【數(shù)學】高一數(shù)學下學期第一次月考模擬試卷（平面向量+三角恒等變換）

絕密★考試結束前2022-2023學年高一下學期第一次月考數(shù)學模擬試卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（2022春·江蘇南京·高一南京市雨花臺中學?？茧A段練習）已知向量，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．2．（2022春·山東·高一統(tǒng)考階段練習）若角，均為銳角，，，則（）A．B．C．D．3．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學校考階段練習）已知、滿足：，，，則=（）A．B．C．D．4．（2022春·河北石家莊·高一統(tǒng)考階段練習）如圖，在平行四邊形中，E是中點，G為與的交點，若，則用表示（）A．B．C．D．5．（2022春·福建龍巖·高一上杭縣第二中學?？茧A段練習）在中，若，則－定是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形6．（2022春·山東·高一校聯(lián)考階段練習）化簡（）A．B．C．D．7．（2022春·福建廈門·高一廈門雙十中學?？茧A段練習）若向量，，，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．8．（2023春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考階段練習）函數(shù)，若，則的最小值是（）A．B．C．D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2022秋·福建福州·高一統(tǒng)考期末）若，，則（）A．B．C．D．10．（2022春·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形ABCDEFGH，其中=2，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．在上的投影向量為11．（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習）對任意的銳角，下列不等關系恒成立的是（）A．B．C．D．12．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學?？茧A段練習）已知點O為所在平面內(nèi)一點，且則下列選項正確的有（）A．B．直線過邊的中點C．D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，，，則______．14．（2023春·湖北荊州·高一沙市中學?？茧A段練習）_________．15．（2022春·山東臨沂·高一?？茧A段練習）在中，點是邊上（不包含頂點）的動點，若，則的最小值______.16．（2022春·江蘇泰州·高一校考階段練習）已知，且，則___________.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022春·湖北襄陽·高一襄陽四中校考階段練習）（1）已知，是兩個不共線的向量，向量，，求（用，表示）.（2）設，是不共線的兩個非零向量.若與共線，求實數(shù)的值.18．（2022春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求；（3）與的夾角的余弦值．19．（2022春·江蘇南京·高一南京市雨花臺中學?？茧A段練習）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．20．（2021春·江蘇蘇州·高一蘇州市第三中學校?？计谥校┤鐖D，已知一條河的兩岸平行，河的寬度為d，某人從河的北岸出發(fā)到河對岸，河水自西向東流速為，設某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實際速度為．（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向與水流方向的夾角和的大小；（2）如果要使此人游得時間最短，且，求他實際前進的方向與水流方向的夾角和的大?。?1．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值與最小值．22．（2022春·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習）如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點（為圓心），（為銳角），點C為單位圓上的動點，線段AC交線段于點M（點M異于點、B）（1）求（結果用表示）；（2）若①求的取值范圍；②設，記，求的最小值.絕密★考試結束前2022-2023學年高一下學期第一次月考數(shù)學模擬試卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）姓名___________班級_________考號_______________________注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（2022春·江蘇南京·高一南京市雨花臺中學?？茧A段練習）已知向量，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，則，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C.2．（2022春·山東·高一統(tǒng)考階段練習）若角，均為銳角，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角，均為銳角，即，而，則，又，則，所以.故選：B3．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學?？茧A段練習）已知、滿足：，，，則=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，∴，所以.故選：C.4．（2022春·河北石家莊·高一統(tǒng)考階段練習）如圖，在平行四邊形中，E是中點，G為與的交點，若，則用表示（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在平行四邊形中，，故與相似，所以，即，所以，又，，所以，所以.故選：B5．（2022春·福建龍巖·高一上杭縣第二中學?？茧A段練習）在中，若，則－定是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】由向量的數(shù)量積的運算公式，可得，即，因為，所以為鈍角，所以－定是鈍角三角形.故選：C.6．（2022春·山東·高一校聯(lián)考階段練習）化簡（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B7．（2022春·福建廈門·高一廈門雙十中學?？茧A段練習）若向量，，，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，，且，所以，解得.所以，所以在上的投影向量為.故選：C8．（2023春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考階段練習）函數(shù)，若，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)，因為，則，所以，因為，所以，一個為的最大值，一個為最小值，則，或解得，或所以（i），或（ii）對于（i），當時，的最小值是，對于（ii），當時，的最小值是，綜上，的最小值是，故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2022秋·福建福州·高一統(tǒng)考期末）若，，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】，∵，則，∴.對C，，C對；對A，，，A對；對B，，B錯；對D，，D對.故選：ACD.10．（2022春·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形ABCDEFGH，其中=2，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．在上的投影向量為【答案】ACD【解析】，A正確；由向量加法的平行四邊形法則知是以為鄰邊的平行四邊形的對角線對應的向量，起點是，易知該平行四邊形的對角線長不等于的二倍，即，而，因此B錯誤；，C正確；，在上的投影為，又，∴在上的投影向量為，D正確．故選：ACD．11．（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習）對任意的銳角，下列不等關系恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于A，若，則，整理可得：，對任意的銳角，恒成立，故A正確；對于B，，當，，，，故B不正確；對于C，若，則，整理可得：，對任意的銳角，恒成立，故C正確；對于D，，當，，，，故D不正確.故選：AC12．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學?？茧A段練習）已知點O為所在平面內(nèi)一點，且則下列選項正確的有（）A．B．直線過邊的中點C．D．若，則【答案】ACD【解析】，則，A正確；若，則，所以是△的重心，直線過中點，而與不平行，所以直線不過邊的中點，B錯誤；又，而，，所以，C正確；若，且，所以，而，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，，，則______．【答案】2【解析】因為，所以.故答案為：2.14．（2023春·湖北荊州·高一沙市中學?？茧A段練習）_________．【答案】【解析】.故答案為：15．（2022春·山東臨沂·高一?？茧A段練習）在中，點是邊上（不包含頂點）的動點，若，則的最小值______.【答案】【解析】如圖，可知x，y均為正，且，，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為.故答案為：.16．（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習）已知，且，則___________.【答案】【解析】，，則，即，又，則，則，即，則.故答案為：.四．解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022春·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習）（1）已知，是兩個不共線的向量，向量，，求（用，表示）.（2）設，是不共線的兩個非零向量.若與共線，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，，∴；（2）由，不共線可知為非零向量，而與共線，所以存在唯一實數(shù)，使得，因為，不共線，所以，解得18．（2022春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知向量與的夾角，且，．（1）求，；（2）求；（3）與的夾角的余弦值．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）已知向量與的夾角，且，，則，所以；（2）（3）與的夾角的余弦值為.19．（2022春·江蘇南京·高一南京市雨花臺中學?？茧A段練習）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，又，所以，∴.（2）因為，，又因為，所以，由（1）知，，所以．因為，，則，所以．20．（2021春·江蘇蘇州·高一蘇州市第三中學校?？计谥校┤鐖D，已知一條河的兩岸平行，河的寬度為d，某人從河的北岸出發(fā)到河對岸，河水自西向東流速為，設某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實際速度為．（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向與水流方向的夾角和的大?。唬?）如果要使此人游得時間最短，且，求他實際前進的方向與水流方向的夾角和的大小．【答案】（1），;（2）,.【解析】（1）如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度與對岸垂直，如圖，此人游泳的方向與水流方向的夾角，此時，.（2）如下圖，設與的夾角為，與的夾角為，實際游泳的距離為，所以，，所以，故當與的夾角為時，此人游泳到對岸用時最短，如下圖，當，由于，故，此時，所以.21．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第一中學校考階段練習）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值與最