考研數(shù)學(xué)試題詳解及評(píng)分參考

年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題詳解及評(píng)分參考數(shù)學(xué)（一一、填空題（本題6小題，每小題4分，滿分24分 2(1)lim(cosx)ln(1x) 2【答】應(yīng)填lncos1【解】lim(cosxln(1x2)lime年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題詳解及評(píng)分參考數(shù)學(xué)（一一、填空題（本題6小題，每小題4分，滿分24分 2(1)lim(cosx)ln(1x) 2【答】應(yīng)填lncos1【解】lim(cosxln(1x2)limeln1x2，lncosxlimln(1cosxcosx11，所以原式1e x0ln(1x22(2)zx2y2與平面2x4yz0【答】應(yīng)填2x4yz5 x0,y0,z0，則曲面在P0處的法向量為{2x0,2y0,1}，應(yīng)21 x1y2 002于是 y520(3)設(shè)x2ancosnx(x)，則a2 x在區(qū)間,2的傅里葉系數(shù)，取n2212a20xcos2xdx[xsin2x002xsin221[xcos2 cos2xdx]10011(4)R2的基,212.103122003年?第1【解度矩陣P，則12P12，因1 1 111 P= 【解度矩陣P，則12P12，因1 1 111 P= 221 0xy(5)設(shè)二維隨機(jī)變量X,Yf(xy，則P{XY1}= 【答】應(yīng)填141111【解】P{XY1}f(x,y)dxdy 6xdy 6x12xdx 2240x0x(6)已知一批零件的長(zhǎng)度X（單位：cm）服從正態(tài)分布N(,1)，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40（cm），則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 （注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975(1.6450.9540.4.X0.95（即0.05）X zX zzz0.025，10.0250.9751.96，數(shù)據(jù)代入nn222111.96)39.51,得置信區(qū)間為(401.96,40二、選擇題（本題6小題，每小題4分，滿分24分設(shè)函f(x在(,內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x【解y軸左側(cè)，因f(x由正變負(fù)再變正，故fx由增變減再變?cè)觯瑥亩幸粋€(gè)極一個(gè)極小值點(diǎn)；又在x0左右領(lǐng)f(x由正變f(x)由增變減，且f(x)在點(diǎn)x0x0是f(x)的極大值點(diǎn).因此f(x)有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).0limbn1limcn(2)設(shè)an}，bn}，cn}均為非負(fù)數(shù)，且lim(A)anbn對(duì)任意nbncn對(duì)任意n2003年?第2(C)limancn(D)limbncn(D(A)和(B)limanlimbnlimcn(C)limancn(D)limbncn(D(A)和(B)limanlimbnlimcn只是在n充分大時(shí)才成立，而不是對(duì)任意n對(duì)于選項(xiàng)(C)，由于limancn是0對(duì)于選項(xiàng)(D)，假若limbncn存在，則有l(wèi)imcn 因此limbncn存在，故應(yīng)選(D)f(x,y)(3)已知函f(xy在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且(x2y2)點(diǎn)(0,0)f(xy點(diǎn)(0,0)f(xy點(diǎn)(0,0)f(xy根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0,0)f(xy(Af(x,y)1，故limf(xyxy0f(0,0)0【解】因(x2y2)又記f(xyxy1，知lim0f(xyxy1)(x2y22(x2y2由于(1)(x2y22xy高階的無(wú)窮小，且(1)(x2y220，故在點(diǎn)0,0的xy0f(xy0xy0f(xy0.f0,00不是極值(A向量組：1,2 ,r，可由向量組：1,2,,s線性表示，(A)當(dāng)rs時(shí)，向量組必線性相 (B)當(dāng)rs時(shí)，向量組必線性相(C)當(dāng)rs時(shí)，向量組(D(D)當(dāng)rs時(shí)，向量組【解】記的秩為r(的秩為r(，則由可由線性表示，可知r()r(r(s，于是當(dāng)rs時(shí)，有rsr(r(，即線性相關(guān).(D(5)設(shè)有齊次線性方程Ax0Bx0AB均為mn42003年?第3 Ax0Bx0的解，則秩A)秩(B 若秩A秩(BAx0Bx0③Ax0Bx0同解，則秩A) Ax0Bx0的解，則秩A)秩(B 若秩A秩(BAx0Bx0③Ax0Bx0同解，則秩A)秩(B④若秩A)秩(BAx0Bx0同解① ① ② ③(B)Ax0Bx0Ax0Bx0空間的維數(shù)，即nrAnrB，亦即rArB，故①正確；同理③也正確.