江西省吉安、九江等八所重點(diǎn)2021-2022學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各

邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少

是（）

A.8B.7C.6D.4

2.若單位向量I，"■夾角為60°,a=Xex-e[,且/，則實(shí)數(shù)4=（）

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

3.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知點(diǎn)A（0,—2）,N（l,0）,若動(dòng)點(diǎn)M滿足隅=3,則兩?兩的取值范圍是

（）

A.[0,2]B.[0,2問(wèn)

C.[-2,2]D.[-272,272]

4.△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為若（2。-Z?）cosC=ccosB,則內(nèi)角C=（）

5.已知復(fù)數(shù)4=cos23°+isin23。和復(fù)數(shù)z?=cos37°4-zsin37°,則Z]?z?為

A173.R6「.r1V3.nV31.

22222222

6.如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（

7.已知復(fù)數(shù)一，則-的共匏復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.已知集合4=卜|/—2x—15>0},B={x|0<x<7},則&A）UB等于（）

A.[-5,7)B.[-3,7)C.(-3,7)D.(-5,7)

9.已知等邊A45C內(nèi)接于圓T：x2+y2=l,且尸是圓r上一點(diǎn)，則可?（方+正）的最大值是（）

A.72B.1C.6D.2

10.已知函數(shù),f(x)=j：：：。，若關(guān)于x的不等式[/(x)丁+4(x)<0恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)”的最大

值為()

A.2B.3C.5D.8

11.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s“，且(S,,+l)(S“+2+1)=(S,“|+1)2(〃eN*),4=1,4=2,則S“=()

n(n+l),1

A.1------1B.2/,+1C.2〃-1D.2,,+1+1

2

XCOQYTC7T

12.函數(shù)，(X)=2'+’T在一5，彳上的圖象大致為()

D.

_￡。|\A工

2\/2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若（X-2）"展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為.

14.已知b是拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，根的延長(zhǎng)線交,軸于點(diǎn)N.若M為FW的中點(diǎn)，則

?N|=.

,,ucouuvuuyuuvju嗎

15.在MBC中，CACB=0，BCBA=2>則|BC|=.

16.曲線“x）=4x-e'在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

Jrjr

17.（12分）如圖，在直角”（加中，NAC8=—，ZCAB=-,AC=2,點(diǎn)M在線段A8上.

23

（1）若sinNCMA='^,求CM的長(zhǎng)；

3

（2）點(diǎn)N是線段CB上一點(diǎn)，MN=41，且5■的=35力6,求BM+BN的值.

18.（12分）已知拋物線C:/=4y與直線/：x-2y-2=0.

（1）求拋物線C上的點(diǎn)到直線/距離的最小值；

（2）設(shè)點(diǎn)2（事,%）是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，Q（1,D是定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為4,B,求證A,Q,

5共線；并在福=3萌時(shí)求點(diǎn)尸坐標(biāo).

19.（12分）某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路4,4,以及鐵路線上的一條應(yīng)開(kāi)鑿的直線穿山

隧道MN,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路44和山區(qū)邊界的直線型公路/,以4,6所在

的直線分別為X軸，）'軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，山區(qū)邊界曲線為C:y=?（x>0）,設(shè)公路/與

曲線C相切于點(diǎn)尸，尸的橫坐標(biāo)為

(1)當(dāng)f為何值時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度；

7T

(2)當(dāng)公路/的長(zhǎng)度最短時(shí)，設(shè)公路/交X軸，y軸分別為A,B兩點(diǎn),并測(cè)得四邊形中，ZBAN=-,

9

4MBA=q兀，AN=10匹千米，6M=156千米，求應(yīng)開(kāi)鑿的隧道MN的長(zhǎng)度.

A+C

20.(12分)在△A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bsin(A+B)=csin*----.

2

(1)求B；

(2)若的面積為周長(zhǎng)為8,求反

21.(12分)在多面體48。。所中，四邊形4?。是正方形，6,平面ABC。，CF//DE,AB=CF=2DE=2,

G為的中點(diǎn).

(1)求證：CGLAF^

(2)求平面BCb與平面A跖所成角的正弦值.

