湖南省部分名校2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合人='={L2,3},則AB=（）

A"B.{0}C.{1,2,3}D.{。,{1,2,3}}

2.如圖，在正方體ABCQ-A4G0中，￡在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列直線與平面的夾角為定值

的是（）

A.B[CB.BQC.4cD.AC1

3.若需要刻畫(huà)預(yù)報(bào)變量和解釋變量x的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量卬隨著解釋變量x的增

大而減小，并且隨著解釋變量x的增大，預(yù)報(bào)變量卬大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合w和x之間的關(guān)系，應(yīng)

使用以下回歸方程中的e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.w-bx+aB.w--b\nx+aC.w=-by/x+aD.w-h&x+a

4.有一個(gè)沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對(duì)稱(chēng)，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的圓

柱部分，已知沙漏總高度為10cm,圓柱部分高度為2cm,則初始狀態(tài)的沙子高度〃為（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

5.己知a、力都是銳角，且3sin2a+2sin2/?=l,3sin2a-2sin2/7=0,那么a、￡之間的關(guān)系是

（）

A.oc+/3——B.ex—J3=—

C<z+2/?=—D.ct+2y0=—

6.挪威畫(huà)家愛(ài)德華?蒙克于1893年創(chuàng)作的《吶喊》是表現(xiàn)主義繪畫(huà)的代表作品，刻畫(huà)了一個(gè)極其痛苦的表

情.畫(huà)作局部如下圖所示，人像的臉近似為一個(gè)橢圓，下巴近似為一個(gè)圓，圓心。在橢圓的下頂點(diǎn)上，橢圓

與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,橢圓的兩焦點(diǎn)與圓的圓心在同一直線上，記橢圓的中心為Q.連接直線QB,0B,

OQ,經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)與圓。相切，圓的半徑為1cm,BQ=2應(yīng)cm.記該橢圓的離心率為e,［同為不超

過(guò)x的最大整數(shù)，貝的值為（）

A.2B.4C.6D.8

7.正人邊形ABCDEFGH上存在一動(dòng)點(diǎn)P（點(diǎn)p與A,。不重合），已知正八邊形邊長(zhǎng)為2,則

Ad?A尸的最大值為（）

A2+V2B.6+4a

C.6+6夜D.8+6夜

7T

8.設(shè)函數(shù)/(x)=2x-cosx,{%}是公差為一的等差數(shù)列，/(?,)+/(4)+???+/(?,)=5兀則

8

[73)]2一的5=

11

A.0B.-712C.—712D.2

16816

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.投擲一枚均勻的骰子8次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是()

A.第25百分位數(shù)為2,極差為4

B.平均數(shù)為3.5,第75百分位數(shù)為3.5

C.平均數(shù)為3,方差為3

D.眾數(shù)為4,平均數(shù)為4.75

10.已知函數(shù)/(x)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=2*,則()

A.f(x)-g(x)=2-x

B./(x)在定義域(-8,+0。)上單調(diào)遞增

C./(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)21

D.g(x)>1

11.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a<b<-2B.—>1

b

C.ab+a+b+l>0D.aea<beh

12.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接

觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何

體，若用棱長(zhǎng)為4的正四面體A8CO作勒洛四面體，如圖，則下列說(shuō)法正確的是()

A.平面ABC截勒洛四面體所得截面的面積為8無(wú)-8百

4兀

B.記勒洛四面體上以C,。為球心的兩球球面交線為弧AB,則其長(zhǎng)度為彳

C.該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為4-J4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知i為虛數(shù)單位，2i—3是關(guān)于x的方程2尸+/+4=0(P,夕為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，則，+4=

14.平面直角坐標(biāo)系中有線段AB，對(duì)應(yīng)直觀圖上線段是A3'，若|AB|=|A8[,則A8的斜率為

22

15.已知耳，工分別為雙曲線c：土—乙=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)工的直線與雙曲線C的右支交于A,B

26

兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在第一象限).設(shè)點(diǎn)H,G分別為△ME,△他鳥(niǎo)的內(nèi)心，貝的取值范圍是.

