畢業(yè)論文-函數(shù)最值問(wèn)題解法探討

題目函數(shù)最值問(wèn)題解法探討院別數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)指導(dǎo)教師評(píng)閱教師班級(jí)2021級(jí)4班姓名學(xué)號(hào)202102420352021年5月12日

目錄摘要·······································································ⅠAbstract·····························································ⅠTOC\o"1-2"\p""\h\z\u1引言······································································12求函數(shù)最值的幾種解法探討···········································12.1判別式法·····························································12.2配方法·······························································22.3均值不等式法························································32.4換元法·······························································32.5三角函數(shù)法··························································42.6單調(diào)性法·····························································42.7導(dǎo)數(shù)法·······························································53求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題··································63.1注意定義域···························································63.2注意值域·····························································63.3注意參變數(shù)的約束條件················································73.4注意對(duì)判別式的運(yùn)用··················································73.5注意均值不等式的運(yùn)用················································84函數(shù)最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用········································9結(jié)束語(yǔ)····································································12參考文獻(xiàn)·································································13摘要：函數(shù)最值問(wèn)題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要研究?jī)?nèi)容.它不僅僅只在教學(xué)中解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且經(jīng)常運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題.在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，常常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產(chǎn)出最多、效益最高但投入最小等之類的問(wèn)題.生活中也時(shí)常會(huì)見(jiàn)到求用料最省、效率最高、利潤(rùn)最大等問(wèn)題.而這些生活和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題一般都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)類問(wèn)題來(lái)分析研究，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大〔小〕值的問(wèn)題，即為函數(shù)的最值探討，這尤其對(duì)研究實(shí)際問(wèn)題的人們來(lái)說(shuō)尤為重要.而函數(shù)最值問(wèn)題的解法包括一元函數(shù)和多元函數(shù)，同時(shí)也有初等與高等解法之分.本文主要通過(guò)從初等解法方面對(duì)一元函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數(shù)最值問(wèn)題研究的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題.關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；高等解法；初等解法；微分Abstract:Themostvalueproblemismathematicalfunctionsinthefieldofimportantresearchcontent.Itnotonlyintheteachingsolvingmathematicalproblems,andoftenusedinsolvingpracticalproblems.Intheindustrialandagriculturalproduction,economicmanagementandeconomicaccounting,oftenencounteredsomesolutionstomeetcertainconditionsinhowtoproducethegreatest,benefithighestbutinvestmentissuesliketheminimum.Lifealsooftenseeforthemostprovinces,thehighestefficiencyandmaterials,suchasmaximumprofit.Andtheselifeandeconomicproblemsgenerallycanbetransformedintothefunctioninthemathematicsproblemforanalysisandstudy,andthenintothebiggest(small)forfunctionofthevaluesoftheproblemisoneofthemostvaluefunction,thispaperthisespeciallyforresearchofpracticalproblemspeopleisespeciallyimportant.Andthemostvalueproblemofsolutionfunctionincludingayuanfunctionandmultiplefunction,atthesametimealsohaveelementaryandhighersolutionofthepoints.Thispapermainlythroughelementarymethodtoafromofmostvalueofacircularfunctiontoresearchfunction,thispaperdiscussesthesolutionofallkindsofdifferentmethods,includingthemostvaluefunctionofimportance,andgetthemostvaluesolvethefunctionofseveralmethodsandsolvingsomeproblemsthatshouldbepaidattentionto.Keywords:functions;themostvalue;highersolution;elementarymethod;differential1引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，而函數(shù)最值問(wèn)題是函數(shù)的重要組成局部．處理函數(shù)最值的過(guò)程就是實(shí)現(xiàn)未知向、新問(wèn)題向舊問(wèn)題以及復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，雖然解決問(wèn)題的具體過(guò)程不盡相同，但就其思維方式來(lái)講，通常是將待解決的問(wèn)題通過(guò)一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問(wèn)題，從而獲得原問(wèn)題的解答[1]．函數(shù)最值問(wèn)題是一類特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也占據(jù)著比擬重要的位置，是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常見(jiàn)題型也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一．由于其綜合性強(qiáng)，解法靈活，故而解決這類問(wèn)題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，并能綜合運(yùn)用各種所學(xué)知識(shí)技巧，靈活選擇適宜的解題方法[2]．函數(shù)最值的定義：一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是如果對(duì)于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最小值，記作；如果對(duì)于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最大值，記作.函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況：〔1〕如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)，那么是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值).〔2〕如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極大(小)值，而沒(méi)有極小(大)值，那么此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值.2求函數(shù)最值的幾種解法探討2.1判別式法對(duì)于某些特殊形式的函數(shù)的最值問(wèn)題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一個(gè)有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件來(lái)求出的最值[3].例.求函數(shù)的最值.解：因?yàn)?，所以，而，所以有所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.應(yīng)注意：用判別式法求函數(shù)的最值時(shí)，是表示或，并非要此二者同時(shí)成立.因此，在利用求出的的取值范圍：或且中，不能隨意斷定或，還必須求出與、對(duì)應(yīng)的的值，并將其代入原來(lái)的函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)算，只有當(dāng)、的對(duì)應(yīng)值存在,并滿足所求得的不等式時(shí)，才能確定為原來(lái)函數(shù)的最值.2.2配方法如果給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，一般可用此法求解.例.求在區(qū)間內(nèi)的最值.解：配方得,因?yàn)?所以，從而當(dāng)即，取得最大值；當(dāng)即時(shí)取得最小值1.2.3均值不等式法設(shè)是n個(gè)正數(shù)，那么有，其中等號(hào)成立的條件是.運(yùn)用均值不等式求最值，必須具備三個(gè)必要條件，即一正二定三等，缺一不可.“正〞是指各項(xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件；“定〞是指各項(xiàng)的和或積為定值；“等〞是等號(hào)成立的條件[4].例.設(shè)，求的最大值.解：由，有.又因?yàn)槠渲挟?dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，即時(shí)成立，故的最大值為.2.4換元法用換元法求函數(shù)最值，就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把某一局部看做一個(gè)整體或用一個(gè)新變?cè)獊?lái)代替，到達(dá)化繁難為簡(jiǎn)易，化陌生為熟悉，從而使原問(wèn)題得解.例.求函數(shù)的最值.解：因?yàn)?，即給定函數(shù)的定義域?yàn)椋?于是令，.那么給定函數(shù)可變形為:而.又因在是增函數(shù)，所以其最值在端點(diǎn)處取得.2.5三角函數(shù)法如果給定函數(shù)，經(jīng)變形后能化成：或〔、是常數(shù)〕的形式，那么由或可知：當(dāng)或時(shí)，〔設(shè)〕當(dāng)或時(shí)，〔設(shè)〕例.求函數(shù)的最大值.解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，所以，當(dāng)時(shí)，.2.6單調(diào)性法當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時(shí)，有時(shí)也用單調(diào)性法來(lái)求函數(shù)的最值．在確定函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時(shí)，首先要考慮函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)情況．假設(shè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，那么該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上取得最值．