二次函數(shù)重難點應(yīng)用題歸納（解析版）-2023-2024學年九年級數(shù)學上冊《重難點題型-高分突破》（人教版）

專題2.8二次函數(shù)重難點應(yīng)用題歸納（六大題型）重難點題型歸納【題型1運動類-落地類型】【題型2運動類-最值類型】【題型3經(jīng)濟類問題-與一次函數(shù)綜合問題】【題型4經(jīng)濟類問題-每每問題】【題型5面積類問題】【題型6拱橋類問題】【模型1：運動類】（1）落地模型最值模型【模型2：經(jīng)濟類】銷售問題常用等量關(guān)系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；【模型3：面積類】【模型4：拱橋類】一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．【題型1運動類-落地類型】【典例1】（2023?方城縣一模）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處高度為，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．（2）根據(jù)蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】（1）；（2）該女生在此項考試中是得滿分．【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣3）2+3．把代入解析式，得，解得．∴．（2）該女生在此項考試中是得滿分．理由：令y＝0，即，解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．∴該女生投擲實心球從起點到落地點的水平距離為7.5m，大于6.70m．∴該女生在此項考試中是得滿分．【變式1-1】（2023?大連模擬）已知實心球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣（x﹣1）2+4，則該同學此次投擲實心球的成績是（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】B【解答】解：在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+4，解得x＝3或x＝﹣1（舍去），∴該同學此次投擲實心球的成績是3m，故選：B．【變式1-2】（2022秋?牡丹區(qū)校級期末）校運動會上，某運動員擲鉛球時，他所擲的鉛球的高h（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系滿足h＝﹣x2+x+，則該運動員擲鉛球的成績是（）A．6m B．10m C．8m D．12m【答案】B【解答】解：由題意可知，把y＝0代入解析式得：﹣x2+x+＝0，解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即該運動員的成績是10米．故選：B．【變式1-3】（2022秋?西華縣期中）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝30t﹣5t2，小球運動到最高點所需的時間是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，∵﹣5＜0，∴當t＝3時，h有最大值，最大值為45．故選：B．【變式1-4】（2023?靜樂縣一模）2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關(guān)注，在半決賽中，梅西的一腳射門將足球沿著拋物線飛向球門，此時，足球距離地面的高度h與足球被踢出后經(jīng)過的時間t之間的關(guān)系式為h＝﹣t2+bt．已知足球被踢出9s時落地，那么足球到達距離地面最大高度時的時間l為（）A．3s B．3.5s C．4s D．4.5s【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得，當t＝9時，h＝0，則﹣81+9b＝0，解得b＝9，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，∴當t＝時，h最大，故選：D．【變式1-5】（2023春?陽山縣校級期中）在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線y＝﹣x2+x+1的一部分（如圖所示，水平地面為x軸，單位：m），則下列說法不正確的是（）A．出球點A離點O的距離是1m B．羽毛球橫向飛出的最遠距離是3m C．羽毛球最高達到m D．當羽毛球橫向飛出m時，可到達最高點【答案】B【解答】解：A、當x＝0時，y＝1，則出球點A離地面點O的距離是1m，故A正確；B、當y＝0時，0＝﹣x2+x+1，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B錯誤；C、∵y＝﹣x2+x+1，∴y＝﹣（x﹣）2+，∴此次羽毛球最高可達到m，故C正確；D、∵y＝﹣（x﹣）2+，∴當羽毛球橫向飛出m時，可達到最高點．故D正確．∴只有B是錯誤的．故選：B．【變式1-6】（2023?沭陽縣模擬）小敏在今年的校運動會跳高比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h＝3.5t﹣4.9t2（t的單位：s，h的單位：m）可以描述他跳躍時重心高度的變化，則他起跳后到重心最高時所用的時間是s．【答案】．【解答】解：∵h＝3.5t﹣4.9t2＝﹣4.9（t﹣）2+，∴當t＝時，h取得最大值，故他起跳后到重心最高時所用的時間是s，故答案為：．【題型2運動類-最值類型】【典例2】（2022秋?樂亭縣期末）飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飛機著陸后滑行多長時間才能停下來（）A．10s B．20s C．30s D．40s【答案】B【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函數(shù)有最大值，當t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飛機著陸后滑行20秒能停下來，故選：B．【變式2-1】（2021秋?廈門期末）某種爆竹點燃后升空，并在最高處燃爆．該爆竹點燃后離地高度h（單位：m）關(guān)于離地時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范圍是（）A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4【答案】B【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，∴當t＝2時，爆竹達到最大高度燃爆，∴t的取值范圍是0≤t≤2，故選：B．【變式2-2】（2023春?青秀區(qū)校級期末）某學校航模組設(shè)計制作的火箭升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系式為h＝﹣t2+14t+3，當火箭升空到最高點時，距離地面52m．【答案】52．【解答】解：由題意可得：h＝﹣t2+14t+3＝﹣（t2﹣14t）+3＝﹣（t﹣7）2+52，∵a＝﹣1＜0，∴拋物線開口向下，當x＝7時，h取得最大值，當火箭升空到最高點時，距離地面52m．故答案為：52．【變式2-3】（2023?襄陽模擬）某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）關(guān)于滑行的時間t（秒）的函數(shù)解析式是S＝﹣0.25t2+8t，無人機著陸后滑行16秒才能停下來．【答案】16．【解答】解：由題意得，S＝﹣0.25t2+8t＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）＝﹣0.25（t﹣16）2+64，∵﹣0.25＜0，∴t＝16時，飛機滑行的距離最大，即當t＝16秒時，飛機才能停下來．故答案為：16．【變式2-4】（2023?