_____________22

16.設(shè)a>0,若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)b,函數(shù)丫:4+依+匕圖象與曲線=+與=1都有交點(diǎn)，則〃的最

a~b~

小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長(zhǎng)AB,采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利

9Z7

用激光儀器和反光規(guī)律得到/4CB=NDCB,/ACD為鈍角，AC=5,A￡>=7,sinZADC=—.

7

D

(1)求sin/ACB的值；

(2)若測(cè)得/BDC=/BCD,求待測(cè)徑長(zhǎng)AB.

18.數(shù)列｛叫滿足％=1,含?含……廣=

u21^31Un+]1

(1)求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式：

(2)數(shù)列[(一1)an，中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在，求出相應(yīng)的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；若不存在,

說(shuō)明理由.

19.如圖，四棱錐P—ABC。內(nèi)，平面A8CQ,四邊形ABC。為正方形，AB=2，

BP=26過(guò)P的直線/交平面A3CD于正方形ABC。內(nèi)的點(diǎn)M，且滿足平面2M_L平面.

p

JT3TT

(1)當(dāng)NABMe時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度；

_68_

4

(2)當(dāng)二面角M-R4—8的余弦值為不時(shí)，求二面角P-M4—。的余弦值.

20.一部電視連續(xù)劇共有〃+1(〃210)集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的

觀看計(jì)劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的〃集電視劇隨機(jī)分配在2〃天內(nèi)；每天要么不看，要么

看完完整的一集；每天至多看一集.已知這部電視劇最精彩的部分在第八集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第X

天觀看該集.

(1)求X的分布列；

(2)證明：最有可能在第(2〃-2)天觀看最精彩第〃集.

2

21.已知拋物線C：y=2px,C2：1=20y5>0)相交于點(diǎn)(4,4),G在第一象限內(nèi)一點(diǎn)2處的切線

/交于A8兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)加，。2在處的切線交于點(diǎn)O.

(1)證明：當(dāng)△A8P面積最小時(shí)，尸為A3中點(diǎn)；

(2)過(guò)P作/的垂線交于另一點(diǎn)。，連接MQ交C1于另一點(diǎn)R,當(dāng)，PQR面積最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐

標(biāo).

22.已知函數(shù)/(x)=ln(x+a)+eT—a,/(x)是/*)的導(dǎo)函數(shù).

(1)判斷x=0是否為/(x)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

⑵若1<”2,%為/(x)最小的零點(diǎn)，證明：當(dāng)xe(—a,0)時(shí)，/(x)<f'(毛).

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A=B={1,2,3},則Af?B=()

A"B.{0}C.{1,2,3}D.{0,{1,2,3}}

【答案】A

【解析】

【分析】由子集的定義得出集合A,再由集合的交集運(yùn)算可得答案.

【詳解】解：因?yàn)榧?={川％=8},3={1,2,3},

所以A={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},

所以AB=0,

故選：A.

2.如圖，在正方體中，￡在線段8瓦上運(yùn)動(dòng)，則下列直線與平面ARE的夾角為定值

A.B]CB.8GC.A。D.AC,

【答案】B

【解析】

【分析】由線面平行的判定定理可知8C"/平面所以8C與平面ARE的夾角始終為0。，而

Btc,AC，AG平面的夾角均會(huì)因?yàn)镋點(diǎn)位置的不同而夾角不同.

【詳解】連接BG，因?yàn)锽C,HAD,,

因?yàn)锳。u平面ARE,平面ARE,

所以BCJ/平面AD|E,所以Bq與平面的夾角始終為0。，

而B(niǎo)Q,A,。，AG平面A"E的夾角均會(huì)因?yàn)镋點(diǎn)位置的不同而夾角不同.

