b﹣2a）＝a﹣b＝﹣2b或2a．【變式1-1】如圖表示在數(shù)軸上四個點p，q，r，s位置關(guān)系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，則|q﹣r|＝7．【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義，將|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，進而可得q、r兩點間的距離，即可得答案．【解答】解：根據(jù)絕對值的幾何意義，由|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9可得p、r兩點間的距離為10，p、s兩點間的距離為12，q、s兩點間的距離為9，則q、r兩點間的距離為10+9﹣12＝7，即|q﹣r|＝7，故答案為7．【變式1-2】已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝0．【分析】根據(jù)已知不等式確定出絕對值里邊式子的正負，已知等式利用絕對值的代數(shù)意義化簡，整理求出a+b與c+d的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，∴a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，∵|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，∴﹣a﹣1＝b+1，1﹣c＝d﹣1，整理得：a+b＝﹣2，c+d＝2，則a+b+c+d＝0．故答案為：0【變式1-3】化簡：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．【分析】（1）就2x﹣1≥0，2x﹣1＜0兩種情形去掉絕對值符號；（2）將零點1，3在同一數(shù)軸上表示出來，就x＜1，1≤x＜3，x≥3三種情況進行討論；（3）由零點共有﹣1、1、3三點，就x≥3，1≤x＜3，﹣1≤x＜1，x＜﹣1四種情況進行討論．【解答】解：（1）①當x≥12，原式＝2x②當x＜12，原式＝﹣（2x﹣1）＝1﹣2（2）①當x＜1，原式＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4﹣2x；②當1≤x＜3，原式＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2；③當x≥3，原式＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4；（3）①x≥3，原式＝|x﹣1﹣2|+x+1＝x﹣3+x+1＝2x﹣2；②1≤x＜3，原式＝|x﹣1﹣2|+x+1＝3﹣x+x+1＝4；③﹣1≤x＜1，原式＝|1﹣x﹣2|+x+1＝|﹣（x+1）|+x+1＝x+1+x+1＝2x+2；④x＜﹣1，原式＝|1﹣x﹣2|﹣（x+1）＝|﹣（x+1）|﹣x﹣1＝﹣（x+1）﹣x﹣1＝﹣2x﹣2．【題型2根據(jù)絕對值的非負性求值】【例2】（2022春?諸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b、c的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，a﹣3＝0，2ab﹣8＝0，c﹣2＝0，解得a＝3，b=43，所以，a+3b﹣c，＝3+3×4＝3+4﹣2，＝7﹣2，＝5．【變式2-1】（2022秋?梅州校級月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，計算：（1）x，y的值．（2）求|x|+|y|的值．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式計算即可得解；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行計算即可得解．【解答】解：（1）由題意得，x﹣2＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3；（2）|x|+|y|＝|2|+|﹣3|＝2+3＝5．【變式2-2】（2022秋?南江縣校級期中）已知|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，求2y?2【分析】根據(jù)題意，|﹣x+7|≥0，|﹣2y﹣1|≥0，又|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，故|﹣x+7|＝0，|﹣2y﹣1|＝0，即可求出x，y的值，代入即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意：|﹣x+7|≥0，|﹣2y﹣1|≥0，又|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，故|﹣x+7|＝0，|﹣2y﹣1|＝0，解得：x＝7，y=?1故2y?27x=2×（?【變式2-3】（2022?淶水縣期末）已知x為實數(shù)，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一個確定的常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．5 B．10 C．15 D．75【分析】將|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|按照取值范圍進行討論．【解答】解：（1）當x＞13時，原式＝150x（2）當14＜x≤13（3）當15＜x≤14（4）當16＜x≤15（5）當17＜x≤16（6）當18＜x≤17（7）當19＜x≤18（8）當110＜x≤19（9）當111＜x≤1（10）當112＜x≤1（11）當113＜x（12）當114＜x≤113時，原式＝（13）當115＜x≤114時，原式＝（14）當116＜x≤115時，原式＝（15）當117＜x≤116時，原式＝（16）當x≤117時，原式＝﹣150故選：A．【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個式子中，正確的是（）A．若a≠b，那么a2≠b2 B．若a＞|b|，那么a2＞b2 C．若|a|＞|b|，那么a＞b D．若a2＞b2那么a＞b【分析】利于平方的定義、不等式的定義、絕對值的求法等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、若a≠b，那么a、b互為相反數(shù)時，a2≠b2錯誤，不符合題意；B、如果a＞|b|，那么a2＞b2，正確，符合題意；C、|a|＞|b|，那么a＞b或a＜b，錯誤，不符合題意；D、如果a2＞b2那么a＞b或a＜b，故錯誤，不符合題意；故選：B．【變式3-1】（2022秋?全椒縣期中）已知a|a|①a，b一定互為相反數(shù)；②ab＜0；③a+b＜0；④ab|ab|其中正確的是②④．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【分析】根據(jù)絕對值的意義，可化簡絕對值．【解答】解：由a|a|+b|b|=①得a＜0，b＞0，或a＞0，b＜0，a，b異號，a，b不一定互為相反數(shù)，故①錯誤；②ab＜0，故②正確；③a+b不一定小于0，故③錯誤；④ab|ab|=ab故答案為：②④．【變式3-2】（2022秋?和平區(qū)期中）設(shè)y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個結(jié)論中正確的是（）A．y沒有最小值 B．只有一個x使y取最小值 C．有限個x（不止一個）y取最小值 D．有無窮多個x使y取最小值【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，分別討論x的取值范圍，再判斷y的最值問題．