假設(shè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，那么把該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個(gè)小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個(gè)區(qū)間上的最值[5]．例.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意、均有關(guān)系，假設(shè)時(shí)，且．求在上的最大值和最小值.解：先確定在上的單調(diào)性，設(shè)任意、且，那么.所以有即.所以，在上是減函數(shù).因此，的最大值是;的最小值是.2.7導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，那么在上的最大值和最小值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值．要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)式的最值，通常都用該方法．導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡(jiǎn)便的方法，應(yīng)該引起足夠重視．例.求函數(shù)，的最大值和最小值．解：求導(dǎo)得.令，方程無(wú)解.因?yàn)?，所以函?shù)在上時(shí)增函數(shù).故當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.綜上可知，函數(shù)最值問(wèn)題內(nèi)涵豐富，解法靈活.沒(méi)有通用的方法和固定模式，在解題時(shí)要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時(shí)一個(gè)問(wèn)題需要多法并舉，互為補(bǔ)充，有時(shí)一個(gè)題目又會(huì)有多種解法，函數(shù)的最值解題方法是靈活多樣性的，除了以上講的，還有很多種方法，如：消元法、數(shù)形結(jié)合法、復(fù)數(shù)法、幾何法、待定系數(shù)法、萬(wàn)能公式法等等.因此，解題的關(guān)鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，減少解題時(shí)間．3求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題3.1注意定義域遇到求最值問(wèn)題的時(shí)候，我們切記在求解的過(guò)程當(dāng)中，要注意觀察定義域的變化情況，在最初解題之時(shí)，應(yīng)領(lǐng)先把函數(shù)的定義域確定；在解題過(guò)程中，當(dāng)函數(shù)變形時(shí)注意定義域是否發(fā)生改變，如果又引入新變量也要確定這個(gè)變量的取值范圍，以免在后面的求解過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤；在解題結(jié)束時(shí)，必須檢驗(yàn)所求得的使函數(shù)取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內(nèi)．例.求函數(shù)的最值.錯(cuò)解：將兩邊同時(shí)平方并去分母得.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.所以，故，.分析：這個(gè)答案致錯(cuò)原因是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴(kuò)大了.正解：將兩邊平方并去分母，得.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.所以，注意到原函數(shù)的定義域是，那么有，，于是必有.所以，故，.3.2注意值域求函數(shù)的最值，不但對(duì)幾種根本初等函數(shù)的值域要非常熟悉，而且在解題過(guò)程中還要注意函數(shù)取值范圍的變化.例.求的最值.錯(cuò)解：原式變形為，因?yàn)?，所?解之得，所以，.分析：把代入得.而這個(gè)方程無(wú)解，故不在函數(shù)的值域內(nèi).事實(shí)上，由知，故只有最小值-2無(wú)最大值.由此可以看出用“判別式法〞求最值，有可能擴(kuò)大的取值范圍.3.3注意參變數(shù)的約束條件有一類求最值的問(wèn)題，在題設(shè)函數(shù)里含有參變數(shù)，在計(jì)算過(guò)程中，當(dāng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)的二次函數(shù)時(shí)，如不考慮參變數(shù)的約束條件，易誤人用一般情況下求函數(shù)最值的方法代替求函數(shù)在特定區(qū)間最值的歧途．例.設(shè)，，，求的最值.錯(cuò)解：由題設(shè)知，，對(duì)其分別平方得：，，那么.所以，.分析：根據(jù)約束條件，，要，只有且，而它們又不滿足，因此不是的最小值，類似可推知也不是的最大值，錯(cuò)誤處在上面不等式的變形不是同解變形，為了防止這類錯(cuò)誤，一方面要盡量減少不等式之間的四那么運(yùn)算，另一方面，對(duì)不等式進(jìn)行四那么運(yùn)算時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件[6].正確的解法是：通過(guò)把原式轉(zhuǎn)換為一個(gè)一元二次函數(shù)即〔〕，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題.3.4注意對(duì)判別式的運(yùn)用用判別式求函數(shù)的最值，由于各種因素、各種條件的互相約束一不留神就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以用這種方法解題時(shí)應(yīng)注意把握好約束條件.例.求函數(shù)的最值.錯(cuò)解：原式可化為，因?yàn)?，所以?解得.那么,.分析：此題錯(cuò)在只保證有實(shí)根，而不能保證其根屬于，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，不屬于，因此不能立即就斷定函?shù)最小值認(rèn)為是，最大值是，應(yīng)對(duì)判別式取等號(hào)時(shí)的值進(jìn)行校驗(yàn)[5].事實(shí)上，因?yàn)?，可知，，?所以可知原函數(shù)最小值.最大值由前面分析可知即為.3.5注意均值不等式的運(yùn)用eq\o\ac(○,1)注意當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)相等時(shí)，它們的積(和)才能取大(小)值.例.求函數(shù)的最小值.錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，，，于是所以的最小值?分析：上面解法錯(cuò)誤，是沒(méi)有注意到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)才能取得最小值，但顯然不等于，所以不能取.eq\o\ac(○,2)對(duì)均值不等式中等號(hào)成立的條件生搬硬套例.，且，求的最小值，并求的最小值時(shí)的，，的值.錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，，從而，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值162.