3.若需要刻畫(huà)預(yù)報(bào)變量卬和解釋變量x的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量卬隨著解釋變量x的增

大而減小，并且隨著解釋變量x的增大，預(yù)報(bào)變量卬大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合w和x之間的關(guān)系，應(yīng)

使用以下回歸方程中的（人>0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.w-hx+aB.w=-b\nx+aC.w--byfx+aD.w=be~'+a

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)。>0及函數(shù)的單調(diào)性，判斷W隨X增大時(shí)的增減性，再判斷各個(gè)回歸方程是否隨著解釋變量

x的增大趨于一個(gè)確定的值，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閥=X在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且%>0,所以卬隨著X的增大而增大，不合題意，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閥=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b>0,所以W隨著X的增大而減小，當(dāng)解釋變量Xf+8,

墳一—8,不合題意，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)閥=?在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且b>0,所以w隨著x的增大而減小，當(dāng)解釋變量xfy,

wf-co,不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)?gt;=6-'=已尸在定義域內(nèi)單調(diào)遞減且人>0,所以卬隨著x的增大而減小，當(dāng)解釋變量

e

尤—+<?,w-^a,故D錯(cuò)誤；

故選：D.

4.有一個(gè)沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對(duì)稱(chēng)，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的圓

柱部分，已知沙漏總高度為10cm,圓柱部分高度為2cm,則初始狀態(tài)的沙子高度〃為（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)題意求得圓錐高度〃2,再利用體積相等求得初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度〃'，由此得解.

【詳解】如圖，設(shè)初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度為"，沙漏下半部分的圓柱高度為九，圓錐高度為〃”

上、下底面半徑為一

則4=2cm,又沙漏總高度為10cm,則佝=)=3cm,

1

所以！兀產(chǎn)+兀尸J?,=71r2.4，即J_兀廠*3+兀，,〃,=71r2*2,解得〃'=1，

33

所以初始狀態(tài)的沙子高度為為+"=4cm.

故選：C.

5.已知0、夕都是銳角，且3sin2a+2sin2/?=l,3sin2a—2sin2月=0,那么a、￡之間的關(guān)系是

()

77TT

A.a+/3=—B.a-p=-

兀rr

C.a+2￡=iD.oc+2/?=—

【答案】D

【解析】

sin2Z?cosa/一小八…

【分析】推導(dǎo)出一￡=一.一,可得出cos(a+24)=0,求出。+2"的取值范圍，即可得解.

cos2/7sina

【詳解】因?yàn)?sin2a+2sin2￡=l,則3sin2a=l—2sin2〃=cos2/7,

所以，2sin2月=3sin2a=6sinacosa,

因?yàn)閍、夕都是銳角，由題意可得cos2〃=3sin2a>0,

sin2/3_3sinacosa_coscr

所以,

cos2/?3sin2asina

所以，cosacos2尸一sinasin2/?=cos（a+2尸）=0,

TTTT

因?yàn)閍、夕都是銳角，則Ovavg且0<￡<],則0<2￡<萬(wàn),

3^Z"TT

所以，0<a+2￡<j-,因此，a+2/=].

故選：D.

6.挪威畫(huà)家愛(ài)德華?蒙克于1893年創(chuàng)作的《吶喊》是表現(xiàn)主義繪畫(huà)的代表作品，刻畫(huà)了一個(gè)極其痛苦的表

情.畫(huà)作局部如下圖所示，人像的臉近似為一個(gè)橢圓，下巴近似為一個(gè)圓，圓心。在橢圓的下頂點(diǎn)上，橢圓

與圓有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,橢圓的兩焦點(diǎn)與圓的圓心在同一直線上，記橢圓的中心為Q.連接直線QB,0B,

OQ,經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)BQ與圓。相切，圓的半徑為1cm,BQ=2^cm.記該橢圓的離心率為e,[x]為不超

D.8

【答案】B

【解析】

【分析1如圖建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出。、8的坐標(biāo)，設(shè)橢圓方程為3）+￡=1，（。＞匕＞0）,

a2白

將8點(diǎn)坐標(biāo)代入方程求出即可求出離心率，從而得解.

