2024年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試文科數(shù)學(xué)(一)工程科技

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2023廣州市一模文科數(shù)學(xué)

2023年廣州市一般高中畢業(yè)班綜合測試（一）

數(shù)學(xué)（文科）

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的．1

．函數(shù)y

D．1,

A．,1B．,1C．1,

2．已知復(fù)數(shù)abii1i（其中a,bR，i是虛數(shù)單位），則ab的值為

A．2B．1C．03．假如函數(shù)fxsinx

D．2

的最小正周期為，則的值為026

A．1B．2C．4D．8

4．在△ABC中，ABC60，AB2，BC3，在BC上任取一點D，使△ABD為鈍角三角形的

概率為A．

1112B．C．D．6323

5．如圖1是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積為．．．

A

B

．C．8D．12

正(主)視圖

側(cè)(左)視圖

xy2≥0,

6．在平面直角坐標系中，若不等式組xy2≥0,表示的

x≤t

俯視圖

圖1

平面區(qū)域的面積為4，則實數(shù)t的值為

A．1B．2C．3D．47．已知冪函數(shù)ym5m7x

2

m26

在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的值為

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A．3B．2C．2或3D．2或3

8．已知兩個非零向量a與b，定義ababsin，其中為a與b的夾角．若a=3,4，b=0,2，

則ab的值為

A．8B．6C．6D．89．已知函數(shù)fx2x1，對于任意正數(shù)a，x1x2a是fx1fx2a成立的

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

10．已知圓O：x2y2r2，點Pa，b（ab0）是圓O內(nèi)一點，過點P的圓O的最短弦所在的直

線為l1，直線l2的方程為axbyr20，那么

A．l1∥l2，且l2與圓O相離B．l1l2，且l2與圓O相切C．l1∥l2，且l2與圓O相交D．l1l2，且l2與圓O相離

二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．（一）必做題（11～13題）

2

11．若函數(shù)fxlnxax1是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為．

12．已知集合Ax≤x≤3，Bxa≤x≤a3，若AB，則實數(shù)a的取值范圍為．

13．兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上討論數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小

石子來表示數(shù)，根據(jù)點或小石子能排列的外形對數(shù)進行分類，如圖2中的實心點個數(shù)1，5，12，22，，

被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作a11，第2個五角形數(shù)記作a25，第3個五角形數(shù)記作第4個五角形數(shù)記作a422，，若按此規(guī)律連續(xù)下去，則a5若an145，則n．

a312，

221512

圖2

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）

14．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓O的半徑為5cm，點P是弦AB的中點，

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CP1

，則CD的長為cm．CD3

15．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系中，已知直線l與曲線C的

OP3cm，弦CD過點P，且

參數(shù)方程分別為l：

xt2,x1s,

（s為參數(shù)）和C：（t為參數(shù)），2

yty1s

若l與C相交于A、B兩點，則AB．

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)tan3x

．4

f2，求cos2的值．34

（1）求f

的值；（2）若9

17．（本小題滿分12分）

某校從高一班級同學(xué)中隨機抽取40名同學(xué)，將他們的期中考

試數(shù)學(xué)成果（滿分100分，成果均為不低于40分的整數(shù)）分

成六段：40,50，50,60，，90,100后得到如圖4的

頻率分布直方圖．

（1）求圖中實數(shù)a的值；

（2）若該校高一班級共有同學(xué)640人，試估量該校高一班級期中考試數(shù)學(xué)成果不低于60分的人數(shù)；（3）若從數(shù)學(xué)成果在40,50與90,100兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果之差

的肯定值不大于10的概率．

18．（本小題滿分14分）

圖4

如圖5所示，在三棱錐PABC中，ABBC平面PAC平面ABC，PDAC于點D，

AD1，CD3，PD2．

（1）求三棱錐PABC的體積；（2）證明△PBC為直角三角形．

19．（本小題滿分14分）

A

D圖5

已知等差數(shù)列an的公差d0，它的前n項和為Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比數(shù)列．

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（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列

