江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義

江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-導(dǎo)數(shù)的概念和幾何

意義

一、單選題

1.（2022?江蘇?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線與產(chǎn)alnx-1存在公切線，則

正實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.（0,冽B.（0,e]C.[2e,+oo）D.（e,2e]

2.（2022?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=cos2x,xw（0,兀）在x=x。處的切線斜率

8

為貝依也飛一^^^/二（）

3八3「3石n3石

A.--B.-L?-------kJ?------

5555

3.（2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)/⑴4%2-24（奴+4（”0）在點(diǎn)（冬/⑷）

處的切線方程為y=/（a）,則。=（）

A.-1或1B._空或空C.-2或2D.-生叵或勺叵

3333

4.（2022?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線y=llnx|的兩條互相垂直的切線

//,切點(diǎn)分別為％鳥（/鳥不重合），設(shè)直線//分別與y軸交于點(diǎn)A,B,則A48P

面積的取值范圍為（）

A.B.（0,1）C.D.（0,2]

5.（2022?江蘇?南京市雨花臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（x）=e'-2x圖象在點(diǎn)（%,/（%））處

的切線方程為y=H+。，則％-b的最小值為（）

A.—2B.-2+-C.—D.-2—

eee

二、多選題

6.（2022.江蘇.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)f（x）=（x2+ar+a）eT（aeR）的導(dǎo)函數(shù)f（x）存在兩個(gè)

零點(diǎn)七、%（辦〉〈）,當(dāng)。變化時(shí)，記點(diǎn)（xJ（xJ）構(gòu)成的曲線為C一點(diǎn)（孫/（七））構(gòu)

成的曲線為Cz，則（）

A.曲線G恒在X軸上方

B.曲線G與C2有唯一公共點(diǎn)

c.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)f,直線y=f與曲線C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

D.存在實(shí)數(shù)加，使得曲線C］、c?分布在直線y=-x+機(jī)兩側(cè)

7.（2022.江蘇徐州.模擬預(yù)測(cè)）阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,

享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).若拋物線上任意兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P,則稱aPAB為“阿

基米德三角形己知拋物線f=8），的焦點(diǎn)為尸，過(guò)拋物線上兩點(diǎn)力，8的直線的方程

為x-y+2=0,弦A8的中點(diǎn)為C,則關(guān)于“阿基米德三角形“△PAB,下列結(jié)論正確的

是（）

A.點(diǎn)P（6,-2）B.PC_Lx軸C.PA1PBD.PFLAB

8.（2022?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知。>0力>0,直線y=x+2a與曲線丫=4-〃+1相

切，則下列不等式一定成立的是（）

A.ah<-B.-+->9C.^a2+b2D.右+標(biāo)4逅

9ab52

9.（2022?江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線/過(guò)拋物線C：V=4），的焦點(diǎn)凡且直線

/與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)G,設(shè)

4（石,弘）,8（々,必），則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.B.以線段AF為直徑的圓與y="相切

C.GFLABD.當(dāng)衣=2麗時(shí)，直線/的斜率為±2近

三、填空題

10.（2022.江蘇.阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0,直線y=x+。與曲線

21

y=e'T-2"1相切，則一+工的最小值為___________.

ab

11.（2022.江蘇南通.模擬預(yù)測(cè)）過(guò)拋物線C：V=4y的準(zhǔn)線/上一點(diǎn)P作C的切線外,

PB,切點(diǎn)分別為A,B,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q,則|PQ|的最小值為.

12.（2022.江蘇.揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）=x2+2ax,

g（x）=4a?lnx+b,設(shè)兩曲線y=f（x）,y=g（x）有公共點(diǎn)p,且在P點(diǎn)處的切線相同，

當(dāng)ae（O,+e）時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是.

四、解答題

13.(2022.江蘇?南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=cosx+ln(x+l).

(1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程：

(2)判斷函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

14.(2022?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xlnx-ae*-x2,/(x)是函數(shù)/*)的導(dǎo)

函數(shù)，且/0)在(0,+8)上單調(diào)遞增，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求|x)圖像在x=l處的切線方程：

(2)若函數(shù)對(duì)任意的xe[l,+e)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

15.(2022?江蘇?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃幻=覺'+尻osx+g/(其中”，/：,為實(shí)數(shù))的圖

象在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為y=x.

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)證明：方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個(gè)實(shí)根.

16.(2022.江蘇?南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(x)=e'+asin2x+6

(1)當(dāng)a=；,xe[0,+?)時(shí)，/(x)20恒成立，求b的范圍；

(2)若/⑶在x=0處的切線為x—y—l=0,K/W>ln(x+m)-2,求整數(shù)機(jī)的最大值.