又由兩個(gè)解空同理，④也不成立.故選(B).1(6)設(shè)隨機(jī)變量X~t(n)(n1)，Y X(B)Y~2(n(A)Y~2(C)(D)Y~F(1,(C)Y~FZ~tn，其Z~N(0,1，2~2(nZn1n相互獨(dú)立，于是Z~(1)，從 □F(n,1).(C)X Z1(1)DA(2)Dxe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V(1)x0ylnx在點(diǎn)(x0lnx01y (xx100x01由該切線過(guò)原點(diǎn)知lnx010x0e,yex……3平面圖形D的面積A (eey)dy1e11y……620e為 =1e2；曲線ylnx與x軸及直線xe所圍成的圖形繞直線xe旋轉(zhuǎn)所得的131轉(zhuǎn)體體積為V (ee)dyy2……8202003年?第4因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為VVV1e2 (ee)dy (5e1y212e……10 3601f(x)展開成x四、(本題滿分12分)1的和2n2f(x……214x12(1)4 x ,nn=……42因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為VVV1e2 (ee)dy (5e1y212e……10 3601f(x)展開成x四、(本題滿分12分)1的和2n2f(x……214x12(1)4 x ,nn=……42又f(0),故f(x)=f(0) fx40= (1)n4nt2n]dt=(1)n11).……82xx2n1,x2n440(1)1收斂，函數(shù)f(x)在x 22n所以f(x=(1)n1,1102n42x1f1)[(1)n4n1222n2 (1)nf(1) 再由f(1)02……122n （本題10分）Dx(1)xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx0x,0y}LD(2)xesinydyyesinxdx22LLsinL0證法 (1)左邊 dy dx= sinsinxesinx3000 sindy dx= sinxesinxsin00xesinydyyesinxdxxesinydyyesinx6LLesinxesin(2)由8故由(1)得 dy dx esinx)dx2sinsinsin100L2003年?第5證法 (1)根據(jù)格林公式得xesinydyyesinxdx(esinesinx2LesinxDxesinydyyesinxdx(esin4LDDyx對(duì)稱，所(esin證法 (1)根據(jù)格林公式得xesinydyyesinxdx(esinesinx2LesinxDxesinydyyesinxdx(esin4LDDyx對(duì)稱，所(esin(esinyesinxesinzDxesinydyyesinxdxxesinydyyesinx6LLxesinydyyesinxdx(esinyesinx(2)由(1)ldsinxesinx)d8 dd=210（比例系數(shù)為kk0,汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地am.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0r1).問(wèn):汽錘擊打樁3若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：m解：(1)設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)xn，第n次擊打時(shí)，汽錘所作W kxdxkkax12111220kkx2W2kxdx x) a2 22(122222x2a，由W2r3kx 2又W 3kxdx ) [x(1r)a223323222W3rW2r2W1可得x21ra2r2a2x31rr2a63 1rr2 (2)用歸納法：設(shè)xn1r... a,k kxdx x2)kx(1rLrn1)a228 22n2003年?第6由于Wn1rWnr2Wn1LrW,故得 2rL )a22nnan1r1從而xn1=1r... ana.于是limxn1a111a101由于Wn1rWnr2Wn1LrW,故得 2rL )a22nnan1r1從而xn1=1r... ana.于是limxn1a111a101（本題12分）yy(x)在(,y0xxyyy(xd2ysinxdx)3=0yy(x(1)xxydy32y(0)0,y(0)1y解:(1)由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 2 yy d2d2 (y)20,所=5=dy (y) ( dyyysin6(2)方程（*）所對(duì)應(yīng)的齊次方y(tǒng)y0yC1exC8A0,B1 AcosxBsinx,代入方程（*）求2y*1sinxyysinx 1siny(x)ee……102y(0)0,y(0)1221sin232得C1,1yx)ee……1212f(x2y2z2f(x2y2(tF(t)D(t,G(t),f(x2y2tf(x2D(t其中(txyz|x2y2z2t2},D(txy|x2y2t(2)證明當(dāng)t0F(t)2G(t(1)F(t在區(qū)間(0,2003年?