河南省信陽(yáng)市澠池高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

河南省信陽(yáng)市海池高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文

期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

a、［：'":八八x為有理數(shù)

"°4。.山)41為石現(xiàn)

1設(shè)則的值為

A1B0C-

1D開(kāi)

參考答案：

B.

開(kāi)是無(wú)理數(shù)=g(R=°n〃g(m)=/(°)=°,故選B.

2.若集合4={-2cx<1},B={0<x<2},則集合408=()

A.{-1<X<1}B.{-2<%<1}

C.{-2<x<2}D.{0<x<l}

參考答案：

D

99

3.已知橢圓C：a+b'=l(a>b>0),點(diǎn)M,N,F分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左

焦點(diǎn)，若NMFN=/NMF+90°,則橢圓C的離心率是()

遙-1如-1近一、返

A.-2~B.-2~C.2D.

參考答案：

A

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合己知可得a,b,c的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合隱含條件可得關(guān)于

離心率e的方程求解.

【解答】解：如圖，

tanZNMF=a,tanZNFO=c,

VZMFN=ZNMF+90°,AZNF0=180°-MFN=90°-ZNMF,

]

即tanNNFOtan/NMF,

b___a

/.cb,則b2=a2-c2=ac,

粕T

/?e2+e-1=0,得e=2.

故選：A.

4.若。是方程x+3x=2的解，則%屬于區(qū)

間（）

D.（9）

c.

參考答案：

D

略

5.截至2019年10月，世界人口已超過(guò)75億.若按千分之一的年增長(zhǎng)率計(jì)算，則兩年增長(zhǎng)

的人口就可相當(dāng)于一個(gè)（）

A.新加坡（570萬(wàn)）B.希臘（1100萬(wàn)）C.津巴布韋（1500萬(wàn)）D.澳大利亞

（2500萬(wàn)）

參考答案：

C

【分析】

由指數(shù)基的計(jì)算方式求得答案.

【詳解】由題可知，年增長(zhǎng)率為0.001,則兩年后全世界的人口有申000、”。"001）

萬(wàn)，

則兩年增長(zhǎng)的人口為750Mox(MQ00])J750000=150075萬(wàn)

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.某小區(qū)住戶(hù)共200戶(hù)，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50

戶(hù)進(jìn)行調(diào)查，得到本月的用水量（單位：n?）的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水

量超過(guò)15m3的住戶(hù)的戶(hù)數(shù)為（）

參考答案:

C

考莖葉圖.

點(diǎn):

①計(jì)算題.

題：

分由題意及所給樣本的頻率分布直方圖，可知：用水量在［15,20）的頻率，用水量在

析：L20,25）的頻率，再利用分層抽樣的定義即可求解.

解解：由圖可知，用水量在［15,20）的頻率是0.05x5=0.25,故應(yīng)在用水量在［15,

答：20）中抽取200x0.25=50人；

用水量在［20,25）的頻率是0.01x5=0.05,故應(yīng)在用水量在［20,25）中抽取

200x0.05=10人；

則小區(qū)內(nèi)用水量超過(guò)15m3的住戶(hù)的戶(hù)數(shù)為60.

故選C；

點(diǎn)此題考查了學(xué)生識(shí)圖及計(jì)算能力，還考查了分層抽樣及頻率分布直方圖，是一道基

評(píng)：礎(chǔ)題；

J-/-3x+4

y=-------------

7.函數(shù)x的定義域?yàn)?/p>

A.HH］B.HL。）C.（0」】

D.［-<0）U（0,1］

參考答案：

D

y（j^=2sin（x——）cosx+-51r

8.已知將函數(shù)62的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

y=D的圖象，則8"）在L3"3_!上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

C.

參考答案:

C

9.給出關(guān)于雙曲線(xiàn)的三個(gè)命題:

--—=1y=±-x

①雙曲線(xiàn),4的漸近線(xiàn)方程是3.

②若點(diǎn)（23）在焦距為4的雙曲線(xiàn)小丁上，則此雙曲線(xiàn)的離心率e=2；

金一士=1

③若點(diǎn)F、B分別是雙曲線(xiàn)小/的一個(gè)焦點(diǎn)和虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則線(xiàn)段FB的中點(diǎn)一

定不在此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

參考答案：

C

【霹析】對(duì)于①：雙曲線(xiàn)?一?=1的海近線(xiàn)方程是丁=土;x,故①楣誤I

XffOt雙做￡的雙筋力

2a=|V（2?2）J+（3-0）?-V（2-2）1+（3-0）J=2,a=1,從而離心呼0=;=2,械⑵正

確，

帶孫F（±c，0）1（0，±b）,F&的中叱等（土;，土扣杯賽足,將近線(xiàn)方法，所以電￡■，

afcac.