襄城區(qū)校級二模）飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是y＝60t﹣t2，飛機著陸至停下來共滑行750m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴當t＝25時，y取得最大值750，即飛機著陸后滑行750米才能停下來，故答案為：750m．【變式2-5】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間t（單位：s）函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣1.5t2+60t，在飛機著陸滑行中，最后4秒滑行的距離是24m．【答案】24．【解答】解：當y取得最大值時，飛機停下來，則y＝y(tǒng)＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此時t＝20，飛機著陸后滑行600米才能停下來．因此t的取值范圍是0≤t≤20；即當t＝16時，y＝576，所以600﹣576＝24（米）故答案為：24【題型3經(jīng)濟類問題-與一次函數(shù)綜合】【典例3】（2023春?雙峰縣月考）一個批發(fā)商銷售成本為20元/千克的某產(chǎn)品，根據(jù)物價部門規(guī)定：該產(chǎn)品每千克售價不得超過90元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)的售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系如下表：售價x（元/千克）…50607080…銷售量y（千克）…100908070…（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該批發(fā)商若想獲得4000元的利潤，應(yīng)將售價定為多少元？（3）該產(chǎn)品每千克售價為多少元時，批發(fā)商獲得的利潤w（元）最大？此時的最大利潤為多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），根據(jù)題意得，解得．故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+150；（2）根據(jù)題意得（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，解得x1＝70，x2＝100＞90（不合題意，舍去）．故該批發(fā)商若想獲得4000元的利潤，應(yīng)將售價定為70元；（3）w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w＝（﹣x+150）（x﹣20）＝﹣x2+170x﹣3000＝﹣（x﹣85）2+4225，∵﹣1＜0，∴當x＝85時，w值最大，w最大值是4225．∴該產(chǎn)品每千克售價為85元時，批發(fā)商獲得的利潤w（元）最大，此時的最大利潤為4225元．【變式3-1】（2023春?冷水灘區(qū)校級月考）某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：售價x（元/千克）506070銷售量y（千克）1008060（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；（2）設(shè)商品每天的總利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)表達式（利潤＝收入﹣成本）；（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），，得，即y與x之間的函數(shù)表達式是y＝﹣2x+200（40≤x≤80）；（2）由題意可得，W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，即W與x之間的函數(shù)表達式是W＝﹣2x2+280x﹣8000；（3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，∴當40≤x≤70時，W隨x的增大而增大，當70≤x≤80時，W隨x的增大而減小，當x＝70時，W取得最大值，此時W＝1800，答：當40≤x≤70時，W隨x的增大而增大，當70≤x≤80時，W隨x的增大而減小，售價為70元時獲得最大利潤，最大利潤是1800元．【變式3-2】（2023?五華縣校級開學）某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價為10元/千克，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于18元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．當銷售價為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，對稱軸x＝20，在對稱軸的左側(cè)W隨著x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴當x＝18時，W最大，最大為192．即當銷售價為18元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是192元．（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，解得x1＝15，x2＝25（不合題意，舍去）答：該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為15元．【變式3-3】（2023?漢川市校級模擬）湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，一次性收購了20000kg淡水魚，計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售．已知每天放養(yǎng)的費用相同，放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬元（總成本＝放養(yǎng)總費用+收購成本）．（1）設(shè)每天的放養(yǎng)費用是a萬元，收購成本為b萬元，求a和b的值；（2）設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m（kg），銷售單價為y元/kg．根據(jù)以往經(jīng)驗可知：m與t的函數(shù)關(guān)系為；y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示．①分別求出當0≤t≤50和50＜t≤100時，y與t的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元，求當t為何值時，W最大？并求出最大值．（利潤＝銷售總額﹣總成本）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意，得：，解得，答：a的值為0.04，b的值為30；（2）①當0≤t≤50時，設(shè)y與t的函數(shù)解析式為y＝k1t+n1，將（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y與t的函數(shù)解析式為y＝t+15；當50＜t≤100時，設(shè)y與t的函數(shù)解析式為y＝k2t+n2，將點（50，25）、（100，20）代入，得：，解得：，∴y與t的函數(shù)解析式為y＝﹣t+30；②由題意，當0≤t≤50時，W＝20000（t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，∵3600＞0，∴當t＝50時，W最大值＝180000（元）；當50＜t≤100時，W＝（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）＝﹣10t2+1100t+150000＝﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴當t＝55時，W最大值＝180250（元），綜上所述，放養(yǎng)55天時，W最大，最大值為180250元．