2.2 基本不等式（精講）-2022版高中數(shù)學新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

2.2基本不等式思維導圖思維導圖常見考法常見考法考點一公式的直接運用【例1】(1)(2020·全國高一課時練習)若，則的最大值是()A． B． C． D．(2)(2020·全國高一課時練習)已知，求函數(shù)的最小值是()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】(1)A(2)D【解析】(1)，故，則，當時取“=”，所以正確選項為A(2)由，即，所以，時取“=”，所以正確選項為D考查基本不等式，采用構造法，基本不等式需注意：考查基本不等式，采用構造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。一不可【舉一反三】1．(2020·全國高一課時練習)若，則的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】則，，當時取“=”，所以正確選項為C2．(2020·上海高一開學考試)已知，函數(shù)的最小值是()A．5 B．4 C．8 D．6【答案】D【解析】因為該函數(shù)的單調性較難求，所以可以考慮用不等式來求最小值，，因為，由重要不等式可知，所以，本題正確選項為D.3．(2020·全國高一課時練習)已知函數(shù)在時取得最小值，則________．【答案】【解析】因為，所以，當且僅當即，由題意，解得考點二條件型【例2】(1)(2020·全國高一課時練習)已知實數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．(2)(2020·哈爾濱德強學校高一期末)已知實數(shù)，，，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】(1)D(2)B【解析】(1)，正確選項為D(2)∵，，當且僅當，即，時取等號.故選B條件型（乘K法）：和為定值K，求倒數(shù)和的最小值，采用乘K法條件型（乘K法）：和為定值K，求倒數(shù)和的最小值，采用乘K法【舉一反三】1．(2020·全國高一開學考試)已知,則的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】(當且僅當，即時取等號)的最小值為故選：2．(2020·四川金牛。成都外國語學校高一期末(文))若正數(shù)，滿足，則的最小值是()A． B． C．5 D．25【答案】C【解析】正數(shù)，滿足，則，當且僅當時取等號．的最小值是5．故選：C．3．(2020·全國高一課時練習)已知，，則的最小值為_______________；【答案】【解析】采用常數(shù)1的替換，，當即時等號成立，所以答案為．考點三配湊型【例3】(1)(2020·衡水市第十三中學高一月考)已知，則的最小值是________．(2019·四川高一期末)已知正數(shù)、滿足，則的最小值為【答案】(1)5(2)【解析】當時，，，當且僅當，即當時，等號成立，因此，函數(shù)的最小值為.故答案為：.(2)，所以，，則，所以，，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選：．1.分子分母為一次函數(shù)和二次函數(shù)，把二次函數(shù)配湊成關系一次函數(shù)的一元二次，再分子分母同除一次函數(shù)1.分子分母為一次函數(shù)和二次函數(shù)，把二次函數(shù)配湊成關系一次函數(shù)的一元二次，再分子分母同除一次函數(shù)2.給出等式但是不符合條件型，則從分母入手，分母相加減可得到等式的關系的倍數(shù)，即降次-配湊-均值不等式【舉一反三】1(2020·全國高一專題練習)設，求的最大值.【答案】1【解析】∵，∴∴所以當且僅當，即時等號成立所以的最大值為2．(2020·全國高一課時練習)函數(shù)的最小值為()A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】，則，，當時取“=”，所以正確選項為A．3．(2020·全國高一課時練習)已知，則有A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】當且僅當即時取等號，故選：．考點四換元法【例4】(2019·河北路南.唐山一中高三期中(文))已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是()A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，【舉一反三】1．(2020·上海高一開學考試)若正數(shù)滿足，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為正數(shù)滿足，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：A2．(2020·江西高一期末)已知a，，且滿足，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴．即．當且僅當時取等號．∴的最小值為故選：C3．(2020·黑龍江工農.鶴崗一中高一期末(理))若正數(shù)滿足，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，化簡可得，左右兩邊同時除以xy得求的最大值，即求的最小值所以，當且僅當時取等號所以的最大值為所以選A4．(2020·浙江高三月考)已知實數(shù)滿足，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，，，則，，，設，則，，解得，的最小值為.故選：B考點五求參數(shù)【例5】(2020·浙江高一單元測試)已知不等式對任意實數(shù)、恒成立，則實數(shù)的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】.若，則，從而無最小值，不合乎題意；若，則，.①當時，無最小值，不合乎題意；②當時，，則不恒成立；③當時，，當且僅當時，等號成立.所以，，解得，因此，實數(shù)的最小值為.故選：C.【舉一反三】1．(2020·河北路南.唐山一中高一期中)若對于任意恒成立，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以(當且僅當時取等號)，則，即的最大值為，故.故選：2．(2020·河南高三其他(理))若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得當時，恒成立，又因為，當且僅當時取等號，所以的最大值為，所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．(2020·西夏.寧夏大學附屬中學高二月考(文))若兩個正實數(shù)x，y滿足，且恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，兩個正實數(shù)x，y滿足，則，當且僅當，即時，等號成立，又由恒成立，可得，即，解得，即實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.考點六實際應用題【例6】(2020·浙江高一課時練習)某工廠擬建一個平面圖形為矩形，且總面積為平方米的三級污水處理池，如圖R3－1所示.已知池外墻造價為每米元，中間兩條隔墻造價為每米元，池底造價為每平方米元(池壁的厚度忽略不計，且污水處理池無蓋).若使污水處理池的總造價最低，那么污水處理池的長和寬分別為()A．米，米 B．米，米 C．米,米 D．米，米【答案】C【解析】設污水池的寬為米，則長為米，總造價為，則(元)，當且僅當時，即當時，總造價最低，此時，污水池的寬為米，長為米.故選：C.【舉一反三】1．(2019·全國高一課時練習)設計用32m2的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是(A．(38－373)m3 B．16m3 C．42m3 D．14m【答案】B【解析】設長方體車廂的長為xm，高為hm，則2x+2×2h＋2xh=32∴16=x+2h+xh≥22xh+xh，即xh+2∴0<xh≤8．∴車廂的容積為V=2xh≤16(m3)．當且僅當x=2h且x+2h＋xh=162．(2020·全國高一課時練習)將一根鐵絲切割成三段，做一個面積為，形狀為直角三角形的框架，在下列4種長度的鐵絲中，選用最合理共用且浪費最少的是()A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m【答案】C【解析】設直角三角形的框架的兩條直角邊為x，y(x＞0，y＞0)則xy＝4，此時三角形框架的周長C為：x+y+＝x+y+∵x+y≥2＝4∴C＝x