分析：上面解法錯(cuò)誤，是對(duì)均值不等式中等號(hào)成立的條件沒(méi)有理解而直接套用的結(jié)果，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，不等于162.正確的解法是：在，即中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)成立，所以當(dāng)，，時(shí)，有最小值162.eq\o\ac(○,3)連續(xù)進(jìn)行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立而造成的錯(cuò)誤例.，且，求的最小值.錯(cuò)解：因?yàn)椋?，那么，所以，因此的最小值?.分析：上面解法中，連續(xù)進(jìn)行了兩次不等變形：與，且這兩次不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，第一個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，第二個(gè)是當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，因此不可能等于8.事實(shí)上，題中的依然可以由替換，從而將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)：.由題意知，所以運(yùn)用均值不等式即可求得該函數(shù)最小值,即當(dāng)時(shí)取最小值，求得，，符合題意.所以最小值為9.4函數(shù)最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例1.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋儲(chǔ)水池，其容積為4800，深為，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？分析：從題中分析可以得出，水池高度，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求池壁的長(zhǎng)和寬的問(wèn)題，從而確定取什么值使總造價(jià)最低.即涉及到兩個(gè)變量，因?yàn)槌乇诘拈L(zhǎng)和寬不可能為負(fù)數(shù)，由此我們可以想到利用均值不等式來(lái)求解.解：設(shè)底面的長(zhǎng)為,寬為，水池的總造價(jià)為元.根據(jù)題意有：，由容積為4800，可得，因此，.由均值不等式與不等式的性質(zhì)，可得：即.當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40的正方體時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.例2.某工廠2003年的純收入為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，工廠的生產(chǎn)能力將逐年下降.如果不對(duì)技術(shù)進(jìn)行改造,從今年起預(yù)計(jì)每年將比上一年減少純收入20萬(wàn)元,所以今年年初該工廠為了進(jìn)行技術(shù)改造，一次性投入資金600萬(wàn)元，預(yù)計(jì)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年〔第一年從今年算起〕的利潤(rùn)為萬(wàn)元〔為正整數(shù)〕.設(shè)從第一年起的前年，如果該工廠不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收入為萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收入為萬(wàn)元〔須扣除技術(shù)改造資金〕，那么從今年起該工廠至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收入超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收入？分析：首先根據(jù)題意寫(xiě)出、的表達(dá)式，可知它們都為數(shù)學(xué)上一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)列求和問(wèn)題.繼而對(duì)它們作差就建立起一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的函數(shù)最值問(wèn)題,再利用適宜的方法進(jìn)行求解即可.解：依題設(shè)有.那么.因?yàn)楹瘮?shù)在上位增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，僅當(dāng)時(shí)，.即至少要經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).pq16024405881例3.某公司為資助尚有26.8萬(wàn)元無(wú)息貸款尚未歸還的化裝品商店，借出20萬(wàn)元將該店鋪改造成經(jīng)營(yíng)狀況良好的某體育用品專賣店，并約好用該店賺取的利潤(rùn)逐步對(duì)債務(wù)進(jìn)行歸還(全部債務(wù)均不算利息)．該體育用品的進(jìn)價(jià)為40元/件；該店月銷量(百件)與售價(jià)(元/件)之間的關(guān)系可用右圖(圖一)的一條折線表示；員工的月工資為600元/人，該店pq16024405881(1)假設(shè)售價(jià)為52元/件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的員工有多少；圖一(2)假設(shè)該店只招聘了40名員工，那么該店最快可在幾年后把所有債務(wù)還清，此時(shí)每件體育用品的價(jià)格定為多少元？圖一分析：由題中給出的圖可以看出，我們可以把它看做是在閉區(qū)間上的一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用函數(shù)圖象所表示的幾何意義，借助于幾何圖形的直觀性來(lái)求分段函數(shù)最值問(wèn)題．解：(1)設(shè)該店的月利潤(rùn)為元，有職工名.那么．又由圖可知：所以，由此知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，即此時(shí)該店有50名職工.(2)假設(shè)該店只安排40名職工，那么月利潤(rùn)當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，取最大值7800元；當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，取最大值6900元．綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值7800元．設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，有，解得．所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為55元．由此我們可以總結(jié)出實(shí)際問(wèn)題利用函數(shù)求最值的一般步驟[7]：(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，正確選擇自變量和因變量，找準(zhǔn)等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步；(2)確定函數(shù)定