遼寧省莊河高級中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一年級上冊期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

1.若/（X）和/（X+1）都是定義在R上的奇函數(shù)，則/（2021）+/（2022）=（）

A.OB.1

C.2D.3

2.若點（8,3口。）在函數(shù)丁=1082%的圖像上，貝U現(xiàn)言=

cos0

A.8B.6

C.4D.2

3.sin啊的值等于（）

3

A1"

A.——B.------

22

C.--D.-立

22

4.若函數(shù)/6）=1。82。+1）的定義域是[0,1],則函數(shù)f（x）值域為（）

A.[0,1]B.（0,1）

C.（-co,l]D.[l,+oo）

5.若函數(shù)y=/（x）的定義域為R,則y=/（x）為偶函數(shù)的一個充要條件是（）

A.對任意尤eR,都有/（x）=0成立；

B.函數(shù)y=/（x）的圖像關(guān)于原點成中心對稱；

C.存在某個使得/?（一為）―/（面）=0；

D.對任意給定的xwR,都有/（t）一/（￡）=（）.

6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-11）上是增函數(shù)的是（）

I.

A.y=-B.y=tanx

X

C.y=-sinxD.y=cosx

7.已知命題“X/xeH,f+以+i>。，，是假命題，則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.（-oo,-2]B.[2,+OO）

C.[-2,2]D.（-<x>,-2]U[2,+a>）

8.設(shè)。為全集，43是集合，貝心存在集合。使得daciuqc是“zn3=0”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.滿足sina>]的角的集合為（）

2

jl

A.<aa>2kjr+—keZ>B.<aa>2k兀+一，攵￡Z>

96

712〃,_7i..57r,~

CAa2k/r+—<a<2k7iH---,kD.<。2k"——<a<2K7TH------GZ

3366

10.已知2/+2〃=。2,則直線ax+by+c=0與圓x2+y2=4的位置關(guān)系是

A.相交但不過圓心B.相交且過圓心

C.相切D.相離

二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）

11.已知/（x）=2sin（2x+g,若也，和小。3,兀手，使得/（%）=/（々）=/（W），若X+9+￡的最大值為M,

最小值為N,則A/+N=.

12.圓的半徑是y，弧度數(shù)為3的圓心角所對扇形的面積等于

13.經(jīng)過點P（3,-l）,且在x軸上的截距等于在軸上的截距的2倍的直線/的方程是

2

14.已知扇形的圓心角為一力,扇形的面積為3萬，則該扇形的弧長為.

3

15.設(shè)常數(shù)。使方程sinx+百cosx=a在閉區(qū)間[0,2句上恰有三個不同的解罰,々，芻，則實數(shù)"的取值集合為

三、解答題（本大題共6小題?解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位凈化劑，空氣中釋放的濃度》（單

-------1,0<x<3

位：毫克/立方米)隨著時間單位：小時)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y9-2V?若多次噴灑，則某

16-2'T,3<X<7

一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不

低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用

(D若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達幾小時？(結(jié)果精確到(U,參考數(shù)據(jù)：館2弓0.3,lgl5ai17)

(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后再噴灑2個單位的凈化劑，設(shè)第二次噴灑，小時后空氣中凈化劑濃度

為g(f)(毫克/立方米)，其中0<，W3

①求g⑺的表達式；

②求第二次噴灑后的3小時內(nèi)空氣中凈化劑濃度的最小值

17.已知向量日,5滿足同=0,網(wǎng)=1.

⑴若圓5的夾角e為f,求忖+砧

411

⑵若k+5)J_5,求值與5的夾角夕

18.已知函數(shù)/(同=-X2+(加一2)x+2—m，xeR.

(1)若函數(shù))=|/(x)|在［-1,0］上是減函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)是否存在整數(shù)。也使得的解集恰好是［。,口，若存在，求出。力的值；若不存在，說明理由.

19.已函數(shù)“、.

f(x)=sinxcosx+-cos2x

(1)求八X)的最小正周期；

(2)求人x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

20.已知向量G=(cos。一2sin8,2),b=(sin0,1)

(1)若￡/后，求tan26?的值；

⑵若f⑻=0+斗B,0e0,^,求/⑻的值域

21.判斷并證明了(x)=言^在(0,+8)的單調(diào)性.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.)

1、A

【解析】根據(jù)題意可知/(x)是周期為2的周期函數(shù)，以及/(())=(),/(1)=0,由此即可求出結(jié)果.