17.(2022?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x-lnx.

(1)已知直線>=心是曲線y=/(x)的一條切線，求k的值；

⑵若函數(shù)y=/(x)-x-t+l(，“eR)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)演，巧，證明：xt+x2>2m.

18.(2022?江蘇南京?三模)在平面直角坐標(biāo)系，中，已知拋物線C：x2=4y,直線/

與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B分別作拋物線的切線，兩切線的交點(diǎn)P在直線y

=x—5上.

⑴若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，；),求AP的長(zhǎng)；

⑵若48=2AP,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

19.(2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)7U)=2ex(x+1)—xsinx一丘一2,k￡R.

(1)若々=0,求曲線y=7(x)在x=0處切線的方程；

⑵討論函數(shù)/U)在[0,+8)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

20.(2022?江蘇?沐陽(yáng)如東中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/江)=(x-m)(x-n)2,m￡R.

(1)若函數(shù)/(x)在點(diǎn)A(/n,f(m))處的切線與在點(diǎn)B(nz+l,/(/n+D)處的切線平

行，求此切線的斜率；

(2)若函數(shù)/(x)滿足：①@f(x)-Axf(x)K)對(duì)于一切xeR恒成立試寫出符合

上述條件的函數(shù)/(x)的一個(gè)解析式，并說(shuō)明你的理由.

21.(2022.江蘇江蘇.二模)已知函數(shù)/(x)=e'-@-alnx.

X

⑴當(dāng)”=一1時(shí)，求曲線產(chǎn)〃X)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=lnx+E，其導(dǎo)函數(shù)為廣(x).

(1)若函數(shù)〃x)在x=l處的切線過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若/'(%)=/'(々)(芭力々)，證明：，(X)+/(々)>3-：.

23.(2022?江蘇?南京市第五高級(jí)中學(xué)一模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線E：x2=2py(p

>0),過(guò)點(diǎn)C(0,2)作直線/交拋物線E于點(diǎn)A、8(其中點(diǎn)A在第一象限)，OAOB=-4

且/=2而(A>0).

(1)求拋物線E的方程；

(2)當(dāng)4=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)A、8的圓與拋物線E在點(diǎn)A處有共同的切線，求該圓的方程

24.(2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=e，-arsinx-A+c的圖象與x軸相切于

原點(diǎn).

(1)求匕，。的值；

(2)若/*)在(0,萬(wàn))上有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

25.(2022?江蘇?南京市寧海中學(xué)二模)已知a>0且awl,函數(shù)/(x)=log“x+g爾.

(1)若。=6,求函數(shù)/(X)在X=1處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

26.(2022?江蘇江蘇?一模)設(shè)函數(shù)/'(x)=-31nx+x3+ax2-2ar,aeR.

⑴求函數(shù)/'(x)在x=l處的切線方程；

⑵若知馬為函數(shù)的兩個(gè)不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)尸伍,〃占)),0(和〃芻))，記直線

PQ的斜率為求證：k+2<x1+x2.

27.(2022?江蘇?南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知aeR,函數(shù)

小)=;x2-ov+41n(x+1).

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線/（x）在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程;

（2）若在區(qū)間（0,+?）上存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

①求。的取值范圍；

②若當(dāng)xNO時(shí)恒有/（x）＞r成立，求實(shí)數(shù)＞的取值范圍.

（參考數(shù)據(jù)：In2ao.69,ln3?1.10）

28.（2022?江蘇?徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）己知a＞0,函數(shù)/（x）=ar-x".

（I）求曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程：

（II）證明/（正存在唯一的極值點(diǎn)

（III）若存在“，使得對(duì)任意xeR成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

V*

29.（2022.江蘇?常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（x）=^+“（lnx-x）,aeR.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=〃x）在x=l處的切線方程；

（2）討論函數(shù)“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

30.（2022?江蘇南京?二模）已知函數(shù)“力="-6-1.

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）若8（力=/（力-/,且g（x）在［0,.）上的最小值為0,求。的取值范圍.

Inv

31.（2022?江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）己知。＞0,函數(shù)

g（x）=ax-\.

（1）當(dāng)。為何值時(shí)，直線y=g（x）是曲線y=/（x）的切線；

（2）是否存在實(shí)數(shù)“，使得g（x）2a-〃at）恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)〃的取值集合；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

五、雙空題

32.（2022?江蘇?海安高級(jí)中學(xué)二模）“以直代曲”是微積分中最基本、最樸素的思想方法,

如在切點(diǎn)附近，可用曲線在該點(diǎn)處的切線近似代替曲線.曲線V=lnx在點(diǎn)（1,0）處的切

線方程為，利用上述“切線近以代替曲線”的思想方法計(jì)算2。%所得結(jié)果

為(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

33.(2022.江蘇連云港?二模)曲線/(x)=f(92,MN)在x=2處的切線與兩坐標(biāo)

軸圍成的封閉圖形的面積為，，則s=,2母=.

i=2

參考答案:

1.A

【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲

線方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出”的取值范圍.