第72tt f(r2)r2sin f(r2)r2(1)解:F(t0000……2 2t f(r2 f(r2d2000ttf f(r2)r(t2F(t)0t f(r220所以在(0,F(t)2tt f(r2)r2sin f(r2)r2(1)解:F(t0000……2 2t f(r2 f(r2d2000ttf f(r2)r(t2F(t)0t f(r220所以在(0,F(t)0F(t在(0,內(nèi)單調(diào)增加t……6 f(r2(2)證:因G(t)0……8tf(r2022要證明t0F(t)t0F(tG(t)0,ttt f(r)r f(r)dr f(r2)rdr]2222000ttt令g(t) f(r)r f(r)dr f(r2222……10000t則g(t)f(t f(r2)(tr)2dr>0,故g(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加20g(t在t0處連續(xù)，所以當(dāng)t0g(tg(0).g(0)0,故當(dāng)t0g(t02因此，當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)……12232100（本題10分）A2,P1BP1A*PB31的特征值與特征向量.其中 為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣551A*=……2055 70 0，BP1A*PP3 9070B2E……552003第80204(9)2(E(B225B2E的特征值為9,9,3……7129時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為10204(9)2(E(B225B2E的特征值為9,9,3……7129時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為11,2當(dāng)0 k11 k11+k22,其中k1是不全為零的任0 當(dāng)33時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為31，其中k3是非零的任意常數(shù).……103 32設(shè)A的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為A.由于|A|70所以0又因A*A=|A|=EA*|A|……2|A于是有B(P) AP(P) (P)，(B2E)P12)P|A因此 2為B2E的特征值……437由于|EA|2(1)2(A的特征值為12=3……6當(dāng)= =1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為=1=0 122003年?第9A=7時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為……833 1由P10P11=1==7時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為……833 1由P10P11=1=PP00 12311k1k1，其中kkPPk+ 1 2 P 對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為=其中 是非零的任意常數(shù).……10 33l1：ax2by3cl2：bx2cy3al3：cx2ay3b試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為abcax2by證法1必要性：設(shè)三直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，則線性方程 bx2cy3a,cx2ay2c與增廣A2c3a2，于是|A|0……2 2a3ba6(abc)[a2b2c2abac|A|3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2但(ab)2bc)2ca20，故abc……42003年?第10充分性：由abc0，則從必要性的證明可知,|A|=0A)……6a=2(acb2)2[a(ab)b2]=2[(a充分性：由abc0，則從必要性的證明可知,|A|=0A)……6a=2(acb2)2[a(ab)b2]=2[(a1b)23b2] 24故秩（A）2.于是，秩（A）秩（A）因此方程組（）有唯一解，即三直線l1l2l3交于一點(diǎn)……8x0必要性：設(shè)三直線交于一點(diǎn)(x,y)， 為Ax0的非零解，其0y 1 A3a，于是|A|=……2a6(abc)[a2b2c2abac而|A|c3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2但(ab)2bc)2ca20，故abc0ax2by-3c,bx2cy-cx2ay-將方程組（）的三個(gè)方程相加，并由abc0可知，方程組（）ax2by-bx2cy-a=2(acb2)2[a(ab)b2]=[a2b2(ab)2] 解法1 X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布XkC /C3，k P 62003年?第11X0123即192911P……3199因此EX0 3……5 (2)A3P(A)P{Xk}P{A|X……7k1 1 0 X0123即192911P……3199因此EX0 3……5 (2)A3P(A)P{Xk}P{A|X……7k1 1 0 ……10 Xi解法 (1)Xi的概率分布1EXi(i……33XX1X2X3EXEX1X2X3EX1EX2EX32……5(2)設(shè)A表示事件“從乙箱中任意取出的一件產(chǎn)品是次品由于X0X1,X2和X33構(gòu)成完全事件組，因此根據(jù)全概率公式……7P(A)PXkPA|X3 111PX ……1066k66 k2e2(x),x，其中x是未知參數(shù).XX1X2LXn，記?minX1X2LXn 的分布函數(shù)F?