113

≤T的前項和為，求證：．Tnnn

68Sn

20．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f(x)x3ax2ba,bR．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若對任意a3,4，函數(shù)f(x)在R上都有三個零點，求實數(shù)b的取值范圍．21．（本小題滿分14分）

y2

1的左、右兩個頂點分別為A、B．曲線C是以A、B兩點為頂點，

已知橢圓x4

2

的雙曲線．設(shè)點P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T．（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)點P、T的橫坐標分別為x1、x2，證明：x1x21；

uuruur

（3）設(shè)TAB與POB（其中O為坐標原點）的面積分別為S1與S2，且PAgPB≤15，求S12S22

的取值范圍．

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數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評分標準

說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要學(xué)問和力量，并給出了一種或幾種解法供參考，

假如考生的解法與參考答案不同，可依據(jù)試題主要考查的學(xué)問點和力量對比評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．

2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步消失錯誤時，假如后繼部分的解答未轉(zhuǎn)變該題的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度打算后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；假如后繼部分的解答有較嚴峻的錯誤，就不再給分．

3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．

4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題考查基本學(xué)問和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

二、填空題：本大題考查基本學(xué)問和基本運算，體現(xiàn)選擇性．共5小題，每小題5分，滿分20分．其中

14~15題是選做題，考生只能選做一題．第13題僅填對1個，則給3分．

11．012．0,113．35，1014

．

15

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查兩角和的正切、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦等學(xué)問，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解力量）（1）解：f

tan1分

349

tan3分

1tantan

34

tan

24分

3

tan5分

4434

（2）解法1：由于f

tan6分

tan2．7分

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所以

sin

2，即sin2cos．①cos

2

2

由于sincos1，②由①、②解得cos

22

1

．9分5

所以cos22cos111分

13

21．12分

55

解法2：由于f

3

tan5分

4434

tan6分

tan2．7分

所以cos2cossin9分

2

2

cos2sin2

10分22

cossin1tan2

11分2

1tan

143

．12分145

17．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查頻率、頻數(shù)、統(tǒng)計和概率等學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解力量）

（1）解：由于圖中全部小矩形的面積之和等于1，

所以10(0.0050.010.02a0.0250.01)1．1分解得a0.03．2分（2）解：依據(jù)頻率分布直方圖，成果不低于60分的頻率為110(0.0050.01)0.85．3分

由于該校高一班級共有同學(xué)640人，利用樣本估量總體的思想，可估量該校高一班級數(shù)學(xué)成果不低于60分的人數(shù)約為6400.85544人．5分（3）解：成果在40,50分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為400.052人，分別記為A，B．6分

成果在90,100分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為400.14人，分別記為C，D，E，F(xiàn)．7分若從數(shù)學(xué)成果在40,50與90,100兩個分數(shù)段內(nèi)的同學(xué)中隨機選取兩名同學(xué)，則全部的基本領(lǐng)件有：A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，B,C，B,D，B,E，B,F，C,D，

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C,E，C,F，D,E，D,F，E,F共15種．9分

假如兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果都在40,50分數(shù)段內(nèi)或都在90,100分數(shù)段內(nèi)，那么這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值肯定不大于10.假如一個成果在40,50分數(shù)段內(nèi)，另一個成果在90,100分數(shù)段內(nèi)，那么這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值肯定大于10．

記“這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果之差的肯定值不大于10”為大事M，則大事M包含的基本領(lǐng)件有：

A,B，C,D，C,E，C,F，D,E，D,F，E,F共7種．11分

所以所求概率為PM

7

．12分15

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象力量、推理論證力量和運算求解力量）（1）證明：由于平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，PDAC，