【解答】解：方法一：由題意得：當x＜﹣1時，y＝﹣x+1﹣1﹣x＝﹣2x；當﹣1≤x≤1時，y＝﹣x+1+1+x＝2；當x＞1時，y＝x﹣1+1+x＝2x；故由上得當﹣1≤x≤1時，y有最小值為2；故選D．方法二：由題意，y表示數(shù)軸上一點x，到﹣1，1的距離和，這個距離和的最小值為2，此時x的范圍為﹣1≤x≤1，故選：D．【變式3-3】（2022秋?青山區(qū)期中）若a，b為有理數(shù)，下列判斷：（1）若|a|＝b，則一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，則一定有a＞b；（3）若|a|＞b，則一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2．其中正確的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）【分析】此類題目可將符合條件的有理數(shù)代入逐一驗證求解．【解答】解：（1）若|﹣2|＝2，則﹣2≠2，錯誤；（2）若|﹣2|＞|1|，則﹣2＜1，錯誤；（3）若|1|＞﹣2，則|1|＜|﹣2|，錯誤；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2，正確．故選：D．【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】【例4】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是a≤7．【分析】數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點x，y之間的距離．【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點x，y之間的距離．畫數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2這四個點的距離之和．令y＝，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時，y＝11，x＝﹣1時，y＝7，x＝1時，y＝7，x＝2時，y＝9，可以觀察知：當﹣1≤x≤1時，由于四點分列在x兩邊，恒有y＝7，當﹣3≤x＜﹣1時，7＜y≤11，當x＜﹣3時，y＞11，當1≤x＜2時，7≤y＜9，當x≥2時，y≥9，綜合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對一切實數(shù)x恒成立．從而a的取值范圍為a≤7．【變式4-1】（2021秋?長春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)＜0【分析】觀察發(fā)現(xiàn)|﹣2a|＝﹣2a，絕對值里面的式子與等號后面的式子相同，可知﹣2a的絕對值等于它本身，根據(jù)絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值等于它本身，0的絕對值等于0，也就是等于它本身，可得﹣2a≥0，解不等式可得答案．【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a，∴﹣2a≥0，a≤0．故選：C．【變式4-2】（2022?吉首市校級月考）若m是有理數(shù)，則|m|+m的值（）A．不可能是正數(shù) B．一定是正數(shù) C．不可能是負數(shù) D．可能是正數(shù)，也可能是負數(shù)【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身、負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)、0的絕對值是0，可根據(jù)m是正數(shù)、負數(shù)和0三種情況討論．【解答】解：①當m＞0時，原式＝m+m＝2m＞0；②當m＝0時，原式＝0+0＝0；③當m＜0時，原式＝﹣m+m＝0．∴|m|+m的值大于等于0，即為非負數(shù)，故選：C．【變式4-3】（2022秋?長沙校級期中）（1）比較下列各式的大?。ㄓ茫蓟颍净颍竭B接）①|(zhì)﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0|＝|﹣2+0|；（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補充、歸納，當a、b為有理數(shù)時，|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系；（3）根據(jù)上述結(jié)論，求當|x|+2015＝|x﹣2015|時，x的取值范圍．【分析】（1）依據(jù)絕對值的性質(zhì)計算即可；（2）通過計算找出其中的規(guī)律即可得出答案；（3）依據(jù)結(jié)論求解即可．【解答】解：（1）①|(zhì)﹣2|+|3|＝2+3＝5，|﹣2+3|＝1，故|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3|＝2+3＝5，|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故|﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0|＝2，|﹣2+0|＝2，故|﹣2|+|0|＝|﹣2+0|．故答案為：①＞；②＝；③＝．（2）當a，b異號時，|a|+|b|＞|a+b|，當a，b同號時（包括零），|a|+|b|＝|a+b|，∴|a|+|b|≥|a+b|；（3）∵|x|+2015＝|x﹣2015|，∴|x|+|﹣2015|＝|x﹣2015|．由（2）可知：x與﹣2015同號，∴x≤0．【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|【例5】（2022秋?江陽區(qū)校級期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示（1）用“＜”連接0、﹣a、﹣b、﹣1（2）化簡：|a|﹣2|a+b﹣1|?13|b﹣a（3）若c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，求|c+1|c+1【分析】（1）直接利用數(shù)軸分析得出答案；（2）結(jié)合數(shù)軸得出各部分的符號，進而化簡即可；（3）結(jié)合數(shù)軸得出各部分的符號，進而化簡即可．【解答】解：（1）由數(shù)軸可得：﹣1＜﹣b＜0＜﹣a；（2）原式＝﹣a+2（a+b﹣1）?13（b﹣a=4（3）∵c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，∴c＜0，1＞b＞0，∴|c|＜b，原式=＝1﹣1+1＝1．【變式5-1】（2022秋?順平縣期中）設(shè)a、b、c、d為有理數(shù)，且|abcd|abcd=1，則|a|a+|b|【分析】根據(jù)已知條件|abcd|abcd=1，得出【解答】解：由|abcd|abcd=1，知于是a，b，c，d中4個全為正數(shù)或兩個正數(shù)兩個負數(shù)或4個全為負數(shù)．當a，b，c，d全為正數(shù)時，原式＝1+1+1+1＝4；當a，b，c，d中有兩個正數(shù)兩個負數(shù)時，原式＝0；當a，b，c，d全為負數(shù)時，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．故答案為：﹣4，0，4．【變式5-2】（2022秋?鄂州校級月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，則|a?1|a?1?|b+2|b+2+【分析】可以用特殊值法進行計算，令a=12，b【解答】解：方法1：令a=12，b代入|a?1|a?1得：|a?1|a?1?