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

連接。B,依題意|0卻=1,忸0|=2近，且N08Q=],

所以=陰2+忸92=3,所以。（o,3）,

設(shè)橢圓方程為（＞-3）+￡=],

>Z?>0),則Q=3,

/+b2

P1x2722加[.—F1f-c.uD\2V21

又4=---=—?所以％="-4=4,所以5-

33JlJ"

,解得戶=一,

17

所以=見(jiàn)工

17

所以離心率e=￡=九僅，所以。=而，則[3]=4.

a17e[e」

故選：B

7.正人邊形ABCDEFGH上存在一動(dòng)點(diǎn)、P（點(diǎn)P與A,C不重合），已知正八邊形邊長(zhǎng)為2,則

AC-AP的最大值為（）

A.2+V2B.6+4及

C.6+6應(yīng)D.8+6夜

【答案】D

【解析】

【分析】由平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可知，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，40AP取得最大值，然后建立

平面直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算即可.

【詳解】AC-AP^\AC\-\AP\cos（AC,AP）,由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，當(dāng)卜4cos〈AC,AP〉最

大，即AP在Ad方向上投影最大時(shí)，AOAP最大，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，AP在AC方向上投

影取得最大.

如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0,0）,C（2+V2,V2）,。（2+及,2+何,

所以AC=（2+血,血），AO=（2+夜,2+夜）.

所以AC”的最大值為ACAO=（2+⑹（2+0）+0（2+⑹=8+60

故選：D

TT

8.設(shè)函數(shù)/(x)=2x-cosx,伍.｝是公差為g的等差數(shù)列，/(%)+/(%)+…+/(%)=5)，則

O

卜3)1-4。5=

1113

A.0B.-712C.-712D.—712

16816

【答案】D

【解析】

【詳解】???數(shù)列｛an｝是公差為三的等差數(shù)列，且〃《)+/3)+…+/3)=5%

8

2(oL+a：+…-%)-(cosa：-cosa2+…+cos%)=5T

?'?(cos^+cosa::osa5)=0,即Xq+a：-…-生)=2,5生=S.T

ZQ'*?丁，?

得出=彳，9=］，％=下

244

［/(%)］~a\a5~-cosaj-aa：=:-----=-----

'1616

［點(diǎn)評(píng)］本題難度較大，綜合性很強(qiáng).突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強(qiáng)知識(shí)

系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí).另外，(cos^+coso:----cosa：)=0.隱蔽性較強(qiáng)，需要考生具備一定的觀察能

力.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.投擲一枚均勻的骰子8次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是()

A.第25百分位數(shù)為2,極差為4

B.平均數(shù)為3.5,第75百分位數(shù)為3.5

C.平均數(shù)為3,方差為3

D.眾數(shù)為4,平均數(shù)為4.75

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A,可采用特值法，對(duì)于B,根據(jù)平均數(shù)和百分位數(shù)，即可判斷，對(duì)于C,可采用特值法，對(duì)于D,

可假設(shè)這8個(gè)數(shù)沒(méi)有6點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)推出矛盾，即可判斷.

【詳解】解：不妨設(shè)14X,<x2<x3<x4<x5<x6<x7<^<6,貝ij

對(duì)于A,這8個(gè)數(shù)可以是1,2,2,2,3,3,4,5,故不一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)槠骄鶖?shù)為3.5,所以玉+工2+曰+/+工5+4+玉+/=3.5x8=28,

又第75百分位數(shù)為3.5,所以4+七=7,所以4=3,匕=4,

所以內(nèi)+々+￡+彳4+毛+4=21，且玉<馬<%Z4/<3,446,

所以玉+X2+X3+X4+X5415,所以看26.所以一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故B正確.

對(duì)于C,這8個(gè)數(shù)可以是1,1,1,3,3,5,5,5,故不一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故C錯(cuò)誤.

-(1+1+1+3+3+5+5+5)=3,

52=1(1-3)2+(1-3)2+(1-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(5-3)2+(5-3)2+(5-3)2-=3

對(duì)于D,因?yàn)槠骄鶖?shù)為4.75,所以玉+々+毛+Z+X5+/+工7+/=475x8=38,

又眾數(shù)為4,假設(shè)這8個(gè)數(shù)沒(méi)有6點(diǎn)，則和最大的情況為4+4+4+4+4+5+5+5=35<38,和題設(shè)矛

盾，故一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6.故D正確.