(x) 作為的估計(jì)量，討論它是否具有無(wú)偏性2003年?第12X P xxx解(1)F(x) f……2(2)F?(x)P(?x)P{min(X1,X2,Lxxx解(1)F(x) f……2(2)F?(x)P(?x)P{min(X1,X2,L,Xn)1P{min(X1,X2,L,Xn)x}1P{X1x,X2x,L,1P{X1x}P{X2x}LP{Xnx}1[1F(x)]1e2n(x)x,x=52ne2n(xxx?(3)fF(x)6??1因?yàn)镋? xf(x)dx 2n(xdx= 所以?作為的估計(jì)量不具有無(wú)偏性8數(shù)學(xué)（二1(1)若x0時(shí)，(1ax2)41與xsinx是等價(jià)無(wú)窮小，則a 【答】應(yīng)填411lim(1ax211a1，故a444【解】因xsin(2)設(shè)函數(shù)yf(x)由方程xy2lnxy4所確定則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方 【答】應(yīng)填xy0xyxdy24y3dyx1,y1 1y1x1xy0dx(3)y2x的麥克勞林公式中xn項(xiàng)的系數(shù) (ln.2003年?第13(ln n(n|x0xln |x0ln2)n(4)設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為ea(a0)，則該曲線上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與 【答】應(yīng) (e4a1)11212 1e2220(e)da (e4(ln n(n|x0xln |x0ln2)n(4)設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為ea(a0)，則該曲線上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與 【答】應(yīng) (e4a1)11212 1e2220(e)da (e4a【解】A001(5)設(shè)3維列向量，T是的轉(zhuǎn)置若，則 TT11【答】應(yīng)填3xxxx1113 【解】設(shè) ，則xxx x2x2x2123222 xxxx3333x2x2x23 1 100201 B則1【答】應(yīng) 2320A2BABE，得AEAEBAE.AE 020可逆陣，故有AEBEBAE1100012AEAE1B (1)22003年?第14n03321xdx，則極限limnan(2)設(shè)ann3(B)(1e1)23(C)(1e1)23(D)(1e)2(A)(1e)2(B)n32【解】因limna1xndx1xnd(1xnn2 033n3lim(1xn)2|n1lim[(1)n21]1e1)21.(B)0n(3)已知y 是微n03321xdx，則極限limnan(2)設(shè)ann3(B)(1e1)23(C)(1e1)23(D)(1e)2(A)(1e)2(B)n32【解】因limna1xndx1xnd(1xnn2 033n3lim(1xn)2|n1lim[(1)n21]1e1)21.(B)0n(3)已知y 是微分方程yy()的解，則()的表達(dá)式xxxlnxyyyxyxxyxy(A)(C)(Alnx1xln1(x)yyln2x2/ln2ln2 lnx1于是得() .(Aln2y(4)44tanxdx，I2xtan00I1I21I1I2I11I2(B)x[0,時(shí)，有sinxxtanx4tanxx tan44tanxxI1dxdxI2，即應(yīng)排除選項(xiàng)(C)和tan000f(x在[04xsec2xtanxtanf(x)f(xx2cos2xtan44I4tanxdx dx1.(B)41xx00(6)42003年?第15ln(1ax3 x0xarcsinx（本題滿10分）f(x，問(wèn)a6x0e axx x0x4xsf(xx0ax0f(xln(1ax3解:limf(x)xarcsinxarcsin1x26a……3ln(1ax3 x0xarcsinx（本題滿10分）f(x，問(wèn)a6x0e axx x0x4xsf(xx0ax0f(xln(1ax3解:limf(x)xarcsinxarcsin1x26a……3 11111x2axxsinx2axlimf(x)4x42x42lim(a22)2a2……5limf(x=limf(x，有6a2a24，得a1，或a2……6……8a1時(shí)，limf(x)6f(0)f(xx0處連續(xù)f(0)x0f(x的可去間斷點(diǎn)a2limf(x)12……10x12t（9分）yy(x由參數(shù)方程（t1）eu12lnydu1d2求x9e12ln2解： 4t,……3 12ln 12lne12ln，……42(12lntd2 1e2e . ，……7dx dt2(12lnt)2t 4t2(12ln2003年?第16x9x12t及t1得t2d2ee.……94t2(12lnt)dxtxearctandx3(1+x22et解法 設(shè)xtant則dxsectdtesintdtx9x12t及t1得t2d2ee.