【詳解】設(shè)8(x2,311X2-1),=2x,為'=*占=2%&=￡

切線：y-(x；T)=2X|(x-xJ,即^=2中一6-1

切線：J-(alnx,-l)=—(x-x2),gpy=-x-a+aliu,-1,

X2X2

2%=巴,,、

「.<x2,二.Q=4芍

—Xy-1=—ci+(Awe-,-1

令〃X)=4x2(l-lnx),/,(x)=8x(l-lnr)+4x2(-』)

=8x-8xlnx-4x=4x-8xlnx=4x(1-21rix)=0,x=五

f(x)在(0,〃)上單調(diào)遞增，在(五,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)a=/(8)=2e,ae(0,2e].

故選：A.

2.D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與三角恒等變換公式求解

Q4

【詳解】由題意得/'(x)=—2sin2x,xe(0,7t),則-2sin2x0=g,sin2x0=--

2

(sinx0-cosx0)=1-(—|)=p而%)€(0,兀)，故sinx(>>0,cosx()<0,

3A/5

sinXQ-cosXQ-—-—，

故選：D

3.D

【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得8=2a,根據(jù)切線的斜率為0建立方程求出。即可得解.

【詳解】由/(x)=(x2-2x)(ar+/2)(a*0)nJ^/(x)=67x3+(/?-2(7)x2-2Z?x,

因?yàn)椤?力=一/(力，所以b—2a=0,解得b=2a.

所以V=f(a)=a4-4/,故切線斜率k=f'(a)=0,

答案第1頁(yè)，共40頁(yè)

又尸(X)="(3/_4),所以「(”)=。(3/-4)=0,解得〃=幽或〃=-氈，

33

所以〃=-逋或

33

故選：D

4.B

【分析】設(shè)進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程

4：y=-‘x+lTn%,l2:y=-x-\+\nx2,進(jìn)而根據(jù)兩切線垂直得玉馬=1，再求|A5|的長(zhǎng),

X\X2

22

%=x+],進(jìn)而計(jì)算面積S'""=x+]

A|H--X]H--

【詳解】解：設(shè)爪內(nèi),-1呻),6(々』11無(wú)2)

,1-1

當(dāng)Ovxvl時(shí)，f(x)=—K=一

x%

故切線為：y+ln%=(工一玉)，g|Jy=―--x+1-Inxj

為x\

當(dāng)x>1時(shí)，f\x)=-,k?=一,

xx2

故切線為：y-lnx2=—(^-x2),gpy=-x-\+\nx2

X2X2

兩切線垂直，則二、=T,則入內(nèi)=1

X\X2

所以，A(0,l-lnXj),B(0,lnx2=|l-lnx1-In^+1|=2

v=---x+l-lnx.x2

.王，解得r

x\+一

y=x,x-l-lnx1再

I22

：.SJBP=5——r-2=-j-e(O,l)

X]H--X|H--

故選:B.

5.D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，表示出切線方程，再求出女-人的表達(dá)式，最后借助導(dǎo)數(shù)即可作答.

【詳解】由f(x)=e'-2x求導(dǎo)得：/(x)=e'-2.于是得尸(與)=*-2,

函數(shù)/(x)=e'-2x圖象在點(diǎn)(x。J(x。))處的切線方程為y-(e&-2%)=(*-2)(x-x°),

答案第2頁(yè)，共40頁(yè)

整理得：從而得。-k-b=xe^-2

y=(^-2)x+(1-x0)^,Z="2,6=(1—/)6/，Q9

令g(x)=x/-2,則g<x)="+l)，，當(dāng)xv-l時(shí)，gXx)<0,當(dāng)%>-1時(shí)，g'(x)>0,

于是得g(x)在(f，T)上單調(diào)遞減，在(-1,”)上單調(diào)遞增，貝lJg(X)min=g(T)=-2-1,

e

所以z-b的最小值為-2-L

e

故選：D

6.AD

v-4-0

【分析】求出曲線G、C2對(duì)于的方程，數(shù)形結(jié)合可判斷ABC選項(xiàng)；求出函數(shù)9(力=合在

x=0處的切線方程，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?(x)=(x2+ox+a)eT(aeR),則/'(x)=[(2—a)x—/上一，

令/'(x)=0可得x=0或x=2-a,

因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)為、xjxew),則2-awO,即a#2.