所以PD平面ABC．2分

記AC邊上的中點為E，在△ABC中，由于ABBC，所以BEAC．

由于ABBCAC4，

所以

BE

4分

所以△ABC

的面積SABC由于PD2，

1

ACBE．5分2

11

SABCPD27分33所以三棱錐PABC的體積VPABC

（2）證法1：由于PDAC，所以△PCD為直角三角形．

由于PD2，CD3，

所以PCP

9分

連接BD，在Rt△BDE中，

o

由于BED

90，BE，DE1，

所以

BD

A

E

10分

由（1）知PD平面ABC，又BD平面ABC，所以PDBD．

在Rt△PBD中，由于PDB90，PD

2，BD，

所以

PB

o

12分

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在

PBC中，由于BC

PB

2

2

2

PC，

所以BCPBPC．13分所以PBC為直角三角形．14分

o

證法2：連接BD，在Rt△BDE中，由于BED90，BE，DE1，

所以

BD

8分

P

在△BCD中，CD

3，BC

BD，

222

所以BCBDCD，所以BCBD．10分

由（1）知PD平面ABC，由于BC平面ABC，所以BCPD．由于BDPDD，

A

E

所以BC平面PBD．12分由于PB平面PBD，所以BCPB．

所以PBC為直角三角形．14分19．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、裂項求和等學(xué)問，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括力量、運算求解力量和創(chuàng)新意識）（1）解：由于數(shù)列an是等差數(shù)列，

所以ana1n1d，Snna1

nn1

d．1分2

S570,5a110d70,

依題意，有2即3分2

a7a2a22.a16da1da121d.

解得a16，d4．5分所以數(shù)列an的通項公式為an4n2（nN）．6分

*

（2）證明：由（1）可得Sn2n24n．7分

所以

1111112．8分Sn2n4n2nn24nn2

11111LS1S2S3Sn1Sn

所以Tn

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111114342111

443151

n4

1

n1

1111

9分

1n4n2

1111

142n1n238

111

．10分

4n1n2

由于Tn

33111

T，所以．11分0n884n1n2

由于Tn1Tn所以TnT1

111

0，所以數(shù)列Tn是遞增數(shù)列．12分

4n1n3

1

．13分6

13

所以Tn．14分

68

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點、不等式等學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與爭論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解力量）

（1）解：由于f(x)xaxb，所以f(x)3x2ax3xx

3

2

2

2a

．1分3

當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)沒有單調(diào)遞增區(qū)間；2分當a0時，令f(x)0，得0x故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,當a0時，令f(x)0，得

2a．3

2

a；3分32a

x0．3

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2

a,0．4分3

綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)沒有單調(diào)遞增區(qū)間；

當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,

2a；3

當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2

a,0．5分3

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（2）解：，由（1）知，a3,4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,

22

單調(diào)遞減區(qū)間為,0和a,．a(chǎn)，33

6分

所以函數(shù)f(x)在x0處取得微小值f0b，7分

2a

函數(shù)f(x)在x處取得極大值

3

2a4afb．8分

327

3

由于對任意a3,4，函數(shù)f(x)在R上都有三個零點，

f

所以

f

00,

b0,3即10分4a2a0.b0.

273

4a3

b0．11分解得27

4a34a3433

由于對任意a3,4，b恒成立，所以b4．13分

272727max

所以實數(shù)b的取值范圍是4,0．14分

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證力量和運算求解力量）

（1）解：依題意可得A(1,0)，B(1,0)．1分

y2

設(shè)雙曲線C的方程為x21b0，

b

2

b2．

1

y2

1．所以雙曲線C的方程為x3分4

2

（2）證法1：設(shè)點P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi0，yi0，i1,2），直線AP的斜率為k（k0），

則直線AP的方程為yk(x1)，4分

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ykx1,

聯(lián)立方程組5分y22

1.x

4

2222

整理，得4kx2kxk40，

4k24k2

解得x1或x．所以x2．6分22

4k4k4k2

同理可得，x1．7分

4k2

所以x1x21．8分

證法2：設(shè)點P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi0，yi0，i1,2），則kAP

y1y2

，kAT．4分x11x21y12y22y1y2

，即．5分kAT，所以22

x11x21x11x21

2

1

由于kAP

y12y222

1，x21．由于點P和點T分別在雙曲線和橢圓上，所以x44

2222

即y14x11，y241x2．6分

所以

4x121

x11

2

41x22

x21

2

，即

x111x2

．7分

x11x21

所以x1x21．8分證法3：設(shè)點P(x1,y1)，直線AP的方程為y

y1

(x1)，4分x11

y1yx1,x11

聯(lián)立方程組5分

2

x2y1.4

222222

4(x1)yx2yxy4(x1)0，