【變式3-4】（2023?廣水市模擬）九年級（3）班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下．已知商品的進價為30元/件，設(shè)該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）．時間x（天）1306090每天銷售量p（件）1981408020（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結(jié)果．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當1≤x≤50時，設(shè)商品的售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0），∵y＝kx+b經(jīng)過點（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+40；當50≤x≤90時，y＝90．∴售價y與時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝．由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量p與時間x成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)每天的銷售量p與時間x的函數(shù)關(guān)系式為p＝mx+n（m、n為常數(shù)，且m≠0），∵p＝mx+n過點（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p＝﹣2x+200（1≤x≤90，且x為整數(shù)），當1≤x≤50時，w＝（y﹣30）?p＝（x+40﹣30）（﹣2x+200）＝﹣2x2+180x+2000；當50≤x≤90時，w＝（90﹣30）（﹣2x+200）＝﹣120x+12000．綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數(shù)關(guān)系式是w＝．（2）當1≤x≤50時，w＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，∵a＝﹣2＜0且1≤x≤50，∴當x＝45時，w取最大值，最大值為6050元．當50≤x≤90時，w＝﹣120x+12000，∵k＝﹣120＜0，w隨x增大而減小，∴當x＝50時，w取最大值，最大值為6000元．∵6050＞6000，∴當x＝45時，w最大，最大值為6050元．即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．（3）當1≤x≤50時，令w＝﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1＝21（天）；當50≤x≤90時，令w＝﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50≤x≤53，∵x為整數(shù)，∴50≤x≤53，53﹣50+1＝4（天）．綜上可知：21+4﹣1＝24（天），故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．【變式3-5】（2023?五華縣校級開學）為了“創(chuàng)建文明城市，建設(shè)美麗家園”，我市某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1000m2的空地進行綠化，一部分種草，剩余部分栽花，設(shè)種草部分的面積為x（m2），種草所需費用y1（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為，其圖象如圖所示：栽花所需費用y2（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為y2＝﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）請直接寫出k1、k2和b的值；（2）設(shè)這塊1000m2空地的綠化總費用為W（元），請利用W與x的函數(shù)關(guān)系式，求出綠化總費用W的最大值；（3）若種草部分的面積不少于700m2，栽花部分的面積不少于100m2，請求出綠化總費用W的最小值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）將x＝600、y＝18000代入y1＝k1x，得：18000＝600k1，解得：k1＝30；將x＝600、y＝18000和x＝1000、y＝26000代入，得：，解得：；（2）當0≤x＜600時，W＝30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）＝﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W＝﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴當x＝500時，W取得最大值為32500元；當600≤x≤1000時，W＝20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）＝﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴當600≤x≤1000時，W隨x的增大而減小，∴當x＝600時，W取最大值為32400，∵32400＜32500，∴W取最大值為32500元；（3）由題意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，則700≤x≤900，∵當700≤x≤900時，W隨x的增大而減小，∴當x＝900時，W取得最小值27900元．【題型4經(jīng)濟類問題-每每問題】【典例4】（2022秋?莘縣校級期末）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件；（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，根據(jù)題意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得2x2﹣60x+400＝0解得x1＝20，x2＝10．因為要盡量減少庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，故每件襯衫應(yīng)降20元．答：每件襯衫應(yīng)降價20元．（2）設(shè)商場平均每天贏利y元，則y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x﹣400）＝﹣2[（x﹣15）2﹣625]＝﹣2（x﹣15）2+1250．∴當x＝15時，y取最大值，最大值為1250．答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元．【變式4-1】（2023?廣西模擬）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）超市的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當該商品每月銷售量超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)所獲利潤反而減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+550；（2）70元；（3）80元．【解答】解：（1）∵依題意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+550；（2）∵依題意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴當該商品每月銷售利潤為4000，為使顧客獲得更多實惠，銷售單價應(yīng)定為70元；（3）設(shè)每月總利潤為w，依題意得w＝y(tǒng)（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此圖象開口向下，∴當x＝80時，w有最大值為4500元，∴為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為80元．