故選：BD.

10.已知函數(shù)了⑶和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=2,,則()

A.f(x)-gM=2-x

B./")在定義域(F,+O。)上單調(diào)遞增

C.Cx)的導(dǎo)函數(shù)

D.g(x)>1

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得/(尤)=’；，g(x)=J；幺-,結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解，

【詳解】由/。)+8(%)=2、得/(-%)+8(-》)=2*,由于函數(shù)f(x)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以

-7(x)+g(x)=2X,因此/(x)=-L-,g(x)=~J，

對(duì)于A,f(x)—g(x)=-2r,故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,由于函數(shù)y=2?'在(-00,+0。)單調(diào)遞增，)，=2一］在(7,*。)單調(diào)遞減，所以/(力=3］二在

(-8,+oo)單調(diào)遞增，故B正確，

對(duì)于C,廣(力2,2；2,2=(2，+；用2225手1地=歷2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

而ln2<l,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,g(x)「'+2'n"'X2'=］,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以D正確，

v722

故選：BD

11.已知ad<0e"<-e"+"i，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a<b<-2B.—>1

b

c.D.aea<beh

【答案】BC

【解析】

【分析】先將已知不等式變形為5</<-e,然后構(gòu)造函數(shù)〃x)=j,利用導(dǎo)數(shù)研究〃x)的單調(diào)

性，從而得出。，。的大小關(guān)系以及取值范圍，最后利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性對(duì)各選項(xiàng)作出判

斷.

【詳解】由ae“<be°<—得。<0，b<0,=令〃尤)=口，

eee

則/'(x)==,易知/(x)在(e，0)單調(diào)遞增,

e

-1

因?yàn)?(一1)所以可得1,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

由A得巴>1,故B選項(xiàng)正確；

b

因?yàn)閍+l<0,/?+1<0,所以(a+l)S+l)>0,

即。8+a+/?+l>(),故C選項(xiàng)正確；

令g(x)=xe"則g'(x)=e*(x+l),當(dāng)％<-1時(shí)，gr(x)<0,所以g(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，于

是有g(shù)(a)>g(b),即ae">0eJ故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由/<%"<-峻+對(duì)得。<0，b<0,e，進(jìn)而利用

導(dǎo)數(shù)工具得到。，人的大小關(guān)系以及取值范圍.

12.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接

觸.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何

體，若用棱長(zhǎng)為4的正四面體ABCD作勒洛四面體，如圖，則下列說(shuō)法正確的是()

A.平面ABC截勒洛四面體所得截面的面積為8兀-8G

4兀

B.記勒洛四面體上以C,。為球心的兩球球面交線為弧A3,則其長(zhǎng)度為一

3

C.該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4

D.該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為4-

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)于A,平面ABC截勒洛四面體所得截面面積為三個(gè)半徑為4,圓心角為60°的扇形的面積減去

兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形的面積；對(duì)于B,求出弧AB所對(duì)的中心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得結(jié)果進(jìn)行判斷；對(duì)

于C,設(shè)弧AB的中點(diǎn)是〃，線段的中點(diǎn)是N,設(shè)弧CO的中點(diǎn)是“，線段CO的中點(diǎn)是G,則根據(jù)

圖形的對(duì)稱(chēng)性，四點(diǎn)共線，計(jì)算即可判斷；對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切