……94t2(12lnt)dxtxearctandx3(1+x22et解法 設(shè)xtant則dxsectdtesintdt……22t33(1tan2(1+x222又etsintdtetdcost(etcostetcosetcostetsintetsin……4……6 etsintdt1et(sintcost)……82dx1earctan2xearctanx1(x1)earctan)(C……931x1x1x(1x222xearctanxdx……3312(1x22xearctanearctan……5321xxearctan(1x21……7312121212(1x22(x1)earctanxearctan移項(xiàng)整理得dxC……93212(1x22（本題12分）（本題滿12分）y4lnxky4xln4x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解：?jiǎn)栴}等價(jià)于討論方程ln4x4lnx4xk0有幾個(gè)不同的實(shí)根.設(shè)(xln4x4lnx4xk……34(ln3x1則有x)……5x當(dāng)0x1時(shí),x0,即(xx1時(shí),x)0,即(x2003年?第17故(1)4k為函數(shù)(x的最小值k4，即4k0時(shí)，(x0無(wú)實(shí)根，即兩條曲線無(wú)交點(diǎn)k4，即4k0時(shí)，(x0有惟一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn).k4時(shí)，即4k0時(shí)，lim(xlim[lnx(ln故(1)4k為函數(shù)(x的最小值k4，即4k0時(shí)，(x0無(wú)實(shí)根，即兩條曲線無(wú)交點(diǎn)k4，即4k0時(shí)，(x0有惟一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn).k4時(shí)，即4k0時(shí)，lim(xlim[lnx(ln3x4)4xk……8……9lim(x)lim[lnx(ln3x4)4xk]故(x0有兩個(gè)實(shí)根，分別位于(0,1)與(1)內(nèi)，即兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)……12八（本題滿分12分）設(shè)位于第一象限的曲線yf(x)過(guò)點(diǎn) 2,1)，其上任一 求曲yf(x已知曲ysinx在[0,上的弧長(zhǎng)為l，試用lyf(xs解：(1)曲線yf(x)在點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為Yy (X1x其中(X,Y)X0，則Yy……2故Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,yx,yyx22y2CC為任意常數(shù)0即2ydyxdx……5由y 1知C1，故曲線y 2y2x(x0,y……6x22(2)ysinx在0,上的弧長(zhǎng)為l 1cos22……80xcosyf(x的參數(shù)方程為……92212siny21sin2 cos2d1sin2s2200令2l 2l……12412120t，則s1cos2t(dt)1cos222022003年?第18要求，當(dāng)以3m3/minm2/min的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與(y)（注：m表示長(zhǎng)度單位米min表示時(shí)間單位分解：(1)t時(shí)刻,液面的高度為y，則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積為2y)4t從而t2y……2要求，當(dāng)以3m3/minm2/min的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與(y)（注：m表示長(zhǎng)度單位米min表示時(shí)間單位分解：(1)t時(shí)刻,液面的高度為y，則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積為2y)4t從而t2y……2……4y(2)液面的高度為y時(shí)，液體的體積為 (u)du3t32(y)20求導(dǎo)，得解此微分方程，得(yCe6,其中C成為任意常數(shù).由(0)2知C2，故所求曲線方程為x2e6……6……8……10（10分）設(shè)函數(shù)f(x)的閉區(qū)間[ab上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)f(2xaxxab2a (1)在abf(x0；(2)在ab內(nèi)存在點(diǎn)；f(bfaf()(b2a2) f(3)在ab內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)b.af(2xa存在,limf(2xa0,f(x在[abf(a0證xf(x)0f(x在a,bf(xf(a0,x(a……3x(2)記F(x)x,g(x) f(t)dt(ax2……5ag(xf(x0F(xg(x滿足柯西中值定理的條件，于是在ab內(nèi)存在點(diǎn)b2af(F(b)b2(x2使……7bg(b)baxf(t)dt f ffaaaa(3)f(f(0f(f(a，在a,……9 b2 b,()(ba) f(x)dx……10f()(aafa2003年?