22.(10分)已知曲線G的參數(shù)方程為［*二垃c°s”(。為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸

y=sin。

為極軸建立坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為psin2。=4cos。.

(1)求G的普通方程和C?的直角坐標(biāo)方程;

囤閥

(2)若過(guò)點(diǎn)尸(1，0)的直線/與G交于A，B兩點(diǎn),與交于M,N兩點(diǎn)，求I而稿的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：博壽=4行，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：J(2何+(2可=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：萬(wàn)=2血，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形

中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.

【詳解】

最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：曲不=472，

從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：?2用+(26j=4,

從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：萬(wàn)方=272，

從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為：J曲+閭=2,

從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為：廬平=加，

從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為：出^^=日，

...改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)X的值.

【詳解】

22

由于=所以屋=3,即e?)=3,Ae1—=A—2A-cos60+1=3?即方―2—2=0,

解得幾=2或2=-1.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

設(shè)出”的坐標(biāo)為(x,y),依據(jù)題目條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程Y+(y—2)2=8,

寫(xiě)出點(diǎn)M的參數(shù)方程，則而■.麗=2&cos。，根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得OA/。月結(jié)果.

【詳解】

設(shè)M(x,y),則

喘Sm-2)

M+心

：.x2+(y+2)2=2(x2+y2)

:.x2+(y-2>=8為點(diǎn)加的軌跡方程

x=2正cos。

二點(diǎn)用的參數(shù)方程為「(。為參數(shù))

y=2+2>/2sin。

則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：

OMON=2y[2cos0

又cos6w(-l』]

:.OMON=272cos6e[-2夜,272]

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,

屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法

4.C

【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得.

【詳解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCeos5,

:.2sinAcosC=sin8cosc+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,

17T

三角形中sinA/O,.,?cosC=一,二C=—.

23

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.

5.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.

【詳解】

ziZ2=(cos230+zsin23°),(cos37°+isin37°)=cos60°+rsin60°=—+i.

22

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,

點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.

6.C

【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：

由圖可知，該幾何體是在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中截去四棱錐用-ABC。所形成的幾何體，

12

該幾何體的體積為丫=13-='12、1=二.

33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)二，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.

詳解：由題意，復(fù)數(shù)E,則==_；_-

n=7ZB=（7ZB5a^j=-;+n

所以復(fù)數(shù);在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選c.

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)二是解答的關(guān)鍵，著重考查

了推理與運(yùn)算能力.

8.B

【解析】

解不等式確定集合A,然后由補(bǔ)集、并集定義求解.

【詳解】

由題意A={x|x?-2x-15>。}={%|%<—3或》>5},

/.a4={彳|-34x45},

◎A）UB={X|_34X<7}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.

9.D

【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosO,sin。），則西?（麗+定）=1-cos。，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系,設(shè)P(cos9,sin。),

貝！I麗?(麗+定)=(1一cos仇一sin^)(-1-2cos0,-2sin0)

=(1-cos0)(-1-2cos6)+2sin?0=2cos2^-cos^-l+2sin20=l-cos^<2.

當(dāng)。=一兀，即P（-LO）時(shí)等號(hào)成立.

本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

10.D

【解析】

畫(huà)出函數(shù)/（%）的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.

【詳解】

解：函數(shù)/（X）,如圖所示

[/(^)]2+#(X)<0=>/(%)(/(x)+a)<0

當(dāng)a>0時(shí)，—a</(x)<0,

由于關(guān)于x的不等式[/(x)[+(%)<0恰有1個(gè)整數(shù)解

因此其整數(shù)解為3,又/(3)=—9+6=—3

—a<—3<0>—ci之f(4)=—8,則3<aW8

當(dāng)a=0時(shí)，[/(x)]<0,則a=0不滿足題意；

當(dāng)a<0時(shí)，0</(x)<-a

當(dāng)時(shí)，0</(力(-a,沒(méi)有整數(shù)解

當(dāng)一。>1時(shí)，0</(可〈一a,至少有兩個(gè)整數(shù)解

綜上，實(shí)數(shù)。的最大值為8

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.

11.C

【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列｛S,+l｝是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，由此求得s“.