【詳解】因為和〃x+l)都是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(x+1)=-/(-x-1),/(x+1)=-/(-x+1),

所以/(-x-l)=/(-x+l),所以/(尤)=/(x+2),

所以“X)是周期為2周期函數(shù)，

所以/(2()21)+/(2()22)=/(1010x2+l)+/(1011x2+0)=/(l)+/(0)

因為是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=(),

又/(x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/■(x+l)=-/(—x+1),所以/。)=一/(1),即/(1)=0,

所以〃2021)+“2022)=/⑴+/(())=0.

故選：A.

2、B

【解析】由已知利用對數(shù)的運算可得tan。，再利用倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用化簡即可求值

【詳解】解：?/點(8,tan0)在函數(shù)y=log2”的圖象上，tan0=log28,

???解得：tan。=3,

sirilO_IsinOcosd

cos20cos~0

故選B

【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，屬于基礎(chǔ)題

3、D

【解析】利用誘導(dǎo)公式可求得sin—的值.

【詳解】5山等=疝6〃+。〉一劍《二一￡

故選：D

4、A

【解析】根據(jù)/(X)的單調(diào)性求得正確答案.

［詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知/(x)在［0,1］上遞增，

0<x<l,l<x+l<2,log2l<log2(^+l)<log22,

即/

故選：A

5、D

【解析】利用偶函數(shù)的定義進行判斷即可

【詳解】對于A,對任意xeR,都有/(x)=0成立，可得f(x)為偶函數(shù)且.f(x)為奇函數(shù)，而當f(x)為偶函數(shù)時，

不一定有對任意xeR,/(x)=0,所以A錯誤，

對于B,當函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，可知/(一幻=一/(為，函數(shù)〃幻為奇函數(shù)，所以B錯誤，

對于CD,由偶函數(shù)的定義可知，對于任意xeR,都有f(—x)=/(x),即/(一%)一/(%)=0,所以當/(幻為偶函

數(shù)時，任意xwR,/(-x)-/(x)=0,反之，當任意xwR,f(-x)-f(x)=0,則/⑴為偶函數(shù)，所以C錯

誤，D正確，

故選：D

6、B

【解析】先由函數(shù)定義域，排除A；再由函數(shù)奇偶性排除D,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出B正確，C錯誤.

【詳解】A選項，y=:的定義域為(F,())U((),+?),故A不滿足題意；

D選項，余弦函數(shù).丫=85%偶函數(shù)，故D不滿足題意；

B選項，正切函數(shù))，=1211》是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間是增函數(shù)，即B正確；

C選項，正弦函數(shù)'二點門》是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間(-1』)是增函數(shù)；因此y=-sinx是奇

函數(shù)，且在(-11)上單調(diào)遞減，故C不滿足題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可，屬于基礎(chǔ)題型.

7、D

【解析】由題意可知，命題“大€氏，/+以+1<0，，是真命題，再利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可

求出結(jié)果.

【詳解】由于命題“VxeR,j?+依+1>0”是假命題，

所以命題“HxeR,x?+狽+140”是真命題；

所以八=。2一420，解得ae(-oo,-2]U[2,+oo).

故選：D.

【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎(chǔ)題

8、C

【解析】①當BqCyC,且3nc=0，則zn3=0，反之當ZnB=0,必有dqCluG7c.

②當z=c,Baqc,且anc=0，則zn5=0,反之，若zn3=0,則znc=0，

B=CJJC,所以

③當幺=5=0，則ZPIB=0；反之，zn3=0，4=C,B=C0c.

綜上所述，“存在集合。使得z=C,5uqc是“zPIB=0”的充要條件.

考點：集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件判斷，容易題.

9、D

【解析】利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.

1JI51

【詳解】sina>—2%〃+—<。<2攵萬+——,keZ\.

2I66J

故選：D.

10、A

【解析】，：25+2—

."+62=

2

r

二圓心(0,0)到直線ax+研c=0的距離d=-廣Id！-=V2<2,

yja2+b2

直線ax+6y+c=0與圓/+/=4相交，

又,??點(0,0)不在直線"+刀+c=0上，故選A

點睛：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用4判斷

(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交

上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

237r

11、——

6

3兀

【解析】作出“X)在0,y上的圖象，玉,彳2，七為f(x)的圖象與直線產(chǎn)m交點的橫坐標，

利用數(shù)形結(jié)合思想即可求得M和N.