第19 0 a相似于對(duì)角矩陣，試確定常數(shù)a6000|EA( 0 a相似于對(duì)角矩陣，試確定常數(shù)a6000|EA(6)[(2)216](6)2(A的特征值為126……3A相似于對(duì)角矩陣，故對(duì)應(yīng)于126應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此知陣線6EA的秩應(yīng)為1.4000400 從而由6EAaa，知a0……5 000 01于是對(duì)應(yīng)于6的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量可取為02 1210001 當(dāng)32EA0 00 12x1 ，得對(duì)應(yīng)于32的特征向量32……9x 30 11P 2PPAP……10002003年?第20數(shù)學(xué)（三一、填空題：（本題6小題，每小424分,(1)f(x，其導(dǎo)數(shù)在x0處連續(xù)，則的取值范圍是 x 若x【答】應(yīng)填2f數(shù)學(xué)（三一、填空題：（本題6小題，每小424分,(1)f(x，其導(dǎo)數(shù)在x0處連續(xù)，則的取值范圍是 x 若x【答】應(yīng)填2f(xx0處連續(xù)，故limf(xf(0).f(0)與limf(x存在xcos1fxf0x0lim limx1cos1，反證易見(jiàn)1；f0xx同理，由limfxlim(x1cos1x2sin1，反證易見(jiàn)2xx又顯然在2時(shí)，有l(wèi)imf(xf(0)0.故所求的取值范圍是2(2)已知曲線yx33a2xb與x軸相切，則b2可以通過(guò)a表示為b2 【答】應(yīng)填4a6【解】由題設(shè)x軸是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為x00，則y(x0)x33a2xb.于是有x2a2，且b24a6，即00y(x)03x23a2 0 0x(3)設(shè)a0f(x)g(x)D表示全平面，其他If(x)g(yx)dxdy D【答】應(yīng)填a2 0yxa2 (x,y)fxgyx【解】易見(jiàn)gyx，(x,y)其他D1xy|0x1,xy1x}D2DD1.1f(x)g(yx)dxdya2dxdy0dxdy ady22I0xD設(shè)n維向量a,0,L,0,a)Ta0.E是n維單位矩陣，AETBE1Ta其中A的逆矩陣為B，則a 2003年?第21【答】應(yīng)填BAABE，即(ET)(E1TEaE1TT1TTE，于是1112a2T0aa【答】應(yīng)填BAABE，即(ET)(E1TEaE1TT1TTE，于是1112a2T0aaaa由于T0112a0，即2a2a10，亦即2a1a10a又由a0，知2a10，故a10，因此a1(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9，若ZX0.4，則Y與Z的相關(guān)系數(shù) 【答】應(yīng)填0.9E{[YEY][ZEZDZDX0.4DXDYZE(Z)(X0.4)E(X0.4)XEX， YXXY0.9(6)設(shè)總X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1X2XnXn1nn時(shí)X依概率收斂 2ni【答】應(yīng)填12 22EXEX1,DXDX1i1,2,Lnii24EX2DXEX211)21i1,2,Ln.iii n1X21in2二、選擇題：（本題6小題，每小424分ff(0)g(x)設(shè)f(x)x0(C)x0(Dx(B)x(D)xfx0g(x)x0g(x的間斷點(diǎn).f(xxf(x)limf(x)f(0)數(shù)及f(0)存在，知limg(x)f(0)，因此g(x)xx2003年?第22x0x0g(x的可去間斷點(diǎn).(Df(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)等于零f(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)大于零f(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)小于零f(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)不存在(A【解】因可微函數(shù)f(x,y)點(diǎn)(x0y0取得極小值，故對(duì)(x0y0xx0f(x0yx0x0g(x的可去間斷點(diǎn).(Df(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)等于零f(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)大于零f(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)小于零f(x0yyy0處的導(dǎo)數(shù)不存在(A【解】因可微函數(shù)f(x,y)點(diǎn)(x0y0取得極小值，故對(duì)(x0y0xx0f(x0yf(x0yyy0f(x0yy0(A，qn1,2,L(3)nn22(A)若an條件收斂，則pn與qn(B)若an絕對(duì)收斂，則pn與qn(C)若an條件收斂，則pn與qn的收斂性不(D)若an絕對(duì)收斂，則pn與qn的收斂性不【解】對(duì)于選項(xiàng)(A)和(C)，若an條件收斂，則an收斂，且11121 與 paa都發(fā)散，故排除選項(xiàng)(A)和222條件收斂，則an收斂，且對(duì)于選項(xiàng)(B)和(D)，若收斂，因而此時(shí)111anan與pn2222 b bA的伴隨矩陣的秩等1，則ab2003年?