重慶市主城區(qū)2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 答案

高2024屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測（第一次）數(shù)學(xué)試卷（數(shù)學(xué)試題卷共6頁，考試時間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考號填寫在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡指定位置上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則等于（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義求解即得.【詳解】依題意，，則，所以.故選：C2.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，可求出集合，可得出集合的元素個數(shù)，即可得出的真子集個數(shù).【詳解】因?yàn)?，，則，所以，的真子集個數(shù)為.故選：C.3.2023年10月31日，神州十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對航天的熱愛.某校組織高中學(xué)生參加航天知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先，再根據(jù)百分位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法即可.【詳解】由題意得，解得，因?yàn)?，，則，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)位于，則，解得，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中位于成績之間最多，則眾數(shù)為，故選：D.4.英國著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.【詳解】原式，故選：C.5.已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量（單位：小時），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率為（）A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性結(jié)合概率的乘法公式即可.【詳解】由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運(yùn)動總時間為5至6小時概率為,故選：B.6.已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且時，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性則得到不等式，解出即可.詳解】任取，則，而時，，則，，所以在上單調(diào)遞減，，，取，則，令，得，所以為上的奇函數(shù)，，即，則，解得故選：A7.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，且為直角三角形，得，連接，則，即四邊形正方形，，因此點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，于是，所以的取值范圍為.故選：D8.2023年杭州亞運(yùn)會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉樣物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A.50 B.36 C.26 D.14【答案】A【解析】【分析】按照和分組討論安排.【詳解】（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指對互化與運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D.【詳解】由題意得，，，，則，則，對A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故A正確；對B，因?yàn)椋?，則，故B正確；對C，因?yàn)?，根?jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故C錯誤；對D，因?yàn)?，，，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而顯然，則，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則在有兩個不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，求出，由在有2個不同零點(diǎn)的充要條件為，從而作出判斷.【詳解】因?yàn)?，令，則，令，則，注意到，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，且當(dāng)趨近于或時，都趨近于，若在有2個不同零點(diǎn)的充要條件為函數(shù)與圖象在第一象限有2個交點(diǎn)，所以，即有2個零點(diǎn)的充要條件為，若符合題意，則對應(yīng)的取值范圍為的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯誤，BCD正確；故選：BCD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.存在C.不存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓D.當(dāng)?shù)拿娣e為時，直線的傾斜角為或【答案】AD【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理式，將其整體代入即可判斷ACD，求解直線與拋物線相切時的情況即可判斷B.【詳解】對A，由題意得，準(zhǔn)線方程，則，顯然當(dāng)直線的斜率為0，即直線的方程為，此時不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得，，解得或，，，，，則，，則，，，則，A正確；對B，當(dāng)直線與拋物線相切時，最大，則，解得，根據(jù)拋物線對稱性取分析：此時直線方程為，此時直線斜率為1，則，因此不存在，B錯誤；對C，假設(shè)存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓，則，，則，即，,即，即，，滿足或，即存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓，C錯誤；對D，，，此時直線斜率為，則直線的傾斜角為或，故D正確.故選：AD.12.如圖，在邊長為1的正方體中，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線平面B.當(dāng)點(diǎn)移動時，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，平面與平面夾角的正弦值為D.當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時，平面截正方體所得截面面積為【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)平行線確定一個平面即可判斷，對BC建立空間坐標(biāo)系進(jìn)行判斷，對D作出截面圖形，并求出相關(guān)長度，利用面積公式即可求出.【詳解】對A，因?yàn)?，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線平面，故A正確；對B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則設(shè)，，，，則，，，設(shè)平面的方向量為，則，即，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離，顯然不是定值，故B錯誤；對C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，由B知此時，，平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，，則，故C正確；對D，連接，并在上底面內(nèi)將直線沿著的方向平移，直至該直線經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，所以平面截正方體所得的圖形為四邊形，不妨以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在上底面內(nèi)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，則，根據(jù)直線，則，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，解得，則，則點(diǎn)位于線段的四分之一等分點(diǎn)處，且靠近點(diǎn)，點(diǎn)位于線段的四分之一等分點(diǎn)處，且靠近點(diǎn)，則，，，結(jié)合，則四邊形為等腰梯形，則其高為,則，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題BC選項(xiàng)的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離公式和面面角的空間向量求法進(jìn)行計(jì)算判斷，對D選項(xiàng)的關(guān)鍵是作出截面圖形，并求出相關(guān)長度，得出其截面為等腰梯形，最后計(jì)算面積即可.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，則，所以.故答案為：14.已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時，的最大值為________．【答案】【解析】【分析】由圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，可得，所以，，則，則，當(dāng)時，，故.故答案為：.15.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】分析得四邊形為矩形，則得到為正三角形，再利用橢圓定義和離心率定義即可.【詳解】令橢圓的左焦點(diǎn)為，半焦距為，分別連接，，由，得四邊形為矩形，而，則為正三角形，所以，，，則橢圓離心率為，故答案為：.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則________；若數(shù)列滿足，則的最小值是________．【答案】①.②.【解析】【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可求得的表達(dá)式，分析數(shù)列的單調(diào)性，找出數(shù)列所有非正數(shù)項(xiàng)，即可求得的最小值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時，則，解得，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，則，且，所以，，，則，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，則，故數(shù)列從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，的最小值?故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在梯形中，為鈍角，，．（1）求；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.（2）利用（1）的結(jié)論，借助向量數(shù)量積求出的長.【小問1詳解】在梯形中，由為鈍角，得是銳角，在中，，則，由余弦定理得，即為等腰三角形，所以.【小問2詳解】由，得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，得，所以.18.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.【小問1詳解】由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，即，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，經(jīng)檢驗(yàn)，時，滿足，綜上，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，.19.實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某市電動汽車的銷售情況，調(diào)查了該市某電動汽車企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號x123456產(chǎn)值y/百萬輛91830515980（1）若用模型擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）；（2）為了進(jìn)一步了解車主對電動汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購買電動汽車和3位購買燃油汽車的車主中隨機(jī)選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購買電動汽車的車主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超幾何分布可得出隨機(jī)變量的分布列，利用超幾何分布的期望公式可求【小問1詳解】令，，則，，所以，所以【小問2詳解】由題意得，，，，，分布列為：1234數(shù)學(xué)期望20.如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為．（ⅰ）求線段的長；（ⅱ）設(shè)為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，求滿足條件的所有點(diǎn)組成的軌跡的長度．【答案】20.證明見解析；21.（ⅰ）2；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定，再結(jié)合面面垂直的判定推理即得.（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用面面角的向量求法結(jié)合已知求出，再求出并確定軌跡求解即得.【小問1詳解】在四棱錐中，底面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，由，為的中點(diǎn)，得平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】（?。┯桑?）知，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，過作于，由，得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由平面，得平面的一個法向量，依題意，，整理得，而，解得，所以線段的長為2.（ⅱ）顯然平面，而平面，則，又，于是，解得，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的，所以點(diǎn)的軌跡的長度為.21.已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知，請問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），證明見解析.【解析】【分析】（1