當(dāng)2-a<0時(shí)，即當(dāng)a>2時(shí)，占=0,則f(x)=a>2,

當(dāng)2—a>0時(shí)，即當(dāng)q<2時(shí)，xt=2-a,則/a)=/(2_a)=(4_a)e"-2=(可+2)e/，

則曲線G為函數(shù)g(力=(x+2)e-、(x>0)的圖象以及射線x=0(y>2),

且當(dāng)x>0時(shí),g(x)=(x+2)e-*>0,所以，曲線G在龍軸上方，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)2-"0時(shí)，即當(dāng)a>2時(shí)，x2=2-a,

則/(%)=/(2-0=(4-”段々=(與+2)e』,

當(dāng)2-。>0時(shí)，即當(dāng)a<2時(shí)，-^2=0,則/(赴)=。<2

所以，曲線。2為函數(shù)力(刈=(》+2)b.<0)的圖象以及射線x=0(y<2),

由圖可知，曲線G、G無(wú)公共點(diǎn)，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)8(司=9，短")=1一(；+2)=一晝<0,

此時(shí)函數(shù)g(x)在(0,+巧上單調(diào)遞減，且g(x)>0,

結(jié)合圖象可知，當(dāng),“40時(shí)，直線與曲線G沒有公共點(diǎn)，C錯(cuò)；

答案第3頁(yè)，共40頁(yè)

y_1_OV*_1_1

對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)9(x)=h，d(x)=-+，貝Ud(O)=-l,

又因?yàn)椤?0)=2,所以，曲線)，=°(1)在x=0處的切線方程為>一2=—“，即y=-x+2.

Y-4-)y*_|_O

構(gòu)造函數(shù)2(》)=于一(一x+2)=子+x-2,則0(0)=0,

A

f/、.x+1e-x—1

P(X)=Ir=—;—，

''ee

令m(x)=e'-X-1,則加(x)=e，-1,

當(dāng)x<0時(shí)，質(zhì)(x)v0,此時(shí)函數(shù)〃z(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，m(^)>0,此時(shí)函數(shù)〃?(力單調(diào)遞增，

所以，加(X)*(0)=0,所以，//(X)=ef0且以6不恒為零,

所以，函數(shù)P(X)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)x<0時(shí)，p(x)<p(O)=O,即姿<-x+2,

當(dāng)x>0時(shí)，p(x)>p(0)=0,即->-x+2,

所以，曲線C|、C?分布在直線y=-x+2的兩側(cè)，D對(duì).

故選：AD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象的相關(guān)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于求出兩曲線的方程,

作出圖形，利用圖形以及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解.

7.BCD

【分析】設(shè)Aa，*),B(w，%),聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合導(dǎo)

數(shù)逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).

答案第4頁(yè)，共40頁(yè)

【詳解】由1；：：：：消y可得Y_8X-16=0

令A(yù)（不，X）,8（X2，%），X+々=8,玉w=-16,

x2,x芭

y=—,y=-,kPA=—,

84P44

2o

玉—王玉

PA:y=今（大一用）+———X---，尸3:y=&上

84848

NX：x+x^

y=-X——-x=iL4

42

8,解得，尸（4,—2）,A錯(cuò).

_%入2_q

y=-x——-y-0一/

I-488

%=^4^=4，，PC_Lx軸，B對(duì)?.

-2-2

kpF——~~~=-1,&A8=l,kpF,ICAR=-1,??PF_LAJB，D對(duì).

4—0

k-k「B—,=-1,?*.PAJ_PB，C對(duì),

PA16

故選：BCD.

8.BCD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得為+6=1,再根據(jù)基本不等式與柯西不等式可判斷出答案.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（%，%）,

因?yàn)閥'=e、T,所以e3=I,得%=1,

所以1+2?=2-。，所以2a+6=l,

對(duì)于A,\=2a+b>2>/2ab>所以當(dāng)且僅當(dāng)4=）,6=:時(shí)，等號(hào)成立，故A不正

o42

確；

對(duì)于B,-+7=（-+7）（2a+/>）=5+—+^>5+274=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=:時(shí)，等號(hào)成立,

ababab3

故B正確；

2222

對(duì)于C,\Ja+h=+（1-2a）=于-4a+1=J5（6Z——）+—>,當(dāng)且僅當(dāng)。=不

V5555

b=g時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；

對(duì)于D,（6+揚(yáng)）24［（岳）2+（揚(yáng)）］.（4）2+產(chǎn)=（2〃+份.|=|,

答案第5頁(yè)，共40頁(yè)

_[742a__4b_.i

所以&+亞4也,當(dāng)且僅當(dāng)黃一丁，又勿+。=1,即時(shí)，等號(hào)成立.

