MATLAB程序設(shè)計 課件 第7章 最優(yōu)化設(shè)計

尚德敏學(xué)唯實惟新MATLAB程序設(shè)計CONTENTS目錄優(yōu)化問題概述MATLAB中的優(yōu)化工具箱優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義7.17.27.37.4基于模擬退火算法的極值求解尚德敏學(xué)唯實惟新7.1優(yōu)化問題概述

在實際的工程優(yōu)化設(shè)計過程中，它包含著兩個方面的內(nèi)容，或者說需要兩個重要的步驟:

第一步:建立數(shù)學(xué)模型:用數(shù)學(xué)語言來描述最優(yōu)化問題,把實際問題轉(zhuǎn)換成能夠用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的形式,模型中的數(shù)學(xué)關(guān)系式反映了最優(yōu)化問題的目標(biāo)和各種約束，為我們理論研究打下堅實的基礎(chǔ)。第二步:數(shù)學(xué)求解選擇合理的最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。尚德敏學(xué)唯實惟新1.優(yōu)化問題模型優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)形式:

其中，X是待求變量，A和b是線性不等式約束的系數(shù)向量，Aeq和beq是線性等式約束的系數(shù)，b和beq是向量，A和Aeq是矩陣，c(X)和ceq(X)是返回向量的函數(shù)，分別是非線性不等式約束和非線性等式約束，lb和u,是變量的上下限。尚德敏學(xué)唯實惟新1.優(yōu)化問題模型問題一:假設(shè)某種產(chǎn)品有3個產(chǎn)地A1、A2、A3，他們的產(chǎn)量分別為100、170、200(單位為噸)，該產(chǎn)品有3個銷售地B1、B2、B3，各地的需求量分別是120、170、180（單位為噸)，把產(chǎn)品從第i個產(chǎn)地Ai運到第j個銷售地Bj,的單位運價（元/噸）如表7-1所示，問如何安排從Ai到Bj的運輸方案，才能滿足各地銷售的需求又能使總運費最小?B1B2B3產(chǎn)量A1809075100A2608595170A39080110200A4120170180470表7-1產(chǎn)地Ai運到第j個銷售地Bj的單位運價表尚德敏學(xué)唯實惟新1.優(yōu)化問題模型建立數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)從A到B的運輸量為xij，顯然總運費的表達(dá)式為:80x11+90x12+75x13+60x21+85x22+95x23+90x31+80x32+110x33根據(jù)產(chǎn)量要求，則可以建立如式所示的三個等式，作為上述總運費的約束式:x11+x12+x13=100x21+x22+x23=170x31+x32+x33=200根據(jù)需求量要求，則可以建立如式所示的三個等式，作為上述總運費的另外的約束式:x11+x12+x13=120x21+x22+x23=170x31+x32+x33=180此外，在實際問題中，運輸量不能為負(fù)值，所以有如下約束:xij≥0，i,j=1，2，3尚德敏學(xué)唯實惟新1.優(yōu)化問題模型綜上所述，此產(chǎn)銷平衡問題的數(shù)學(xué)模型可以寫為如下:minf(x)=80x11+90x12+75x13+60x21+85x22+95x23+90x31+80x32+110x33

尚德敏學(xué)唯實惟新2.數(shù)學(xué)求解根據(jù)數(shù)學(xué)模型變量的不同，可以把目前的求解方法分為如下兩大類：對于大部分單變量或者相對簡單的數(shù)學(xué)模型，可以采用人工計算的方式進(jìn)行，根據(jù)是否對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，又可分為直接法和間接法，直接法主要有消去法和多項式近似法。一種典型的消去法是黃金分割法而間接法需要用到目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。多項式近似法。該法用于目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜的情況，此時尋找一個與他近似的函數(shù)代替目標(biāo)函數(shù)，常用的近似函數(shù)為二次和三次多項式。優(yōu)化問題在使用MATLAB軟件求解時的注意如下：（1）目標(biāo)函數(shù)最小化：一般都要求實現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最小值，如果優(yōu)化問題是求最大值，可以通過求原目標(biāo)函數(shù)的負(fù)值的最小化來實現(xiàn)，即-f(X)最小化來實現(xiàn)。（2）約束非正：一般都要求不等式約束形式為c(X)<=0，通過對不等式的取負(fù)可以達(dá)到使大于零的約束形式變?yōu)樾∮诹愕牟坏仁郊s束的形式目的。尚德敏學(xué)唯實惟新2.數(shù)學(xué)求解問題:邊長為3m的正方形鐵板，在4個角處減去四個相等的正方形以制成方形無蓋水槽問如何剪才能使水槽容積最大？根據(jù)題意，上述問題的數(shù)學(xué)模型為：屬于單變量優(yōu)化問題，可以采用直接法進(jìn)行計算可得：也可以采用MATLAB進(jìn)行計算，需要將原最大值問題轉(zhuǎn)化成最小值問題，如下：在MATLAB命令行窗口輸入以下命令，回車后運行結(jié)果如下所示：尚德敏學(xué)唯實惟新3.非線性最小二乘優(yōu)化問題非線性最小二乘優(yōu)化也叫無約束極小平方和函數(shù)問題，它是如下無約束極小問題，

