《數(shù)值分析》課程設(shè)計任務(wù)書

數(shù)值分析課程設(shè)計任務(wù)書目的任務(wù)(1)使學(xué)生鞏固和加強《數(shù)值分析》課程的理論知識。通過對實際問題的分析，算法的實現(xiàn)以及結(jié)果的分析，加深已學(xué)理論知識更為直觀的理解。（2）理解和掌握Matlab編程語言思想和方法，并熟悉常見算法的實現(xiàn)。同時掌握調(diào)試程序的基本方法和上機操作方法。（3）掌握書寫設(shè)計開發(fā)文檔的能力，使學(xué)生學(xué)會撰寫總結(jié)報告。（4）通過查閱文獻資料，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題和解決問題的能力。（5）培養(yǎng)良好的程序設(shè)計風(fēng)格。在實際編程中，為了提高編程質(zhì)量，對空行，空格和注釋均有要求，在設(shè)計編寫代碼時，應(yīng)該嚴格按照要求，養(yǎng)成良好的習(xí)慣。設(shè)計內(nèi)容【設(shè)計題一】（驗證矩陣的病態(tài)問題）自己設(shè)計一個方案驗證希爾伯特矩陣的病態(tài)【設(shè)計題二】（線性方程組直接法的比較）對下列方程的用不選主元Guass消去法，列主元Guass消去法和LU分解方法求解將這些方法進行比較，談?wù)剬@些方法的看法。（方程的維數(shù)n從120到130）【設(shè)計題三】（線性方程組迭代法的比較）選用Jacobi方法，G-S方法和SOR方法求解下面線性方程組（考慮n=100）考慮初值的變化和松弛因子的選擇對收斂性的影響。并比較將上述方法的計算結(jié)果進行比較，說明此方程什么方法最合適。【設(shè)計題四】（非線性方程求根的算法設(shè)計與比較）1225年，達.芬奇研究了方程并得到它的一個近似根，。沒有人知道他用什么方法得到它。要求：（1）用自己設(shè)計的一種線性收斂的不動點迭代法求上述方程的根，然后用斯蒂芬森加速法計算。（2）試分別用二分法,牛頓迭代法求解上述方程。并且對牛頓迭代法采用不同初值，分析方法對初值的依賴性。（3）根據(jù)實驗結(jié)果分析比較上述方法【設(shè)計題五】（多項式插值的振蕩現(xiàn)象）定義在[-5,5]區(qū)間上的函數(shù)要求：（1）選取節(jié)點，考慮用一個n次多項式去逼近。增大n(n=2,4,6,8….),畫出原函數(shù)以及的圖像，比較并分析實驗結(jié)果，說明什么問題？（2）如果選取節(jié)點，重復(fù)上述過程，結(jié)果如何？（3）若出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，如何解決？【設(shè)計題六】（曲線擬合的最小二乘法及其應(yīng)用）某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的含碳量y與時間t的關(guān)系t(分)0510152025303540455055y（)01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64要求：（1）試分別用插值方法和形如的曲線進行擬合，將結(jié)果進行比較，理解各自方法的特點及適用范圍。（2）如果曲線擬合中采用指數(shù)形式或雙曲形式，繪出擬合曲線圖形，并進行比較，說明優(yōu)劣?！驹O(shè)計題七】（函數(shù)的最佳平方逼近多項式）對于函數(shù),構(gòu)造其最佳平方逼近多項式（1）若采用基函數(shù)，得到其一次最佳平方逼近多項式，二次最佳平方多項式......，隨著多項式次數(shù)增大，發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？（2）若采用Legendre正交多項式作為基函數(shù)，重復(fù)上述過程有何發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計題八】（數(shù)值積分方法的比較）數(shù)學(xué)上可以證明，試通過計算上述積分得到的近似值。要求：（1）分別用復(fù)合梯形公式，Romberg算法，Guass-Legendre公式計算上述積分，使得精度達到（2）通過此實驗，說明各種算法的優(yōu)缺點?！驹O(shè)計題九】（數(shù)值積分公式的應(yīng)用）在概率論中經(jīng)常需要計算正態(tài)密度函數(shù)的積分，通過我們學(xué)過的數(shù)值積分公式建立一個正態(tài)密度函數(shù)的概率表，使得精度達到六位有效數(shù)字。