5.1 任意角和弧度制（精講）-2022版高中數(shù)學新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

5.1任意角和弧度制思維導圖思維導圖常見考法常見考法考點一基本概念的辨析【例1】(2020·河南宛城·南陽中學高一月考)下列說法正確的個數(shù)是()①小于的角是銳角；②鈍角一定大于第一象限角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始邊與終邊重合的角為.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對①，小于的角不是銳角，如不是銳角，故①錯；對②，角是第一象限的角，大于任何鈍角，故②錯；對③，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故③錯；對④，始邊與終邊重合的角的度數(shù)是，故④錯．故選：A．【舉一反三】1．(2020·全國高一課時練習)下列說法正確的是()A．終邊相同的角一定相等 B．鈍角一定是第二象限角C．第四象限角一定是負角 D．小于的角都是銳角【答案】B【解析】終邊相同的角不一定相等，所以該選項錯誤；鈍角一定是第二象限角，所以該選項正確；第四象限角不一定是負角，如是第四象限的角，但是不是負角，所以該選項錯誤；小于的角不都是銳角，如.所以該選項錯誤.故選B2．(2020·浙江高一課時練習)下列命題中正確的是()．A．終邊與始邊重合的角是零角 B．90°～180°間的角不一定是鈍角C．終邊和始邊都相同的兩個角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角【答案】B【解析】終邊與始邊重合的角還有360°角，720°角等，故A錯誤；90°～180°間的角包括90°角，故90°～180°間的角不一定是鈍角，故B正確；終邊和始邊都相同的兩個角相差，故C錯誤；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D錯誤．故選：B3．(2020·陜西大荔·高一期末)下列說法正確的是()A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角終邊可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．終邊在軸正半軸上的角是零角【答案】B【解析】A選項，第一象限角，而是第二象限角，∴該選項錯誤；B選項，與終邊相等，但它們不相等，∴該選項正確；C選項，若是第二象限角，則，∴是第三象限角或第四象限角或終邊在軸負半軸上的軸線角，∴該選項錯誤；D選項，角的終邊在軸正半軸上，但不是零角，∴該選項錯誤.故選：.考點二角度與弧度的轉(zhuǎn)換【例2】(2020·汪清縣汪清第六中學高一期中(文))把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)，度數(shù)化為弧度數(shù).(1)；(2)；(3)1125°；(4)-225°.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】根據(jù)弧度制與角度制的互化公式，，可得：(1)；(2)；(3)；(4).【舉一反三】1．(2020·全國高一課時練習)把下列角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4)．2．(2020·甘肅城關(guān)·蘭州一中高一期中)___________弧度,弧度=________.【答案】【解析】,,故答案為：；3．(2020·土默特左旗金山學校高一月考(理))下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是()A．化成弧度是 B．化成度是C．化成弧度是 D．化成度是【答案】C【解析】化成弧度是，A正確化成度是，B正確；是，C錯誤；化成度是，D正確.故選：C.考點三終邊相同【例3】(2020·全國高一課時練習)(1)把－1480°寫成的形式，其中；(2)在內(nèi)找出與角終邊相同的角.【答案】(1)；(2)72°，432°.【解析】(1)∵，而，且，∴.∴.(2)∵，∴終邊與角相同的角為，當時，；當時，.∴在內(nèi)與角終邊相同的角為72°，432°.【舉一反三】1．(2020·汪清縣汪清第六中學高一期中(文))已知角.(1)將角改寫成(，)的形式，并指出角是第幾象限的角；(2)在區(qū)間上找出與角終邊相同的角.【答案】(1)，是第三象限角；(2)．【解析】(1)，是第三象限角，∴是第三象限角．(2)由得，因為，∴，對應角依次為．2．(2020·全國高一課時練習)把下列各角度化為弧度,并寫成的角加上的形式.(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3).【解析】(1);(2);(3).3．(2019·陜西榆陽·榆林十二中高一月考)用弧度制寫出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合.(1)(2)【答案】(1)；(2)【解析】(1)，，用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為.(2)，，用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為.考點四象限的判斷【例4】(2020·全國高一課時練習)已知下列各角：①②③④，其中第二象限角的是()A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】D【解析】①表示由軸非負半軸繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，落在第三象限；②表示由軸非負半軸繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，落在第二象限；③表示由軸非負半軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，落在軸非正半軸；④表示由軸非負半軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，且，的終邊和的終邊相同，所以落在第二象限.故選：D【舉一反三】1．(2020·周口市中英文學校高一期中)角的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因為，角是第一象限角，所以角的終邊所在的象限是第一象限．故選A.2．(2020·全國高二)若是第二象限角，則是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【解析】為第二象限角，不妨取，則為第一象限角，故選A．3．(2020·全國高一課時練習)在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.【答案】(1)，第三象限的角；(2)，第四象限的角；(3)，第二象限的角；【解析】(1)，是第三象限的角，是第三象限的角；(2)，是第四象限的角，是第四象限的角；(3)，是第二象限的角，是第二象限的角．考點五扇形【例5】(2020·浙江高一課時練習)已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.(1)若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?【答案】(1)，；(2).【解析】(1)設(shè)扇形的弧長為l，弓形面積為S，則，，，.(2)設(shè)扇形弧長為l，則，即，∴扇形面積，∴當時，S有最大值，此時，.因此當時，這個扇形面積最大.1.設(shè)扇形的半徑為1.設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積當周長C為定值時可得面積當面積為定值時可得周長.【舉一反三】1．(2020·赤峰二中)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學巨著，其中《方田》章給出了計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積(弦×矢+矢2)，弧田(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成，公式中的“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，矢為4的弧田，按照上述方法計算出其面積是()A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)半徑為,圓心到弦的距離為,則,所以弦長為,弧田面積為.故選:D.2．(2020·遼寧沈陽·高一期中)一個半徑是的扇形，其周長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為()A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的弧長為，則，得，則扇形圓心角的弧度數(shù)