【詳解】

由于(S“+l)(S.+2+l)=(S“」+l)2(〃eN*),所以數(shù)列｛*+1｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為耳+1=4+1=2,第二項(xiàng)為

4

S2+l=4+〃2+l=4,所以公比為］=2.所以S〃+l=2〃，所以S〃=2〃—1.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0<x<5時(shí)的符號(hào)，即可求解.

【詳解】

YCCWX

由/(-x)=—=-/(%)可知函數(shù)為奇函數(shù).

2+2

所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A,B；

當(dāng)Ovx<5時(shí)，cosx>0,

rCOQx

??"(x)=>0,排除選項(xiàng)

：2+二2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

由題意得展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出〃的值，然后再計(jì)算展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和.

【詳解】

由題意(X-2)"展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,即2"=64,故〃=6,令x=1,則展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1-2)6=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題，需要運(yùn)用定義加以區(qū)分，并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果，

需要掌握解題方法.

14.之

2

【解析】

由題意可得尸&,0),又由于M為F7V的中點(diǎn)，且點(diǎn)N在)'軸上，所以可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程中可求

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】

解：因?yàn)槭菕佄锞€C：y2=2x的焦點(diǎn)，所以尸(；,0),

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(不，為)，

因?yàn)镸為尸N的中點(diǎn)，而點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0,

所以x°=，，所以為2=2*[=1，解得v=±《2,

4422

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,土立)

所以|可|=房=|，

3

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】

此題考查拋物線的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.>/2

【解析】

先由題意得：CA1CB,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得而?麗=|阮『，可得結(jié)果.

【詳解】

由EA?麗=0知：CA1CB,則而在阮方向的投影為阮，

由向量數(shù)量積的幾何意義得：

BC-BA=\AB\-\BC\-cosZABC=\BC^=2,/.|BC|=V2

故答案為0

【點(diǎn)睛】

本題考查了投影的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

16.3x—y—1=0

【解析】

求導(dǎo)，得到了'(0)和/(o),利用點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由于/(O)=T，/'(x)=4—心所以/'(0)=4-1=3,

由點(diǎn)斜式可得切線方程為3x-y-l=0.

故答案為：3x_y-l=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)3；(2)4+6

【解析】

(1)在VC4M中，利用正弦定理即可得到答案；

(2)由S4BMN=1可得BMBN=46,在ABMN中，利用MN=近及余弦定理得

MN2=BM1+BN2-1BM-BNcos-,解方程組即可.

6

【詳解】

(1)在VC4M中，已知NCAM=工，sinZCMA=—,AC=2,由正弦定理，

33

AC-sin—2x二

得出AC

,解得CM_______3_=____2_=3.

sinNCMAsin/CMA6

3

（2）因?yàn)?讖的=15.山，所以1.B/.BN-sin5=：x1x2x2石，解得BM-BN=4^.

22622

在ABMN中，由余弦定理得，

MN°=BM、BN°—2BM-BNssq=（BM+BN》—2BM-BN\1+

即麗）2=（6M+3N）2-2X4GX1

（BM+BN）2=19+8百=（4+可,

故BM+BN=4+6

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

18.(1)至；(2)證明見(jiàn)解析，尸(0,-1)或尸(2,0)

10

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；(2))設(shè)45，x),B(X2,y2),表示出直線B4,PB的

方程，利用修表示出西，々，即可求定點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

2

(1)設(shè)拋物線4點(diǎn)的坐標(biāo)為哈)，

0

則?=1時(shí)取等號(hào)),

則拋物線C上的點(diǎn)到直線/距離的最小值些；

10

(2)設(shè)y),8(w，%)，

1,

4

,I

???y=2x>

???直線Q4,PB的方程為分別為y-y=5(x-X1)，y-y2=^-(x-x2),

由兩條直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)得X,為方程/-2玉/+4%=0的兩根％+%=2x(>,3々=4%,

直線AB的方程為丁一弘=上二上。一玉)，y—%=筆歪(x—5),

x2-X,4

if-巖(if)=1-牛+牛=1吟+為=0，

...A,Q,8共線.