10.設(shè)?”1.（CMX-Sinx）*,則二項(xiàng)式（，+高展開(kāi)式中的小項(xiàng)的系數(shù)

為（）

A.-20B.20C.-160D.160

參考答案：

C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知函數(shù)「“一:還在區(qū)間（一）刊°）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

參考答案：

2（x+2）a2

略

12.圖中離散點(diǎn)是數(shù)列W的圖像，如（L4）是第一點(diǎn)，表示為=4,則從第一點(diǎn)起的前

46個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為。

參考答案:

5359

13.已知函數(shù)1.2'.XW。，則滿(mǎn)足/（/。））之1的的取值范圍是.

參考答案：

[4,-KO）U{1}

略

14.已知圓C過(guò)點(diǎn)（-1,0）,且圓心在x軸的負(fù)半軸上，直線(xiàn)1：y=x+l被該圓所截得的

弦長(zhǎng)為2右，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

參考答案：

（x+3）2+y2=4

【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心C坐標(biāo)為（x,0）,根據(jù)圓C過(guò)（-1,0）,利用兩點(diǎn)間的距離

公式表示出圓的半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到切線(xiàn)1的距離d,根據(jù)已知

的弦長(zhǎng)，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到圓心坐標(biāo)及半

徑，寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【解答】解：設(shè)圓心C（x,0）,則圓的半徑r=|BC|=|x+l|

|x+l|

，圓心C到直線(xiàn)1的距離CD|=V2,弦長(zhǎng)|AB|=2加,

則r=V2=|x+l|,

整理得：x=l（不合題意，舍去）或x=-3,

圓心C（-3,0）,半徑為2,

則圓C方程為（x+3）2+y-4.

15.（】+2x）n的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的第2項(xiàng)為

參考答案：

16x

16.設(shè)a力是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面,則下列四個(gè)命題中

⑴若戶(hù),則。?1■夕；

⑵若邑則al?凡

⑶若a，瓦a_L尸則4〃&；

⑷若a'a,b_La,則?！ㄥ?/p>

其中所有真命題的序號(hào)是.

參考答案：

(1)(4)

略

17.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

參考答案:

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.如圖：四棱錐P-A8CD中，PALAD,,PC=?ADwBC,

AB=AC.ZAW=150°ZPDil=30o.

(I)證明：H41平面MS；

(II)在線(xiàn)段PD上是否存在一點(diǎn)獷，使直線(xiàn)c尸與平面戶(hù)8C成角正弦值等于4,若

存在，指出F點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(I)證明：取線(xiàn)段3c中點(diǎn)￡,連結(jié)0E.

因?yàn)?=/，/尸1=30°所以

PA=\

分

因?yàn)?/0=1500所以

4=30。，2分

所以而

...4分

因?yàn)樗?C?=月#+庶2即H4_L/C

因?yàn)?4_LAD,且亞）C|4C=上

所以24_L平面48C?！?分

（IDft?：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以陽(yáng)皿解

所在直線(xiàn)分別為KM?軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：ks5u

則只&四點(diǎn)坐標(biāo)分別為：

/X0.0.1）;6（1.Y.0）；CQ/.O）；

。（0,"0）

8分

設(shè)尸（小丹用）；平面FBC的法向量?=（x.乂z）

X[=0

因?yàn)辄c(diǎn)F在線(xiàn)段尸。上，所以假設(shè)尸產(chǎn)=*￡>,所以卜1="

（o<a^i）

即尸（0.玖.1-用所以

前=(1,書(shū)—圓入_1)Ks5u…9分

又因?yàn)槠矫媸姆ㄏ蛄?=Z).

x-6y-z=0

所以〃-尸8=0,“-8C=0,所以.2&y=0

所以

=(1.0.1)

.......10分

I里町_1

因?yàn)橹本€(xiàn)c尸與平面尸8c成角正弦值等于‘，所以|PC|x|u|

HI______J1

所以岳g4a-iy4即-5.所以點(diǎn)尸是線(xiàn)段尸。的中點(diǎn).……12

分

略

19.如圖1,在直角梯形/底。中，AB//(.I),4月1且2.現(xiàn)

以/7)為一邊向梯形外作正方形力八股一,然后沿邊4八將正方形4/)內(nèi)卜翻折，使平面

“?■與平面//(7)垂直，”為小)的中點(diǎn)，如圖2.

(1)求證：力“〃平面/芷C；

⑵求證：AC?平面用比；

(3)求點(diǎn)Z)到平面8成?的距離.

參考答案:

解：⑴證明：取卜(中點(diǎn)火，連結(jié)也；取

在△片中，"，N分別為田￡D的中點(diǎn)，

A/V/，，、MN-CD,,八AB--CD

所以“仆//(/),且2.由已知/1E//C/),2,

所以人以‘〃/陰，且4加一力8.所以四邊形，便入人/為平行四邊形.

所以8N又因?yàn)?Wu平面AAC,且平面肘￡,所以必〃平面

(2)在正方形4/)互卜中，ED.AD.又因?yàn)槠矫?/)印_L平面.雙'/),且平面

ADEFC\平面AHC'D-Al),所以方。一平面ABCD.所以

EDWC.