【變式4-2】（2023?鄂倫春自治旗一模）某商店銷售一種銷售成本為每件40元的玩具，若按每件50元銷售，一個月可售出500件，銷售價每漲1元，月銷量就減少10件．設(shè)銷售價為每件x元（x≥50），月銷量為y件，月銷售利潤為w元．（1）寫出y與x的函數(shù)解析式和w與x的函數(shù)解析式；（2）商店要在月銷售成本不超過10000的情況下，使月銷售利潤達到8000元，銷售價應(yīng)定為每件多少元？（3）當銷售價定為每件多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由題意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，解得：x1＝60，x2＝80，當x＝60時，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，當x＝80時，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，∴銷售價應(yīng)定為每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，又∵﹣10＜0．當x＝70時，w取最大值9000，故銷售價定為每件70元時會獲得最大利潤9000元．【變式4-3】（2022秋?定遠縣期末）某賓館有客房90間，當每間客房的定價為每天140元時，客房會全部住滿．當每間客房每天的定價每漲10元時，就會有5間客房空閑．如果旅客居住客房，賓館需對每間客房每天支出60元的各種費用．（1）請寫出該賓館每天的利潤y（元）與每間客房漲價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)某天的利潤為8000元，8000元的利潤是否為該天的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時客房定價應(yīng)為多少元？（3）請回答客房定價在什么范圍內(nèi)賓館就可獲得利潤？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得y＝（140﹣60+x）（90﹣?5）即y＝﹣x2+50x+7200；（2）8000元的利潤不是為該天的最大利潤，∵y＝﹣（x2﹣100x+2500）+1250+7200＝﹣（x﹣50）2+8450，∴當x＝50即每間客房定價為190元時，賓館當天的最大利潤為8450元；（3）由﹣x2+50x+7200＞0得x2﹣100x﹣14400＜0，即（x﹣180）（x+80）＜0，解得﹣80＜x＜180，故60＜x+140＜320，由題意可知當客房的定價為：大于60元而小于320元時，賓館就可獲得利潤．【題型5面積類問題】【典例5】（2022秋?蒙城縣期末）如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；（2）要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)題意，得S＝x（24﹣3x），即所求的函數(shù)解析式為：S＝﹣3x2+24x，又∵0＜24﹣3x≤10，∴≤x＜8；（2）根據(jù)題意，設(shè)AB長為x，則BC長為24﹣3x∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，當x＝3時，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，當x＝5時，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB長為5m．【變式5-1】（2022秋?莊河市期末）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ鐖D）．若設(shè)綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：y＝x＝﹣x2+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200，∵20＜25，∴當x＝20時，y有最大值200平方米即當x＝20時，滿足條件的綠化帶面積最大．【變式5-2】（2023?汶上縣一模）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】（1）x的值為2m；（2）當時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）如圖：∵BC＝x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD＝2x，∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝（24﹣BD）＝8﹣x，依題意得：3x（8﹣x）＝36，解得：x1＝2，x2＝6（不合題意，舍去），答：此時x的值為2m．（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，由（1）得：S＝3x（8﹣x）＝﹣3（x﹣4）2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵﹣3＜0，∴x＜4時，S隨著x的增大而增大，∴當x＝時，S有最大值，最大值為（m2）．答：當時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【變式5-3】（2023?涼山州模擬）2022年5月，教育部頒布的《義務(wù)教育勞動課程標準》中，要求以豐富開放的勞動項目為載體，培養(yǎng)學生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為12米），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為30﹣3x米（用含的代數(shù)式表示）；（2）若矩形ABCD的面積為63m2，求x的值；（3）當x為何值時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米？【答案】（1）30﹣3x；（2）7；（3）當x＝6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：30﹣3x；（2）∵墻最大可用長度為12米，∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，解得：6≤x＜，根據(jù)圖形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，解得：x1＝3（舍），x2＝7，∴x的值為7；（3）設(shè)矩形的面積為S平方米，則S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，∵﹣3＜0，且6≤x＜，∴當x＝6時，S有最大值，最大值為72，答：當x＝6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為72平方米．【變式5-5】（2022秋?孟州市校級期末）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為（21﹣3x）m，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，此時CD＝21﹣3×＝＜12，符合題意，即BC應(yīng)設(shè)計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．【變式5-6】（2023?青山區(qū)模擬）在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600cm2的矩形紙板ABCD，如圖1，再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖2．