（概率表可參考概率統(tǒng)計教材）【設(shè)計題十】（常微分方程數(shù)值方法的比較）給定單擺方程初值問題其中g(shù)=9.8,l=25.其精確解為要求：取初始偏離角度取初始偏離角度分別對上述兩種情況按照下列方法求出其數(shù)值解，比較各方法的優(yōu)缺點，并將計算結(jié)果與精確解做比較（列表、畫圖）。（希望時間畫的長一點）（方案I）歐拉法，步長h=0.025,h=0.1；（方案II）改進的歐拉法，步長h=0.05,h=0.1；（方案III）四階經(jīng)典龍格—庫塔法，步長h=0.1。[設(shè)計題十一]（Lotka-Volterra捕食競爭系統(tǒng)）考慮一類捕食競爭系統(tǒng)其中均為正常數(shù)。上述方程是一個非線性常微分方程組，不可能有解析解。要求：假設(shè)，而且初始值為x(0)=2,y(0)=1.分別四階經(jīng)典龍格—庫塔法和四階Adams預(yù)測-校正方法，取多種步長求解。把x()和y()畫在同一張圖上，比較之。改變初始條件，參數(shù)不變，同樣方法計算，發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?改變參數(shù)，初始條件不變，同樣方法計算，發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？能否用常微分方程定性理論解釋？（參考常微分方程教材）（注意：希望時間計算的長一些，才能發(fā)現(xiàn)解的一些性態(tài)）時間安排2015-2016年度第二學(xué)期，上機講解時間：周一下午，周三上午（第17,18周）撰寫報告時間：暑假提交答辯時間：下學(xué)期第一周內(nèi)設(shè)計工作要求1.本課程設(shè)計報告可以分為三個主題：數(shù)值代數(shù)，數(shù)值逼近和常微分方程的數(shù)值解。學(xué)生可以任選一主題作為課程設(shè)計報告的內(nèi)容，（題目自擬，但需貼合報告的內(nèi)容，比如數(shù)值代數(shù)中的常見方法及比較）。選數(shù)值代數(shù)主題的，設(shè)計題一和設(shè)計題二任選其一，設(shè)計題三和設(shè)計題四必選；選數(shù)值逼近主題的，設(shè)計題五必選，設(shè)計題六和設(shè)計題七任選其一，設(shè)計題八和設(shè)計題九任選其一；選常微分方程數(shù)值解的，設(shè)計題十和設(shè)計題十一必選。注意這些設(shè)計題只是實施的案例。2.所有的程序需用Matlab完成。3.須提交紙質(zhì)課程設(shè)計報告，基本內(nèi)容可以包括（可進一步發(fā)揮）：（1）選題的背景。說明主題的背景及意義，同時要說明簡述本設(shè)計報告的主要目的（簡單來講：通過具體案例對算法的實現(xiàn)和比較，理解各個算法的優(yōu)缺點以及適用范圍，可自己發(fā)揮）。注意設(shè)計題非選題的背景，設(shè)計題只是作為案例來說明你的主題的。設(shè)計思路。說明設(shè)計原理（理念）并進行方案選擇，闡明為什么要選擇這個設(shè)計方案以及所采用方案的特點。（3）過程論述。重點說明是如何實現(xiàn)的，包括：對設(shè)計工作的詳細表述，各種算法原理，步驟或流程圖，以及程序清單。要求層次分明、表達確切。（4）結(jié)果分析對研究過程中所獲得的主要的結(jié)果（輸出結(jié)果必須是相應(yīng)的截屏圖，線性方程組的輸出結(jié)果除外，圖中須有任務(wù)欄和命令歷史窗口中的日期、時間）、現(xiàn)象進行定性或定量分析，得出結(jié)論和推論。（5）課程設(shè)計總結(jié)總結(jié)可以包括:課程設(shè)計過程的收獲、遇到的問題，遇到問題解決問題過程的思考、程序調(diào)試能力的思考，課程設(shè)計實現(xiàn)過程中的收獲和體會，以及對本課程的認識等。請將全班同學(xué)的電子版設(shè)計報告和相關(guān)的M文件刻錄在一張光盤上上交。請按照課程設(shè)計模板的字體排版。為了寫得更有條理，不一定按照上述結(jié)構(gòu)表述，可以適當調(diào)整，比如過程論述和結(jié)果分析可以融合一起寫。成績評定1.成績綜合紙質(zhì)報告和答辯成績而定。2.紙質(zhì)報告嚴禁抄襲。若發(fā)現(xiàn)雷同，不區(qū)分抄和被抄，一并做不及格處理。判斷抄襲的參考標準：出現(xiàn)下列情形之一無截屏圖；截屏圖與他人相同；需編寫的M文件（含注釋）與他人完全相同；無“課程設(shè)計中的心得體會”或過于簡短；“