在直角梯形力胤1)中，/月=/。=1,CD-2,可得8C<2.

在△"(7)中，BD=8C=&￡1)=2,所以段)'+比】所以取,一RD.所以

ffCI平面即￡

?z..5也--BD坎」.(Ki,

(3)：平面照》；,所以ACI林，所以g22,

I](―?—v6

-BEBC--V2-V3—,.,

222又為v3%v以里，設(shè)點(diǎn)乃到平面u種?z(的距離為

%S?T>F.1V6

n--------------―————

1y-S即kv63

九則不3.一5芍3?方，所以2,所以點(diǎn)。到平面

V6

的距離等于3.

略

20.某大學(xué)為調(diào)查來(lái)自南方和北方的同齡大學(xué)生的身高差異，從2011級(jí)的年齡在

18?19歲之間的大學(xué)生中隨機(jī)抽取了來(lái)自南方和北方的大學(xué)生各10名，測(cè)量他們

的身高，數(shù)據(jù)如下(單位：c加：

南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163；

北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.

(I)根據(jù)抽測(cè)結(jié)果，畫(huà)出莖葉圖，并根據(jù)你畫(huà)的莖葉圖，對(duì)來(lái)自南方和北方的大學(xué)

生的身高作比較，寫(xiě)出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；

(II)若將樣本頻率視為總體的概率，現(xiàn)從來(lái)自南方的身高不低于170的大學(xué)生中隨

機(jī)抽取3名同學(xué)，求其中恰有兩名同學(xué)的身高低于175的概率.

參考答案：

(1)莖葉圖如右：

統(tǒng)計(jì)結(jié)論：(給出下列四個(gè)供參考，考生只要答對(duì)其中兩個(gè)即給滿(mǎn)分，給出其他合

進(jìn)的答案也給分)

①北方大學(xué)生的平均身高大于南方大學(xué)生的平均身高；

②南方大學(xué)生的身高比北方大學(xué)的身高更整齊；

③南方大學(xué)生的身高的中位數(shù)為169.5cm,北方大學(xué)生的身高的中位數(shù)為172cm；

④南方大學(xué)生的高度基本上是對(duì)稱(chēng)的，而且大多數(shù)集中在均值附近，北方大學(xué)生的

高度分布較為分散.

(2)南方大學(xué)生身高不低于170的有170,180,175,171,176,從中抽取3個(gè)相當(dāng)于

從中抽取2個(gè)，共有10種抽法，低于175的只有2個(gè)，所以共有3種，概率為

65I13S89

963369

返

21.在aABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，面積S=2abcosC

(1)求角C的大小；

_旦旦旦

(2)設(shè)函數(shù)f(x)^sin^cosT+cos2^,求f(B)的最大值，及取得最大值時(shí)角B的

值.

參考答案：

【考點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【分析】(1)利用三角形面積公式和已知等式，整理可求得tanC的值，進(jìn)而求得C.

(2)利用兩角和公示和二倍角公式化簡(jiǎn)整理函數(shù)解析式，利用B的范圍和三角函數(shù)性質(zhì)

求得函數(shù)最大值.

【解答】解：(1)由S=2absinC及題設(shè)條件得2absinC=2abcosC,

即sinC=J^cosC,

/.tanC=V3,

0<C<兀,

7T

：.C^3~9

XXX11.1

(2)f(x)=V3sin2cos2+cos22=2sinx+2cosx+2=sin(x+6)+2,

7T

VC=V,

2兀

ABe(0,,

.JT5兀

/.6<B+6<6

兀兀冗3

當(dāng)B+石、亍，即B二7時(shí)，f(B)有最大值是

22.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為R(-1,0),F2(1,0),過(guò)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)交橢圓于

P、Q兩點(diǎn)，,S|PQ|=3.

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)E的直線(xiàn)1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,則△RMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大

值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：

【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2b2

【分析】(1)設(shè)橢圓方程，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=l,由|PQ|=3,可得'=3,又￡-b2=l,

由此可求橢圓方程；

(2)設(shè)M(X.,y1),N(xz,y2),不妨1>0,y2<0,設(shè)△RMN的內(nèi)切圓的徑R,則

S」S

△EMN的周長(zhǎng)=4a=8,AFiHN2(MN|+|FN|+|FN)R=4R,因此△上沖最大，R就最

大.設(shè)直線(xiàn)1的方程為*=?1丫+1,與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△RMN的面積，利用換元

法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論.

22

x.y

【解答】解：(1)設(shè)橢圓方程為ab"=l(a>b>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=l…

2b2

由|PQ|=3,可得丁=3,…

又a'-b'l,解得a=2,b=V3,-??

22

xy

故橢圓方程為43=1…

(2)設(shè)M(X.,y1),N(xz,y2),不妨1>0,y2<0,設(shè)△RMN的內(nèi)切圓的徑R,

*_±

則△RMN的