設(shè)小正方形的邊長為x厘米．（1）若矩形紙板ABCD的一邊長為90cm，①當紙盒的底面積為1056cm2時，求x的值；②求紙盒的側(cè)面積的最大值；（2）當EH：EF＝7：2，且側(cè)面積與底面積之比為9：7時，求x的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一邊長為90cm，∴矩形的另一邊為3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值為12cm．②S側(cè)＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，當x＝時，S最大＝，答：紙盒的側(cè)面積最大為平方厘米．（2）設(shè)EF＝2m，則EH＝7m，則側(cè)面積為2（7mx+2mx）＝18mx，底面積為7m×2m＝14m2，由題意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，則AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x?9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值為10．【變式5-7】（2022秋?孟州市校級期末）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【答案】（1）8m，4m；（2）m，m2．【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為（21﹣3x）m，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當x＝時，總種植面積有最大值為m2，此時CD＝21﹣3×＝＜12，符合題意，即BC應(yīng)設(shè)計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．【變式5-9】（2023?青山區(qū)模擬）在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600cm2的矩形紙板ABCD，如圖1，再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形EFGH，如圖2．設(shè)小正方形的邊長為x厘米．（1）若矩形紙板ABCD的一邊長為90cm，①當紙盒的底面積為1056cm2時，求x的值；②求紙盒的側(cè)面積的最大值；（2）當EH：EF＝7：2，且側(cè)面積與底面積之比為9：7時，求x的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①∵矩形ABCD的一邊長為90cm，∴矩形的另一邊為3600÷90＝40cm，（40﹣2x）（90﹣2x）＝1056，解得：x1＝12，x2＝53（舍去）答：x的值為12cm．②S側(cè)＝2[x（90﹣2x）+x（40﹣2x）]＝﹣8x2+260x＝﹣8（x﹣）2+，∵a＝﹣8＜0，∴S有最大值，當x＝時，S最大＝，答：紙盒的側(cè)面積最大為平方厘米．（2）設(shè)EF＝2m，則EH＝7m，則側(cè)面積為2（7mx+2mx）＝18mx，底面積為7m×2m＝14m2，由題意得：18mx：14m＝9：7，∴m＝x，則AD＝7x+2x＝9x，AB＝2x+2x＝4x，由4x?9x＝3600，∴x＝10，x＝﹣10（舍去）答：x的值為10．【題型6拱橋類問題】【典例6】（2023?碑林區(qū)校級模擬）某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系（以AB中點為原點，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求拋物線的表達式；（2）拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H，G分別在拋物線的左右側(cè)上），已知搭建“腳手架”EFGH的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離．【答案】（1）拋物線的表達式為y＝﹣x2+5；（2）“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為4m．【解答】解：（1）根據(jù)已知可得，A（﹣10，0），拋物線頂點C（0，5），設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+5，把A（﹣10，0）代入得：100a+5＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+5；（2）設(shè)點G的坐標為（t，﹣t2+5），根據(jù)題意得HG＝2t，GF＝﹣t2+5，∵EH+HG+GF＝18.4m，∴2t+2（﹣t2+5）＝18.4，解得t1＝6，t2＝14（不合題意，舍去），∴HG＝12m，GF＝3.2m，∴EO＝HG＝6（m），∴AE＝AO﹣EO＝4（m）．答：“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離為4m．【變式6-1】（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標系，得到函數(shù)，在正常水位時水面寬AB＝30米，當水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【答案】A【解答】解：∵AB＝30米，∴當x＝15時，y＝﹣×152＝﹣9，當水位上升5米時，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此時水面寬CD＝20米，故選：A．【變式6-2】（2023?豐潤區(qū)二模）如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面3m，水面寬6m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【答案】A【解答】解：設(shè)出拋物線方程y＝ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經(jīng)過（﹣3，﹣3）點，故﹣3＝9a，a＝﹣，故y＝﹣x2，故選：A．【變式6-3】（2023?遵化市二模）如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩D距離地面1.5米，最高點C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱AB＝1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離AE為多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【答案】A【解答】解：如圖所示，以AE所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴點B與點D關(guān)于對稱軸對稱，∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；方法二：根據(jù)題意知，拋物線的頂點C的坐標為（1.6，2.5），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1.6）2+2.5，將點B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，當y＝1.5時，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，解得x＝0（舍）或x＝3.2，所以茶幾到燈柱的距離AE為3.2米，故選：A．【變式6-4】（2023?榆陽區(qū)二模）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達式為，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點