第23ananab或a2bab且aab或a2bab且a2b(C)(B)ab或a2b(D)ab且a2b【解】因rA*1，故由rA*rA)的關(guān)系，知rA)2.于是有|A|0，即(ab)2a2b0.由于ab時(shí)，有rA1，從而rA*01，與題設(shè)矛盾，因此有ab，且a2b0.故選(C).設(shè)1,2,,s均為n若對(duì)于任意一組不全為零得數(shù)k1k2ks，都有k11k22kss0，則1,2,,s線性無(wú)關(guān).若1,2,,s線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零得數(shù)k1k2ksk11k22kss0(B)對(duì)于選項(xiàng)(D)，根據(jù)“部分相關(guān)，一定整體相關(guān)”這一結(jié)論知，該說(shuō)法正確對(duì)于選項(xiàng)(B)，按照定義，向量組線性相關(guān)是指“存在一組不全為零得數(shù)k1k2ks，使k11k22kss0”.這里把“存在”該成了“任意”，因而結(jié)論不正確，故面}A3{正反面各出現(xiàn)一次}A4{正面出現(xiàn)兩次}，則事件(A)A1A2A3(C)A1A2A3(C)(B)A2A3A4(D)A2A3A4A4生A1A2必發(fā)生，因此A4A2不獨(dú)立，因而可排除(D)；故(C1112三（本題滿分8分）設(shè)f(x) sin (1f(x在1,1]上連續(xù)22003年?第24解：y1x1lim(1x)sin1limysinlimf(x)……2(1x)sin ysinx1limysin21limcos……4221lim2sin12111由于f(x)在[,1)上連續(xù)，因此定義f(1) 就可使f(x)在,1]上連續(xù)……解：y1x1lim(1x)sin1limysinlimf(x)……2(1x)sin ysinx1limysin21limcos……4221lim2sin12111由于f(x)在[,1)上連續(xù)，因此定義f(1) 就可使f(x)在,1]上連續(xù)……82222u21（8分）f(uv)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足221g(x,y)f[xy, (xy，求 y .2gyfxgxfy,……2x 2222 22故4x2u22v2x2y……6yuv22xy 22yxy 22 ……8x yuv五、（本題滿8分）計(jì)算二重積分Ie(x2y2)sin(x2y2)dxdy，其中積分區(qū)DD{(x,y)|x2y2解：xrcosyrsin rersinr2Ie(x2y2)sin(x2y2)dxdy ……200D令tr2，則I e ……40記A esindt，00A sin[esinecosdt] cos0000[etcossintdt] 1……602003年?第25因此A1(1e)，從而 (1)(1e)……8222x2n因此A1(1e)，從而 (1)(1e)……8222x2n1)f(x及其極值( 1x解：f(x)(1)nx ……2x 1上式兩邊從0xf(xf(0)2dt ln(1x2……4012f(0)1,f(x11ln(1x22……5……61f(x,f(0)10,f(xx0f(0)1……9(1x2（9分）F(x)f(x)g(x),，其中函數(shù)f(xg(x在(,)f(xg(xg(xf(xf(0)0,f(xg(x)2ex(1)F(x所滿足的一階微分方程(2)F(x的表達(dá)式(1)F(xf(x)g(xg(xf(x)g2xf2[f(x)g(x)]22f(x)g(x)(2ex)22FF(x所滿足的一階微分方程為F(x2F(x)(2)F(x)e2dx[4e4xe2dxdx……2……6e2x[4e4xdxC]Ce2……7……9F(0)f(0g(0)0代入上式，得C1F(xf(0)f(1)f(2)3f(3)1.試證：必存在(0,3f(和最小值m，于是mf(0)Mmf(1)Mmf(2)M……2f(0)f(1)f因此mM.故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)c[0,2]3f(0)f(1)f(2)f(c)……43f(c1f(3f(x在[c,3]上連續(xù)，在(c,3)2003年?第26在(c3)(0,3，使f(……8(a1b)x1a2x2a3xLanxnax(ab)xaxLax在(c3)(0,3，使f(……8(a1b)x1a2x2a3xLanxnax(ab)xaxLax1 n（本題滿13分）已知齊次線性方程組a1x1a2x2a3b)xLanxn0LLLLLLa1x1a2x2a3xL(anb)xnn其中ai0.試討論a1a2Lan和b滿足何種關(guān)系時(shí)(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系aKaan|Aa (b a……51M2M3nManMn當(dāng)b0且bai0時(shí)，秩An，方程組僅有零解……5(2)當(dāng)b0時(shí)，原方程組的同解方程組為a1x1a2xLanxnn由ai0可知，ai(i1,2,Ln不全為零.