|b+2|b+2+|a+b|a+b方法2：∵0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，∴a﹣1＜0，b+2＞0，a+b＜0，∴|a?1|a?1=?a?1＝﹣1﹣1﹣1，＝﹣3．故答案為：﹣3．【變式5-3】（2022秋?西城區(qū)校級期中）有理數(shù)a，b，c均不為0，且a+b+c＝0．設(shè)x=||a|b+c+|b|c+a+【分析】根據(jù)題意可得a，b，c中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負與a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），則可得|a|b+c，|b|c+a，|c|a+b【解答】解：由a，b，c均不為0，知b+c，c+a，a+b均不為0，又∵a，b，c中不能全同號，故必一正二負或一負二正，∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），即ab+c∴|a|b+c，|b|c+a，∴|a|b+c+|b|∴x19+99x+2000＝1+99+2000＝2100．【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】【例6】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．【分析】（1）數(shù)軸上兩點之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)或|a﹣b|；（2）利用絕對值的幾何意義進行化簡；（3）利用絕對值的幾何意義進行化簡，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再進行判斷．【解答】解：（1）|a﹣b|；（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，化簡得﹣2x+2，4，2x﹣2，則不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情況；（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，化簡得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，故存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．【變式6-1】（2022春?寶山區(qū)校級月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為1≤a≤4．【分析】分情況討論：①a﹣4≥0；②a﹣1≥0，且a﹣4≤0．【解答】解：①a﹣4≥0，解得a≥4，化簡原式＝2a﹣5，不合題意，舍去．②a﹣1≥0，且a﹣4≤0，解得1≤a≤4，化簡原式＝3，符合題意．所以1≤a≤4．【變式6-2】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a?a＜b＜c，又d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．分別討論可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝|c﹣b|＝c﹣b．【解答】解：由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a可得a＜b＜c，又因為d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．當a＜d＜b＜c時，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，當a＜b＜d＜c時，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，故選：B．【變式6-3】（2022秋?順平縣期中）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，則|a+d|＝1或0．【分析】根據(jù)題意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以不外乎兩種可能：①3個為0，1個為2；②2個為0，2個為1，繼而討論|a+d|的值．【解答】解：由題意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以有兩種可能：①3個為0，1個為2，②2個為0，2個為1，所以|a+d|只可能取0、1、2，若為2，則|a+b|＝|b+c|＝|c+d|＝0，不難得出a＝﹣d，所以|a+d|＝0，與假設(shè)|a+d|＝2矛盾．所以|a+d|只可能取0、1，a＝0，b＝0，c＝﹣1，d＝1時|a+d|＝1；a＝﹣1，b＝0，c＝0，d＝1時|a+d|＝0．故答案為：1或0．【題型7絕對值中的最值問題】【例7】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值【分析】先討論：|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的最小值，根據(jù)它們的積是36，分別得到|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的值，再討論x、y、z的最大最小值，代入計算出代數(shù)式的最大值和最小值．【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|≥3，（|y﹣2|+|y+1|）≥3，（|z﹣3|+|z+1|）≥4，又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，當|x+1|+|x﹣2|＝3時，x最小取﹣1，最大取2，當|y﹣2|+|y+1|＝3時，y最小取﹣1，最大取2，當|z﹣3|+|z+1|＝4時，z最小取﹣1，最大取3所以2016x+2017y+2018z的最大值為：2016×2+2017×2+2018×3＝14120，2016x+2017y+2018z的最小值為：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）＝﹣6051【變式7-1】當|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是0，最小是﹣1．【分析】根據(jù)當|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，即可求得x的范圍是2≤x≤3，且最小值是1，化簡|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|，即可把x分成1≤x＜2和2≤x≤3兩種情況，在每個范圍內(nèi)分別取一個值，代入即可求得．【解答】解：當|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，2≤x≤3，又因為1不在2和3之間，所以可令x＝2，則|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝0，令x＝3，則|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝﹣1，所以，所求最大值為0，最小值為﹣1．【變式7-2】（2022秋?海安市月考）閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡|x+1|+|x﹣2|時，可分以下三種情況：①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當﹣1≤x＜2時，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當x≥2時，原式＝（x+