因為/(O)=2sin]=6,/(y)=2sin(7i+^)=,

所以當/(x)的圖象與直線y=6相交時，由函數(shù)圖象可得,

設(shè)前三個交點橫坐標依次為々、巧、x3,此時和最小為N,

由2sin(2x+=)=6,得sin(2x+巴)=走,

332

.71、，7兀

則玉=0,x,&=兀，N=――；

2~66

當/(X)的圖象與直線y=-V3相交時，

設(shè)三個交點橫坐標依次為/、巧、與，此時和最大為M，

由2sin(2x+；)=—,得sin(2x+3=—^^，

332

77i3兀-8兀

則x.+x=-—9元3=—9M=—;

2623

23K

所以M+N=*^.

6

23兀

故答案為：

6

12'1

【解析】根據(jù)扇形的面積公式S=-1aR,2,計算即可.

2

11,3

【詳解】由扇形面積公式知，S=-x3x(-)2^^.

228

【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于容易題.

13^x+2y-l=0或3y+元=0

【解析】設(shè)所求直線方程為三+；=1或丁=束，將點P(3,-l)代入上式可得x+2y-l=0或3y+x=0.

2bb

考點：直線方程

14、2"

【解析】

利用扇形的面積求出扇形的半徑廣，再帶入弧長計算公式即可得出結(jié)果.

2

【詳解】解：由于扇形的圓心角為。乃，扇形的面積為3萬，

則扇形的面積5=三。|戶=，與x/=3萬，解得：r=3,

O-rr

此扇形所含的弧長/=|小=?，3=2萬.

故答案為：2%.

15、①.｛碼②子

【解析】利用輔助角公式可將問題轉(zhuǎn)化為在［0,2句上直線y=a與三角函數(shù)y=2sin［x+圖象的恰有三個交點,

利用數(shù)形結(jié)合可確定。的取值；由。的取值可求得x的取值集合，從而確定玉,々,工的值，進而得到結(jié)果.

【詳解】：sinx+6cosx=2sinx+乎cosx)=2sin［=a,

???方程的解即為在［0,2句上直線y=。與三角函數(shù)y=2sin(x+3］圖象的交點，

由圖象可知：當且僅當a=0時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點,

即實數(shù)"的取值集合為｛G卜

=~^~9+?=+wZ)或x=2Z萬+g(&GZ),

/.sinx+—

I3

即工=2kn(k￡Z)或x=2k乃+?(keZ),

“ft八冗c八乃c77r

此時%)=0,x9=—,七=2兀，/.玉+%+W=°+1+2乃=-3-

故答案為：{K};—y.

【點睛】思路點睛：本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的方程根的個數(shù)問題，解決方程根的個數(shù)的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為兩

函數(shù)交點個數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

32,+|

16、(1)6.9,(2)①g(f)=——7-2+30(0</<3),②28毫克/立方米

9—2

[64

---4,0<x<3

【解析】(1)根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度/(x)=4y=9-2，,分類討論解

4(16-2'-3),3<x<7

出/(x)24即可

3?32

(2)①由題意可得g(f)=瓦萬?一2川+30(0<r<3),②由于g⑺可化為后；+2(9-2')+12,然后利用基本

不等式可求出其最小值

[64

———4,04x43

【詳解】解：(1)根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度/(x)=4y=彳9-2'',

4(16-2巧，3<x<7

64

則當0WxW3時，由——--4>4,得x20,所以0Wx?3,

9一2、

當3<xW7時，由4(16-2"3)24,得243?15,(x-3)lg2<lgl5,得x46.9,所以3<xW6.9,

綜上，0<x<6.9,

所以一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達6.9小時，

(2)①由題意可知，第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后的濃度為

2x^y-1=30(毫克/立方米)，

所以第二次噴灑r小時后空氣中凈化劑濃度為

g(f)=——--2+2[16-2,,+3)-I*3]4=——--2,+|+30(0<Y3),

69-2'9-2'

32

@^(/)=^-y-2,+l+30(0<f<3),

=----+18-2,+|+12

9-2'

32

=----+2(9—2')+12

9-2,

I

32,32

>2J^7X2(9-2)+12=28,當且僅當壬7=2(9-2'),即/=2.3時取等號，

所以第二次噴灑2.3小時時空氣中凈化劑濃度達到最小值28毫克/立方米

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用、分段函數(shù)的意義和性質(zhì)、基本不等式、分類討論的思想，考查分

3232

析問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，求出+—-(0</<3),

9—29—2

然后利用基本不等式求出其最小值，屬于較難題

L371

17、(1)V5(2)—

4

【解析】(1)利用公式1+q=jc+&2即可求得;

(2)利用向量垂直的等價條件0+&，B=儲+&?B=0以及夾角公式cos9=自■力

即可求解.