點(diǎn)，先求出正四面的外接球半徑小則內(nèi)切球半徑為BE—>

【詳解】對(duì)于A,平面ABC截勒洛四面體所得截面如圖甲，它的面積為三個(gè)半徑為4,圓心角為60。的扇

形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形的面積：

EP3x—X—x42-2x^^x42=871-873)故A正確；

234

對(duì)于B,如圖乙，取CO中點(diǎn)G,在一ABG中，AG=BG=26,AB=4,記該勒洛四面體上以C，

。為球心的兩球交線為弧AB，則該弧是以CO的中點(diǎn)G為圓心，以2出為半徑的圓弧，

設(shè)圓心角為NAO8=a,則任上")二可知力士兀，

2x273x27333

4兀

所以弧長(zhǎng)不等于一，故B錯(cuò)誤；

3

對(duì)于C,如圖丙，設(shè)弧AB的中點(diǎn)是M,線段的中點(diǎn)是N,設(shè)弧C。的中點(diǎn)是〃，線段C。的中點(diǎn)

是G,則根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性，四點(diǎn)M,N,G,H共線且過(guò)正四面體A8CD的中心O,則

MG=GA=NH=2&，NG=NAG2-AN2=42可_22=2叵,MN=GH=26-2丘,

MH=4&20，即勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離可能大于4,最大值為4百-2&，故C錯(cuò)

誤;

對(duì)于D,勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切,如圖乙，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體

的一個(gè)切點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知。為該球的球心，內(nèi)半徑為OE,連接BE,易知3OE三點(diǎn)共線，設(shè)正四面

體ABC。的外接球半徑為r,

如圖丁，則由題意得：正四面體A8CO的高，3a=半，

4Q=dAB-BO；=卜一律）=W,

則+4^^）=/，解得：r=>/6>所以5E=4，OB=r=>/6>內(nèi)半徑QE=4-J^，

故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】?jī)汉误w的內(nèi)切球半徑求法點(diǎn)睛：

1.棱錐的內(nèi)切球半徑求法：設(shè)棱錐的體積％S為幾何體的表面積，內(nèi)切球半徑為r,KOr=—；

S

2.根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定球心，再結(jié)合所給已知條件列方程求得內(nèi)切球半徑.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知i為虛數(shù)單位，2i-3是關(guān)于x的方程2/+a+4=0（P,夕為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，則〃+4=

【答案】38

【解析】

【詳解】分析：把2i-3代入方程得2（2i—3）2+p（2i—3）+g=0,再化簡(jiǎn)方程利用復(fù)數(shù)相等的概念得到

P，g的值,即得p+q的值.

詳解：把2i-3代入方程得2（2i—3）2+〃（2i—3）+g=O,

所以2（—4+9—12i）+2pi—3p+夕=0,

所以10-24i+2〃i-3〃+q=0,.?.（2〃-24）i+10-3〃+q=0,

2〃-24二0

所以〈八c，.二P=12應(yīng)=26.所以P+行38.故答案為38.

10-3〃+q=0

點(diǎn)睛：（1）本題主要考查解方程和復(fù)數(shù)相等的根，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算

能力.（2）復(fù)數(shù)相等：a+/?i=c+M（a,〃,c,d￡#）<=>〃=c,b—d,

14.平面直角坐標(biāo)系中有線段AB,對(duì)應(yīng)直觀圖上的線段是A!ff,若|=|,則AB的斜率為

【答案】0或豆1

3

【解析】

【分析】首先根據(jù)直觀圖的作法，分析得斜率為0時(shí)當(dāng)斜率不為0時(shí)，分類(lèi)兩種情況，斜率

大于。和斜率小于0,分別根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)[48|=|49|列出等式，即可求得線段A3的斜率.

【詳解】根據(jù)直觀圖的作法，①當(dāng)線段A8斜率為0時(shí)，線段A8的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，符合題意；

②當(dāng)線段A8斜率大于0時(shí)，作出簡(jiǎn)圖如圖所示，過(guò)點(diǎn)8作8C_Lx軸于點(diǎn)C,設(shè)|AC|=a，忸C|=〃，其

中。>0,方>0,

在Rt△ABC中，|=|+忸?！?/+從，

則線段A3的直觀圖，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作B'D_Lx'軸于點(diǎn)

