2.1 等式與不等式的性質(zhì)（精講）-2022版高中數(shù)學新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

2.1等式與不等式的性質(zhì)思維導圖思維導圖常見考法常見考法考點一等式性質(zhì)【例1】(2019·全國高一課時練習)下列變形中錯誤的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)易知A，B，C正確；對于D，當時，兩邊都除以無意義，故本選項錯誤.故選:D.【舉一反三】1．(2019·全國高一課時練習)根據(jù)等式的性質(zhì)判斷下列變形正確的是()A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【解析】對于A，沒有的條件，等式的兩邊不能都除以，故選項A不正確；對于B，等式的左邊減去5，等式的右邊乘以后加上5，等式不成立，故選項B不正確；對于C，等式的左邊乘以2，等式的右邊除以2，等式不成立，故選項C不正確；對于D，等式的兩邊都乘以，等式成立，故選項D正確.故選:D.2．(2019·全國高一課時練習)若，則下列變形正確的是()A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，根據(jù)等式的性質(zhì)，得，故該選項錯誤；對于B，根據(jù)等式的性質(zhì)，得-，故該選項正確；對于C，根據(jù)等式的性質(zhì)，得或，故該選項錯誤；對于D，根據(jù)等式的性質(zhì)，得，故該選項錯誤.故選:B.考點二不等式性質(zhì)【例2】(2020·河北省曲陽縣第一高級中學高一期末)對于任意實數(shù)a，b，c，則下列四個命題：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】時，若，則，①錯誤；若，則，②錯誤；若，則，∴，③正確；，若，仍然有，④錯誤．正確的只有1個．故選：C．本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法【舉一反三】1．(2020·上海高一開學考試)下列命題正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C2．(2020·全國高一開學考試)若、、為實數(shù)，則下列命題正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對于A選項，若，則，故A不成立；對于B選項，，在不等式同時乘以，得，另一方面在不等式兩邊同時乘以，得，，故B成立；對于選項C，在兩邊同時除以，可得，所以C不成立；對于選項D，令，，則有，，，所以D不成立.故選B.3．(2020·武漢外國語學校高一月考)下列結(jié)論正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A，取時，，則A錯誤；對于B，取時，，則B錯誤；對于C，因為，所以由不等式的性質(zhì)可知，則C正確；對于D，取時，，則D錯誤；故選：C考點三比較大小【例3】(2020·全國高一課時練習)已知a，b均為正實數(shù)，試利用作差法比較與的大小.【答案】【解析】∵.又a，b均為正實數(shù)，當時，；當時，，則.綜上所述，.一．作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法一．作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法．①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結(jié)論．②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論．介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質(zhì)是不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當?shù)姆趴s，找出一個比較合適的中介值．三．比較大小時應注意：（1）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時應該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負號為止；【舉一反三】1．(2020·全國高一課時練習)已知，那么的大小關(guān)系是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由，則，所以，所以，故選C.2．(2020·浙江高一課時練習)設(shè)，則的大小關(guān)系為()．A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，.又，故．綜上可得：．故選：.考點四代數(shù)式的取值范圍【例4】(1)(2019·廣東高考模擬(理))已知，，則的取值范圍是()A． B． C． D．(2)(2019·浙江紹興一中高一月考)已知實數(shù)，滿足，，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令則，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．則．故選C．(2)令，，,則又，因此，故本題選B.代數(shù)式的取值范圍的一般思路：代數(shù)式的取值范圍的一般思路：借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進行解答；借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；（3）結(jié)合不等式的傳遞性進行求解【舉一反三】1．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))已知二次函數(shù)的圖象過原點，且，則的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函數(shù)的圖像過原點，設(shè)二次函數(shù)為：，，，……①，……②，則3①+6②得：即，故選：B.2．(2020·山東濟寧.高一月考)若，則的范圍為_______________【答案】【解析】依題意可知，由于，由不等式的性質(zhì)可知.故填：.3．(2019·全國高一課時練習)已知，，則的值為____________.【答案】24【解析】由題得.故答案為：2考點五不等式證明【例5】(2020·全國高一課時練習)已知，，求證：.【答案】證明見解析.【解析】，因為，，所以，，故，即證：.【舉一反三】1．(2020·全國高一課時練習)證明不等式().【答案】證明見解析.【解析】證明：因為，所以，所以兩邊同除以4，即得，當且僅當時，取等號.2．(2020·全國高一課時練習)如果，，證明：.【答案】證明見解析.【解析】證明：由，，則，又,，則，又，故.3．(2020·全國高一)已知，．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：．【答