2—63

2

故選：BCD

9.AC

【分析】A選項(xiàng)，直接聯(lián)立韋達(dá)定理求解；B選項(xiàng)，計(jì)算出圓心到丫=-31的距離和半徑進(jìn)

行比較；C選項(xiàng)，寫出A,2兩點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)G坐標(biāo)，

通過(guò)向量檢驗(yàn)垂直關(guān)系；D選項(xiàng)，利用標(biāo)=2而，求出48兩點(diǎn)坐標(biāo)，直接計(jì)算斜率.

對(duì)于A,拋物線的焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程y=-i,設(shè)直線/的方程)-丘+1,與拋物線方程

聯(lián)立得/-4依-4=0,?",￡=-4,正確；

對(duì)于B,AF=yt+l,以線段AF為直徑的圓圓心為空)，到直線)，=-2的距離為

4.4AF3

手vX芋，所以以線段A尸為直徑的圓不與y=-1相切，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=^x2,y'=^-x,點(diǎn)A處的切線方程為y-八=^(x-%.),即y:五工一日，

422'"24

點(diǎn)B處的切線方程為)，=e彳-迂，聯(lián)立得G(土井，安],

24\24J

即G(2&,-1),GF=(-2k,2),AB=(x2-xi,y2-yi')=(x2-xl,kx2-kxl),GF-AB=0,故

GF±AB,正確；

對(duì)于D,^F=2FB，-也=2%，xt-x2=-4,解得％=土0,當(dāng)々=近時(shí)，

答案第6頁(yè)，共40頁(yè)

-Tr

X=-2①《_4_W+斗=,錯(cuò)誤.

x2-x}x2-Xj44

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D的判斷，C選項(xiàng)要通過(guò)導(dǎo)數(shù)寫出A,8兩點(diǎn)處的切線方程,

進(jìn)而聯(lián)立求出點(diǎn)G坐標(biāo)，D選項(xiàng)將標(biāo)=2而轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)關(guān)系，

求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo).

10.8

【分析】設(shè)直線丫=*+4與曲線了=01-2，+1相切于點(diǎn)(%,%),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求

出進(jìn)而得到關(guān)系。+力=1,再由均值不等式可得出答案.

【詳解】設(shè)直線y=x+a與曲線y=--2b+1相切于點(diǎn)(%,%)

由函數(shù)y=ex-'-2b+\的導(dǎo)函數(shù)為y'=*,貝此=/1=e^'=1

解得*。=1

所以%=1+。=2—2A,即a+2Z?=l

21—J21A_4b〃-△[4b~~~a

則mil—i—=z(a+2Z>)—i—=4H-----1—>4+2J—x—=8o

abb)abNab

當(dāng)且僅當(dāng)竺=：,即a=:,〃=!時(shí)取得等號(hào).

ah24

故答案為：8

11.2

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在A和8的切線方程，根據(jù)切線過(guò)P得A和B滿足的方程，

從而求得AB所在直線方程，聯(lián)立直線AB方程與拋物線方程求出Q點(diǎn)坐標(biāo),從而求出歸。|的

表達(dá)式，根據(jù)表示式即可求其最小值.

【詳解】V=4y=>y==_/=；》，

設(shè)A(x”X),8伍,必)，P(肛T),則片=4吠,X；=4%,

則切線%:y-y1=gx|(x_xjn2y-2%=2y-2y=X|X-4y=2y+2M=%x,

?切線過(guò)P,.?.叫=2y-2,

同理，mx2=2y2-2,

答案第7頁(yè)，共40頁(yè)

.,.直線AB方程為：mx=2y-2.

由｛,；得，y-（2+m）y+l=O,

[x=4y''

則X+必=2+機(jī)2,A+占=2A二+2%-2=2（2+"）-4=—=2m>

mmmtn

（m2

則。加,1+7，

則|「°|=柒￡+2）=1+222,

即|PQ|最小值為2

故答案為：2.

12.2&

【分析】由題意可得/伍）=8（%）,/（不）=乳不），聯(lián)立后把b用含有a的代數(shù)式表示,

再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案.

【詳解】設(shè)尸（七,%）,

f（x）=2x+2a,^1（x）=~-

由題意知,f（%）=g（%），/（為）=4（%）,

2

即片+2ax°=4alnxl）+b,①

八八4/

2x0+2。=---,②

%

解②得%=?；?=-2〃（舍），

代入①得：b=3a1-Serina?G（O,-HX>）,

h>=6a-Salna-4a=2a（l-4bm）,

（￡\（IA

當(dāng)0,e4時(shí)，/?*>0,當(dāng)awe4,+oo時(shí)，h'<0.