則ZB'C'D=45。，忸'C[=t，|4C'|=a,

所以|C'D|=|8Z>|=學(xué)，

在R/AB'D中，

|A§T=|AO「+忸=3+?切2+（孝勿2,

因?yàn)閨44=同期，

所以（a+巫b>+（也6）2=/+/，即3/,=也。，

4442

所以線段AB的斜率為2=逑；

③當(dāng)線段的斜率小于0時(shí)，作出簡(jiǎn)圖如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE_Lx軸于點(diǎn)E，設(shè)|AE|=a,忸目=匕，其

中a>0,b>0,

在RtAABE中，|4耳2=|4閔2+忸同2=/+。2,

則線段AB的直觀圖，如圖所示，過(guò)點(diǎn)8'作軸于點(diǎn)F,

則ZB'E'r=45°,忸'E'卜g,|A'￡'|=a,

所以|￡/|=忸陰=乎/?，|Af|=a-乎6，

在RtA'B'F中，|AB'「=|AF「+忸'肝=（a-^~h）2+，

因?yàn)閨A5|=|A'3],

所以（。一立。了+（也加2=/+/，叩一4la=3。，

4424

因?yàn)椤?gt;0,/?>0,

所以—孝。=》不成立，即線段AB的斜率小于0時(shí)不存在|AB|=|AB[；

綜上所述，線段A3的斜率為?；蚰?/p>

3

故答案為：0或速

3

22

15.已知耳，鳥(niǎo)分別為雙曲線C：土一二=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)工的直線與雙曲線。的右支交于A,B

26

兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限）.設(shè)點(diǎn)H,G分別為鳥(niǎo)，ABFIF?的內(nèi)心，則\HG\的取值范圍是

【答案】272,婭、

【解析】

【分析】設(shè)A6，Ag,4鳥(niǎo)上的切點(diǎn)分別為M,N,E,則點(diǎn)，，E的橫坐標(biāo)相等，由切線長(zhǎng)定理得

|AM|=|4V|,閨MT「E|,|取v|=|耳目,由拋物線的定理得出閨目一國(guó)同=加,設(shè)點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為

%,得出%=。，設(shè)直線AB的傾斜角為8,得出|//G|=2J|，分析得60°<9<120°,即可得出|〃G|

的范圍.

【詳解】設(shè)AG，AK，￡6上的切點(diǎn)分別為M,N,E,如圖所示，

則點(diǎn)〃，E的橫坐標(biāo)相等，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得|40|=|4及，忻=|^N|=|耳國(guó)，

因?yàn)閨A61TA月|=2a,即+(|⑷V|+|N瑞|)=2a,

所以|崢卜|叫|=勿,即內(nèi)同一內(nèi)同=2a,

設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為先,則點(diǎn)風(fēng)毛,0),

則％O+C-(C-XO)=2Q,即XO=Q,

設(shè)直線48的傾斜角為6,則NOgG=],NgO=90°—

在△“6G中，

O°

\HG\=(c-?)?tan—+(c-a)-tan(90°--)

nn

=(c-a)[tan—+tan(90°——)]

22

.00

sin—cos—

=(c-af+—1)

=(c—a)=(c-a).-

.esind

sin—cos—

2

22

由雙曲線方程C：——=1得，a=V2,b=>/6,c=2>/2,

則|岡=述

11sin。

因?yàn)辄c(diǎn)A為雙曲線右支上一點(diǎn)，且雙曲線的漸近線的斜率為百或一百，傾斜角為60°或120。,

所以60°<6<120°,

所以迫<sin9<l，則14二一<空，

2sin。3

所以|〃G|

sin夕

［20,竽).

故答案為:

16.設(shè)a>0,若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)匕，函數(shù)丫=丁^+如+匕的圖象與曲線二+與=i都有交點(diǎn),則〃的最

a~b~

小值為.

［答窠］751V17+107

16

【解析】

【分析】設(shè)函數(shù)圖象與曲線的交點(diǎn)為（acos。,加in。），由題設(shè)可得方程〃sin2〃=a2cos2。+片以）56+6

對(duì)任意正實(shí)數(shù)。，在6?G[0,可總有解，轉(zhuǎn)化后可得當(dāng)0<。<1時(shí)，4+4（/—人）。2+4/（/—8）20恒成

立，從而得至但2之一2（。2—6）+26/^在（0』）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可求右側(cè)函數(shù)的最大值，故可求”的

最小值.