又西-1=3(1-%),

/.Xj=4-3X2,

x}=3x0-2

<x2=2-x0,

xtx2=2x0-4

解x()=0，=2,

???點(diǎn)P(x°,%)是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，

?■?/=0時(shí)，%=T,%=2時(shí)，％=0,

P(o,-1),或尸(2,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握

水平和分析推理能力.

19.(1)當(dāng)1=10時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短為20近千米；(2)5后(千米).

【解析】

(1)設(shè)切點(diǎn)尸的坐標(biāo)為「，一］0>0),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線/的方程為y-則=-當(dāng)(％-根據(jù)兩

點(diǎn)間距離得出|A8|=^4/+型毀/>0,構(gòu)造函數(shù)g")=4/+"絲">0,利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值

」*

和最值，即可得出結(jié)果:

(2)在A鉆N中，由余弦定理得出BN=10#，利用正弦定理一^—=———,求出44BN=g,最后

sinZBANsinZABN6

根據(jù)勾股定理即可求出MN的長(zhǎng)度.

【詳解】

(1)由題可知，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為［，5］

(f>0),

一100小

又y=---二(zx>0),

x

則直線/的方程為y-&=-絆(xT),

由此得直線/與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：A(2r,0),5|0,—

…司,t>0,故/?)=)4產(chǎn)+^^">0,

則|4?|=4”/2+—400—00

、■八，240000八r,，,、2x40000

設(shè)gQ)=4/+——,t>0,則g?)=8of-----—

令g'Q)=0,解得，=10.

當(dāng)/€(0,10)時(shí),g'Q)<0,g⑺是減函數(shù);

當(dāng)fe(10,+co)時(shí)，g'⑺>0,g⑺是增函數(shù).

所以當(dāng)/=1()時(shí)，函數(shù)g(f)有極小值，也是最小值,

所以gQ)mm=80。，此時(shí)/⑺.=20公.

故當(dāng)，=10時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為200千米.

(2)在AABN中，AN=100，4BAN=%,

所以BN?=AB2+AN2-2AB-ANcosZBAN，

所以BN=10巫,

根據(jù)正弦定理

BN_AN

sinNBAN-sinZABN'

.1076_10V2

.萬(wàn)sin/ABN'

sin—

3

:.sinZABN=-,

2

71

乙ABN=-,

6

又/MBA=乙兀,

3

7T

所以NMBN=/MBA-ZABN=-.

2

在△MBN中，BM=156,BN=娓,

由勾股定理可得用N?=卸02+92,

即MN?=(15百)2+(l()C)2,

解得，MTV=5751(千米).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際的最值問(wèn)題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的

實(shí)際應(yīng)用，還考查解題分析能力和計(jì)算能力.

TTJ3

20.(1)B=~；(2)b=—

34

【解析】

A+C

(1)通過(guò)正弦定理和內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)匕sin(A+B)=csinu—,再通過(guò)二倍角公式即可求出D3；

(2)通過(guò)三角形面積公式和三角形的周長(zhǎng)為8,求出方的表達(dá)式后即可求出匕的值.

【詳解】

(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得。sinC=ccos￡,

2

結(jié)合正弦定理，得sin8=cos—,

2

由0＜g＜四及二倍角公式，得sinO='，

2222

即《=?，故8=?；

263

(2)由題設(shè)，得,acsinB=J5,從而ac=4,

2

由余弦定理，得〃=/+/—2accos8,即"(…［一⑵

又a+8+c=8,所以k=(8—8)2-12,

13

解得。=干.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)證明見(jiàn)解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先證明CGLAB,CG1BF,4308尸=3,二。6_1平面48F.即可得到4廠(=平面43尸，CG±AF.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DE所在的直線分別為x軸、＞軸、二軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面

和平面8CT的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1)平面ABC。，ABI平面ABCD,CFLAB.

又：四邊形ABCD是正方形，；.AB1BC.

???8Cner=C,AB_L平面8CT.

又＜BC=CF=2,G為Bb的中點(diǎn)，.??CGLBR.

???ABD=8,CG_1平面ABF.

VAFu平面ABF，:.CG±AF.

(2)???。尸，平面43。，C尸〃DE,.?.7)￡，平面ABC。.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、)'軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:

則0(0,0,0),A(2,0,0)