答案第8頁(yè)，共40頁(yè)

.??實(shí)數(shù)b的最大值是b3=3口4&癡=28.

\7

故答案為2G.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練

了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題.

13.⑴y=x+l

(2)/(x)在區(qū)間(-1,一)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可;

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.

(1)

ru)=-sinx+-,r(o)=ij(o)=i

x+1

所以函數(shù)/(X)的圖象在x=o處的切線方程為y-l=x,

即y=x+l.

⑵

設(shè)g(x)=/'(x)=-sinx+占，則g'(x)=T°sx,

①當(dāng)xe-1,向時(shí)，g，(x)<0,所以g(x)=/'(x)單調(diào)遞減;

且g(o)=r(o)=i>o,g(￡H'圖<°，

由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間上用存在唯一的明使g(a)=r(a)=O

又當(dāng)xe(-1。)時(shí)，g(x)=f'(x)>0；當(dāng)時(shí)，g(x)=/'(x)<0,

所以./"(》)=8$犬+111(犬+1)在(-1,￡)上單調(diào)遞增，

且〃())=1>0,J-l)=cos(j-l]+ln(j)=cos(J-1)-2<0,

所以“X)在(T,a)上有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),/⑺單調(diào)遞減,且/圖Tn(l+￡j>0,

答案第9頁(yè)，共40頁(yè)

所以/(X)在(a，T)上沒有零點(diǎn).

②當(dāng)1€仁,萬(wàn))時(shí),

g'(x)單調(diào)遞增，g'圖<0，8'(萬(wàn))=1一武產(chǎn)°，

所以g'(x)在區(qū)間5，%J有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x=。,

當(dāng)〃時(shí)，g,(x)<0,此時(shí)g(x)=/'(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(￡㈤時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)g(x)=/'(x)單調(diào)遞增;

在區(qū)間上g'(x)<0,此時(shí)g(x)=/'(x)單調(diào)遞減，

且8圖=/圖<0,故有/'(x)<0,此時(shí)/(無(wú))單調(diào)遞減,且/圖=ln(唱>0,

由g'(尸)=0，得cos力=_(1+；］,

所以/⑶……(1+小四+夕)-焉>呼+夕)-高>ln2-->0

2

當(dāng)xe(夕㈤時(shí),g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增,

/5萬(wàn)15萬(wàn)161八「

又或不卜3不-言7=了一不可>°,嗯~又叫,

卜利卜利6

答案第10頁(yè)，共40頁(yè)

所以存在了《葛,左)，使g(y)=o,即/'(/)=o,故x=y為“X)的極小值點(diǎn).

此時(shí)/(/)=cos/+ln(/+l)>ln[葛+1j+cos/>1+cos/>0.

所以/(x)在(5,")上沒有零點(diǎn).

③當(dāng)xw(肛+8)時(shí),ln(l+x)>ln(l+7r)>l,

所以/(x)=cosx+ln(l+x)>l+cosxN。，所以/'(x)在區(qū)間(萬(wàn),+<?)上沒有零點(diǎn).

綜上/(x)在區(qū)間(-1,鐘)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：己知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍：

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

14.⑴x+y=0

c2

(2)a<——

e

【分析】對(duì)于小問(wèn)1:求出切點(diǎn)坐標(biāo)與在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即可求得切線方程；

對(duì)于小問(wèn)2：首先根據(jù)題干中f(x)在((),一)上單調(diào)遞增這個(gè)條件，把“進(jìn)行參變分離，然

后構(gòu)造函數(shù)即可得到”的一個(gè)范圍；對(duì)于/(xRx對(duì)任意的xe[l,+s)恒成立這個(gè)條件，再

把。進(jìn)行參變分離，然后構(gòu)造函數(shù)即可得到〃的另一個(gè)范圍，兩個(gè)范圍共同確定出實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

(1)

因?yàn)閒(x)=xlnx-x2,所以/(x)=lnx+l-2x,(x>0)

/(1)=-1,即切點(diǎn)為(1,-1),/(1)=-1,

所以切線方程為y+i=-(xT),即x+y=o.

⑵

答案第II頁(yè)，共40頁(yè)

f(x)=x\nx-aex-x1,所以/(x)=lnx+l-〃eX-2x,(x>0).