不妨設(shè)a10(an,0,a(a2,1,0,L,0)T,(a3,0,1,L,0)T,……1012aa111n當(dāng)b時(shí)，有b0LL10M0001M00na110M001M0LaniML0M0M1x1,x3x1,L,xn……132003年?第27f(xxxXTAXax22x22x22bxx(b0)A1 1231和為1，特征值之積為12求ab的值利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣020f(xxxXTAXax22x22x22bxx(b0)A1 1231和為1，特征值之積為12求ab的值利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣020b1：(1)fA0……1設(shè)A的特征值為i(i1,2,3).由題設(shè)，有123a22)1a0b020b01234a2b212，解得a1,b……40000(2)由矩A|EA(2)2(A的特征值122,……6對(duì)于122，解齊次線性方程組(2EA)X0……8對(duì)于 3，解齊次線性方程組(0,得基礎(chǔ)解系(1,0,2)……10由于1,2,3已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組,只需將1,2單位化，由此 12 )T，(0,1,0)T， )T123 5525015150010令矩陣Q1,2,3……12250200QY下，有QTAQ0且Qf2y22y23y……131232003年?第28020b2(1)fA0……1 EA 0(020b2(1)fA0……1 EA 0(2)[2(a2)(2ab2……3 設(shè)A的特征值為12,3，則12,23a2,23(2ab2，由題設(shè)得1232a2)1，且1232(2ab212.解的a1,b2(2)由(1)可得A得特征值為122,33……5……61若x,F(xX的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量YFX的分布函數(shù)x1f(x0x8F(x1；x其……2 xF(x)dtx3t21設(shè)Gy是YF(xy0時(shí)，有G(x)0y1時(shí)，有G(x)1y(0,1時(shí)，有GyP{YyP{FXyF[(y1)3]X1y}P{X(yy若0yy于是YF(x的分布函數(shù)為Gy) ~.而Yf(x，求隨機(jī)變量UXYg(uX 解：Fy是Y的分布函數(shù)，則有全概率公式，知UXY2003年?第29G(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|0.3PYu1|X10.7PYuG(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|0.3PYu1|X10.7PYu2|XX和Y獨(dú)立，可見(jiàn)G(u0.3PYu10.7PYu0.3Fu10.7F(u由此，得U的概率密度g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u0.3f(u1)0.7f(u……4……13數(shù)學(xué)（四一、填空題：（6小題，每小4分24分2(1)極限lim[1ln(1x)]x 【答】應(yīng)填e222ln(1【解】因limln[1ln(1x)]x 2xxx故原式e21 (|x| dx .應(yīng)填2(12e1因在區(qū)間1,1上|x|e|x|為偶函數(shù)，而xe|x|為奇函數(shù)，1111(|x| dx xedx 2(xex1 edx)xxx2e)0000(3)(3) 20402則(AE)1 1 0001【解】由AB2AB，得ABB2A2E2E，即AE (B2E)22003年?第30 2 1故AE11B2E1 0 02 20 000 (4)X和Y0.5EXE(X 2 1故AE11B2E1 0 02 20 000 (4)X和Y0.5EXE(XY)2 0EX2EY22【答】應(yīng)填6【解】因0.5X,YcovX,Y EXYEX EXY DXDXDXE(XY)0.5DXDY0.5EX2(EX)2EY2(EY)20.522EXY)2EX22EXYEY22226二、選擇題：（6小題，每小4分24分1(1)yxe(A)僅有水平漸進(jìn)線(B)僅有鉛直漸近線(D)既有鉛直又有斜漸近線(D1【解】因limxex2不存在，故曲線沒(méi)有水平漸近線，可排除選項(xiàng)(A)和1又由limxex2lim lim2tet2，知曲線有鉛直漸近線x0ttt111limex21，且blim(xex2x)lime1lim再由alim0xt(2)設(shè)函f(x|x31|(x，其中(xx1處連續(xù)，則(1)0f(xx1處(A)(A lim1xx2x2003年?第31x3xlim1xx2x31xf(xx1處可導(dǎo)的充要條件為3lim1xx2x31xf(xx1處可導(dǎo)的充要條件為3131，即10.(A(3)(2)0101(4)設(shè)矩B0AB，則秩A2E與秩AE (C) A~BA2E~B2EAEBE.rA2Er(B2ErAE)r(BE.rA2ErAEr(B2Er(BE314.(C)(A)AB，則AB一定獨(dú)立(C)AB，則AB一定獨(dú)立(B)(B)AB，則AB有