71rrV2

【詳解】解：(1)由已知，^a?b=\a\?\b\cos—=vZx1x---=1,

42

所以,+同=(白+5)=區(qū)(+網(wǎng)+2萬?方

=2+1+2=5，

所以卜+1=J5.

(2)因為伍+5)_L5,所以他+5>5=0.

所以4?方+方2=o,

即4?5=—b2=—1，

-a9b-1>/2

所以8?麗=丁一『

又8e［0,可，

所以。=蘭37r，即汗與5的夾角為3一7r.

44

【點睛】主要考查向量模、夾角的求解，數(shù)量積的計算以及向量垂直的等價條件的運用.屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)(-oo,01u［2,+oo)

(2)答案見解析

【解析】(1)討論△W0和A>0時實數(shù)〃?的取值范圍，再結(jié)合m的范圍與函數(shù)的對稱軸討論使得y=|/(x)|在［-1,0］

上是減函數(shù)的范圍即可；

(2)假設(shè)存在整數(shù)。力，使得的解集恰好是［名句.則(竺/)《人，由

/(a)=/(8)=a,解出整數(shù)再代入不等式檢驗即可

小問1詳解】

解：令/'(尤)=0,則A=(，〃一2)一—4(加—2)=(m—2)(加一6).

當AV0,即時，/(x)=-x2+(加-2)%+2—加4()恒成立，

所以|/(x)|=x2-(m-2)x+m-2.

因為丁=在［-1,0］上是減函數(shù)，

m—2

所以「^20,解得機20,

所以2?〃246.

由A>0,解得，n<2或m>6.

當相>6時，y=|/(x)|的圖象對稱軸》='『>2,且方程/(x)=0的兩根均為正，

此時>=|/(刈在［—1,0］為減函數(shù)，所以m>6符合條件.

當機<2時，y=|/(x)|的圖象對稱軸x=與一<0,且方程/(x)=0的根為一正一負，

要使y=|/(x)|在［一1，0］單調(diào)遞減，則竺了4一1,解得m<0.

綜上可知，實數(shù)機的取值范圍為(—,0］D［2,+8)

【小問2詳解】

解：假設(shè)存在整數(shù)a、b,使a</(x)W人的解集恰好是［。,可，則

①若函數(shù)y=/(x)在&可上單調(diào)遞增，則/(a)=a,〃6)=方且與2人,

—ci~+(機-2)a+2—m=a,

0-b2+^m-2)b+2-m=b,

作差得到根—2=a+〃+1,代回得到：ah-a-b=\,即(a—1)(匕―1)=2,由于a、。均為整數(shù),

故。=一1,b=0,機=2或a=2,5=3,m=8,經(jīng)檢驗均不滿足要求；

②若函數(shù)y=.f(x)在［。,力］上單調(diào)遞減，則且一］—4。，

-a2+(m-2)a+2-m=b,

-b2+(加一2)8+2一m=a,

作差得到m一2=Q+6+1,代回得到：ab-2a-2b=-l9即(。-2)?！?)=3,由于外匕均為整數(shù),

故。二一1,b=l,加=1或。=3,b=59m=99經(jīng)檢驗均不滿足要求；

③若函數(shù)y二八可在心封上不單調(diào)，則/(‘萬？卜〃，/⑷=f(b)=a且",

—ci~+（加-2）a+2—m=。，

作差得到加一2=a+'代回得到：訪一2。一人=0,即(。一1)(6—2)=2,由于以h

-b2+（，〃-2）8+2-/〃=〃,

均為整數(shù),

故。=2,b=4,/?2=8或〃=一1,b=l,m=2,經(jīng)檢驗均滿足要求;

Q=T,a=2,

綜上，符合要求的整數(shù)外匕是b=l,或，b=4,

m=2,m=8,

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一問解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)判別式求出"?的取值范圍，再結(jié)合范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)討

論求解；第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)在［a,句上單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、不單調(diào)三種

情況求解即可.

19、⑴〃；⑵［kz』.k…卻k"

【解析】(1)首先利用三角恒等變換化簡函數(shù)一、)=sin(2x+