令h{x}=f\x)=\nx-ae-2x+\f因?yàn)?'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

ii_7v

則〃'(1)=一—。/一220對(duì)0^>0恒成立，即—1對(duì)Vx>0恒成立.

xxe

令％(幻=空，因?yàn)椤?x)=(2x+2(；T),所以x=l時(shí)，％(x)最大值為二，

xexee

所以L

e

因?yàn)?'(x)在(。，+°°)上單調(diào)遞增，由/(l)=-l-ae>0,

所以xNl時(shí)，f(x)=lnx+l-tzev-2x>/(1)>0,

所以/(x)=Enx-ae"在[1,鈣)上單調(diào)遞增，又/(I)=-l-ae>0

所以之〃1注0,所以|〃x)|=/(x)

因?yàn)楹瘮?shù)|/(可|。對(duì)任意的“?1,+8)恒成立.

所以xlnx-ae'-f-xN0對(duì)任意的x￡[1,+功恒成立，

即。4xlnx-x一對(duì)任意的％w[1,+8)恒成立.

e

令Mx)Jnx--x,則〃7(x)=d)(『nx)2

e*e

2

所以機(jī)(x)在[1,”)上單調(diào)遞增，所以MJ(X)2制1)=-；,

所以。綜上

ee

【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)函數(shù)恒成立，進(jìn)行參變分離的解題方法，需要注意本題需要分離兩

次，要考慮全面.

(a-1,

15.⑴

[p=-l.

(2)證明見解析

f(0)=a+b=0

【分析】(1)求導(dǎo)，得f'(x)=ae*-bsinx+x由題知解方程得解.

r(o)=a=i

(2)令g(x)=lnx+sinx,分三種情況討論：當(dāng)xe[%,+co),xe(0,l)時(shí)

答案第12頁(yè)，共40頁(yè)

g（x）的零點(diǎn)情況；令e（x）=/（x）-|lnx+sinx|,分兩種情況討論：當(dāng)XG（O,%）,xe（為,”）

時(shí)，對(duì)9（x）求導(dǎo)，借助9（x）單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理，判斷奴x）的零點(diǎn)情況，進(jìn)而得證.

(1)

因?yàn)?(x)=ae"+bcosx+g*2,所以f'(x)=aex-hsinx+x.

因?yàn)閥=/(x)的圖象在(oj(。))處的切線為y=x,

f(O')=a+b=O。=1,

所以解得

尸(0)=a=lb=-\.

(2)

令函數(shù)g(x)=lnx+sinx,定義域?yàn)?0,+8).

當(dāng)xe[zr,+oo)時(shí)，lnx>l,sinx>-l,所以g(x)=lnx+sinx>0；

當(dāng)時(shí)，lnx>(),sinx>(),所以g(x)=Inx+sinx>0；

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，由g'(x)=工+cosx>0知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

X

又86=4111>0,8(：)=-1+$出：<0且函數(shù)連續(xù)不間斷，

所以肛,e(0,l)，有g(shù)(x0)=lnx0+sinA0=0.

綜上所述，函數(shù)g（x）在（0,+8）有唯一的零點(diǎn)x°e（0,l）,且g（x）在（0,不）上恒小于零，在

（花,內(nèi)）上恒大于零.

令函數(shù)9(x)=,f(x)-|lnx+sinx|,討論如下:

①當(dāng)xe(°,x())rj,9(x)=f(x)-|lnx+sinx|=e*-cosx+gx?+[nx+sinx,

求導(dǎo)得=ev+(sinx+cosx)+^+—j.

因?yàn)閤22,sinx+cosx2-五,所以(p\x)=e*+(sinx+cos%)+(x+，)>0,

即函數(shù)9（x）在（0,為）單調(diào)遞增.

又因?yàn)閑(工0)=e"-cos%+gx；+lnx()+sinx0=(e"-cos/>+gx；>0,

0(e3)=e，3-cose34-^-e-6-3+sine3ee34-^-e-6+sine3-3j-cose3<0,

所以函數(shù)。"）在（0,不）存在唯一的零點(diǎn),

所以方程/（x）=|lnx+sinx|在（0,x。）上有唯一的零點(diǎn).

答案第13頁(yè)，共40頁(yè)

②當(dāng)xe(與,+<?)時(shí)，(p(x)=/(x)-|lnx+sinx|=ex-cosx+^x2-Inx-sinx.

法一：由(1)易證e*-cosx+L?>x在(0,+8)上恒成立.

2

事實(shí)上，令〃(x)=e"-cosx+gx?-X，貝!]l(x)=e*+sinx+x-l.

因?yàn)椤ā?x)=e*+(cosx+l)>0,所以"(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以/?(%)>/7(0)=0,即/?(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

所以/?(x)>〃(0)=0,即e'-cosx+'x)>x在(0,+8)上恒成立.

2

1、

從而tp(x')=er-COSX+—x"-lnx-sinx>x-lnx-sinx>x-lnx-l>O,

所以方程f(x)=|Inx+sinx|在(為,內(nèi))上無(wú)零點(diǎn).