程序代碼如下:尚德敏學(xué)唯實惟新3.非線性最小二乘優(yōu)化問題擬合結(jié)果如下:尚德敏學(xué)唯實惟新7.2MATLAB中優(yōu)化工具箱（1）工具箱的功能:①求解無約束條件非線性極小值;②求解約束條件下非線性極小值，包括目標(biāo)逼近問題、極大-極小值問題以及半無限極小值問題;③求解二次規(guī)劃、線性規(guī)劃和混合整型線性規(guī)劃問題;④非線性最小二乘逼近和曲線擬合;⑤非線性系統(tǒng)的方程求解;⑥約束條件下的線性最小二乘優(yōu)化;⑦求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大規(guī)模優(yōu)化問題。尚德敏學(xué)唯實惟新7.2MATLAB中優(yōu)化工具箱123優(yōu)化函數(shù)具有簡潔的函數(shù)表達(dá)式，多種優(yōu)化算法可以任意選擇，算法參數(shù)可自由進(jìn)行設(shè)置，使得用戶方便靈活地使用優(yōu)化函數(shù).并行計算功能集成在了優(yōu)化工具箱的優(yōu)化求解器中，以便用戶在不對現(xiàn)有程序有大的改變的情況下，在多臺計算機或集群計算機上進(jìn)行密集型計算優(yōu)化問題的求解。提供了定義和求解優(yōu)化問題并監(jiān)視求解進(jìn)度的OptimizationApp，可以方便地打開優(yōu)化工具，進(jìn)行優(yōu)化問題的求解。(2)工具箱的特色:尚德敏學(xué)唯實惟新7.2MATLAB中優(yōu)化工具箱(3)工具箱的結(jié)構(gòu):尚德敏學(xué)唯實惟新7.2MATLAB中優(yōu)化工具箱全局優(yōu)化工具箱提供的最優(yōu)化方法:

全局搜索和多起點優(yōu)化

遺傳算法模擬退火

算法模式搜索算法

全局搜索和多起點優(yōu)化方法產(chǎn)生若干起始點，然后它們用局部求解器去找到起始點吸引盆處的最優(yōu)點。遺傳算法（GA）用一組起始點（稱為種群)，通過迭代從種群中產(chǎn)生更好的點，只要初始種群覆蓋幾個盆，GA就能檢查幾個盆。模擬退火完成一個隨機搜索，通常模擬退火算法接受一個點，只要這個點比前面那個好，它也偶而接受—個比較糟的點，目的是轉(zhuǎn)向不同的盆。模式搜索算法在接受一個點之前要看看其附近的一組點。假如附近的某些點屬于不同的盆模式搜索算法本質(zhì)上是同時搜索若干個盆。尚德敏學(xué)唯實惟新7.3優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義MATLAB優(yōu)化工具箱的主要函數(shù)尚德敏學(xué)唯實惟新7.3優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義優(yōu)化函數(shù)輸入?yún)?shù)定義尚德敏學(xué)唯實惟新7.3優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義常用的options參數(shù)中常用的幾個參數(shù)如下：①Display：結(jié)果顯示方式，取值為off時，不顯示任何結(jié)果；取值為iter時，顯示每次迭代的信息；取值為final時，顯示最終結(jié)果，默認(rèn)值為final；取值為notify時，只有當(dāng)求解不收斂的時候才顯示結(jié)果。②MaxFunEvals：允許進(jìn)行函數(shù)計算的最大次數(shù)，取值為正整數(shù)。③MaxIter：允許進(jìn)行迭代的最大次數(shù)，取值為正整數(shù)。④TolFun：函數(shù)值(計算結(jié)果）的精度，取值為正數(shù)。⑤TolX：自變量的精度，取值為正數(shù)。尚德敏學(xué)唯實惟新7.3優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義MATLAB優(yōu)化函數(shù)的輸出參數(shù)尚德敏學(xué)唯實惟新7.3優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義

尚德敏學(xué)唯實惟新7.3優(yōu)化函數(shù)的參數(shù)設(shè)置與定義第一步:建立目標(biāo)函數(shù)文件，命名為my_fun1.m第二步:調(diào)用函數(shù)fmincon，在命令行窗口輸入如下命令，其結(jié)果如下所示:尚德敏學(xué)唯實惟新7.4基于模擬退火算法的極值求解

尚德敏學(xué)唯實惟新7.4基于模擬退火算法的極值求解231Meteopolis準(zhǔn)則溫度退火進(jìn)度表這是一個重要的參數(shù)，它隨著算法的迭代逐步下降，以模擬固體退火過程中的降溫過程。一方面，溫度用于限制SA產(chǎn)生的新解與當(dāng)前解之間的距離，即SA的搜索范圍;另一方面，溫度決定了SA以多大的概率接受目標(biāo)函數(shù)值比當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值差的新解。

是指溫度隨算法迭代的下降速度。退火過程越緩慢，SA找到全局最優(yōu)解的機會就越大。退火進(jìn)度表包括初始溫度及溫度更新函數(shù)的參數(shù)。尚德敏學(xué)唯實惟新7.4基于模擬退火算法的極值求解在MATLAB中，提供了模擬退火算法的simulannealbnd函數(shù)，用于求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，在使用時可以直接調(diào)用，其格式如下:[xfval]=simulannealbnd