【詳解】設(shè)函數(shù)圖象與曲線的交點(diǎn)為（acosaOsin。），其中04。《兀,

故bsin6=V?cos20+a2cos0+b，

整理得到：b1sin2。=。2cos26+Q2cos6+Z?，

即b2-b=^cr+Z?2)cos20+a2cos6=(/+/)

由題設(shè)該方程在兀]有解,

故一常研<b--b<2a2+b2對(duì)任意的正實(shí)數(shù)加恒成立,

而從一人＜2/+〃恒成立’故只考慮一砸?。?一人對(duì)任意的正實(shí)數(shù)加恒成立'

a4

當(dāng)人21時(shí),一人對(duì)任意的a＞（）恒成立;

4(6f2+/?2)

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，-，/,，八＜b2-b對(duì)任意的正實(shí)數(shù)b恒成立可化為：

4（優(yōu)+”）

a4+4（〃-h）a2+4從（從-4）之0,

故Q之之一2（62—力）+lby/1—b或4?4—2（從―/?）-2/?V1—b（無(wú)解,舍）,

設(shè)g（〃）=-伊-b）+thJ\-b,O＜b＜1,

2(1—28)71^+2—3上

則g'(8)=1_20+——

2\Jl-b2Vb^

2(1-2bM工+2-3"

2y/l^h

令g'e)=0,則2(1—2勿71^=3〃-2,

若0＜匕4；,則2(1—2/?”/[^2(),38一2＜(),2(1—2與Ji二=3匕一2無(wú)解;

112O

若b〉^，則勸―2v0即兩邊平方后的4（1一必）2（1-＞）=（36-2）,

化簡(jiǎn)得：卻16。2-230+8）=0,故6=生姮或〃=里土姮，

、,3232

正智時(shí)，々＞|“管誓舍去;

當(dāng)人笥普時(shí),且。＞況〉2一

3232232323

故2（1-2b）GN=38一2在（0,1）僅有一解為b=23.

而當(dāng)0“〈智時(shí)，/㈤＞0,當(dāng)歿叵℃時(shí)，g'?＜。,

故g（。）在0—33^^］上為增函數(shù)，233y,1］上為增函數(shù),

而g@=g(l)=。，

故g(6)在(0,1)上的最大值為g(空匚僅23->/1723-Vn，23-拒、

3232

7

51V17+107

32x16

故/的最小值為2g[益叵上呼普，所以。的最小值為曲叵型L

、32J16x1616

故答案為：5函+107

16

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：二次曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，一般通過(guò)聯(lián)立方程組后再消元，考慮對(duì)應(yīng)的一元二次方程在給

定范圍上的解的情況，也可以結(jié)合二次曲線的參數(shù)方程，將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題來(lái)處理，后者

有時(shí)會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)處理方程的解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長(zhǎng)AB，采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利

9[7

用激光儀器和反光規(guī)律得到NACB=NDCB,/AC。為鈍角，AC=5,AD=7,sinZADC=-

7

D

(1)求sin/ACB的值;

(2)若測(cè)得ZBDC=/BCD,求待測(cè)徑長(zhǎng)AB.

【答案】(1)sinZACB=^-

5

⑵AB=A

【解析】

【分析】(1)由正弦定理結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可；

(2)分別在,AC。，△3QD用余弦定理可求得CD=4,BD=8C=屈，再由兩角差的余弦公式可求

出cosNADB,最后在在△ABO,由余弦定理即可求出答案.

【小問(wèn)1詳解】

ACAD57

---------------------------=------------

在,ACZ)中，由正弦定理可得：sinZADCsinNACO276sinZACD,

r

9/7

則sin/ACD=a,因?yàn)?4CB="CB,因?yàn)镹ACO為鈍角,

5

所以cosZACD=—g,所以cosNACO=1—2sir?NAC8nsinZACB=V15