綜上所述，方程〃x)=|lnx+sinx|有且只有一個(gè)實(shí)根.

法二：因?yàn)閤-lNlnx,所以xNln(x+l),

所以e*Nx+1,所以e*-lnxN(x+l)-(x-l)=2,

tl,e't-cosx+—x2-lnx-sinx>(2-sinx-cosx)+—x2>0,

22

所以方程f(x)=|Inx+sinx|在(飛，行))上無(wú)零點(diǎn).

綜上所述，方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個(gè)實(shí)根.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識(shí)點(diǎn)，本題第一問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性,

并借助零點(diǎn)存在性定理研究方程的實(shí)根，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.(l)[-l,+oo);

(2)2

【分析】(1)求出當(dāng)a=；,xe[0,+?))時(shí)/(幻20,只需要/(*)向?已0；(2)先根據(jù)切線的條

件求出參數(shù)”為，在類似(1)中用恒成立的方式來(lái)處理.

(1)

由/(x)=e*+asin2x+￡>，當(dāng)。=；時(shí)，得/'(x)=e*+cos2x.

當(dāng)X￡[0,+oo)時(shí)，ex>l,cos2xe[-l,l],所以,(x)=ex+cos2x>0,即f(x)在[0,+8)上單調(diào)

答案第14頁(yè)，共40頁(yè)

遞增，所以/(x)mm=〃O)=l+。，由/(x)NO恒成立,

得1+AZO,所以bN—1,即。的范圍是[―1,+°°).

⑵

由/(x)=e*+“$[112工+/>得f\x)=e*+2acos2x,且/(O)=1+。.

由題意得尸(O)=e°+2a=1,所以a=O,

又(O,l+b)在切線尤—y—1=0上.

所以0-1—1—h=0,所以〃=-2,即/>(x)=e'-2.

因?yàn)閒(x)>ln(x+m)-2,所以有e*>ln(x+m).

令/=6">0,則e">ln(x+nj)等價(jià)于f>ln(x+m),即x+〃?<e’,從而，-x=e'—Inf.

設(shè)g(t)=d-lnf,則g'(f)=e'-L

t

易知g'⑺在(0,+s)上單調(diào)遞增，且g'e)=G-2<0,g〈l)=e-l>0.

所以，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的使得g'(f°)=O,

即庚=；,則=

*0

當(dāng)fe(OJo)時(shí),g'⑺vg,ajnO.g⑺在(0,幻上單調(diào)遞減；

當(dāng)fe(r0,+00)時(shí),g'(t)>g'(fj=o,g?)在6,+0°)上單調(diào)遞增.

從而g(/)min?=g(/)亍e"-In,7t%—.

￡

而，o+;在］」)上是減函數(shù),所以%

因此gQ)的最小值g&)e(2,|).

從而整數(shù)，〃的最大值是2.

17.(1)^=1--

e

(2)證明見解析

【分析】(1)利用切線的性質(zhì)即可求解；

(2)屬于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求《工根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可證明.

答案第15頁(yè)，共40頁(yè)

(1)

/(%)=1--,設(shè)切點(diǎn)為P(x°,Xo-lnx。)，則切線斜率為女=1-',

xXQ

切線方程為y-x()+ln/=(l-，)(工一天),

%

即》=(1---)x+l-Inx0,

*

因?yàn)橹本€丁=區(qū)是曲線y=/(x)的一條切線，所以1-始％=0,即％=e,

故k=l—；

e

(2)

)力

由題可知函數(shù)y=F(x)-x-l+l(，〃eR)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)芭，

m

B[Jlnx+—-1=0,

x

t己〃(x)=lnx+'一1(x>。),則〃(x)」一：二二",

當(dāng)〃后。時(shí)，/2(x)>0,〃(力單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，

y_fYj

當(dāng)加>0時(shí)，令"(x)=—-=0,得8=加，

當(dāng)xe(0,,")時(shí)，/?(x)<0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw("?,+oo)時(shí)，/?(x)>0,函數(shù)&(X)單調(diào)遞增,因?yàn)椤?x)有兩個(gè)零點(diǎn),

所以/z(x)而n=九(％)<0,解得0<相<1,

所以不妨設(shè)。<西<加<x2,要證為+々>2"?,即證》2>2桃-西，

因?yàn)?nz-X]>E，m，又/?(%)在xw(〃?,+co)單調(diào)遞增，

所以即證6(與)=)>//(2/n-x.),即證力(%)-/?(2〃?一玉)>。，

構(gòu)造函數(shù)9(x)=〃(x)—〃(2，〃一x)(0<x<m),

所以S(x)=1+-^--4一一