華師一附中2024屆高三《數(shù)列》每日一題 答案

第第頁華師一附中2024屆高三數(shù)學(xué)《數(shù)列每日一題》參考答案：1．ABD【分析】先根據(jù)已知條件求，的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)逐項判斷.【詳解】數(shù)列的前項和，當(dāng)時，；當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時也滿足，所以，又因為數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以．則數(shù)列為：，所以，故選項A正確；數(shù)列是由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列，都是偶數(shù)，所以與之間包含的奇數(shù)個數(shù)為個，故選項B正確；因為，前面相鄰的一個奇數(shù)為，令，解得，所以數(shù)列從1到共有，也即，故選項C錯誤；設(shè)位于與之間，則有，解得，所以前1022項中包含的前10項，的前1012項，即，故D正確．故選：ABD【點睛】注重等差數(shù)列等比數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握，強(qiáng)化計算能力.2．AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式及其性質(zhì)，對于A選項，當(dāng)由為定值即可判斷；對B，，根據(jù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；對C，，因為，所以即可得解；對D，由結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又，所以，.對于A選項，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故A正確.對于B選項，易知，則，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，又，故是遞減的等差數(shù)列，故B錯誤.對丁C選項，因為，所以；因為，所以，故當(dāng)時，的最大值為29，故C錯誤.對于D選項，因為，，，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故D正確.故選：AD.3．ACD【分析】根據(jù)“歐拉函數(shù)”的定義對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)A選項，，A選項正確.B選項，，B選項錯誤.C選項，由列表分析可知，對于，“不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)”為：不超過的奇數(shù)，則，則，，所以是等比數(shù)列，所以C選項正確.D選項，有列表分析可知，對于，“不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)”為：從到中，除掉的倍數(shù)，則，則，，所以是等比數(shù)列，前項和為，所以D選項正確.故選：ACD4．ABD【分析】畫出圖形依據(jù)裁剪規(guī)律可得比多了兩條邊，少了線段，即可得到，即A正確，比少了一個以為斜邊的等腰直角三角形，可得，C錯誤；再分別利用A和C中的結(jié)論，由累加法計算可得BD正確.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示規(guī)律：對于A，易知比多了兩條邊，少了線段；由，可得，故A正確；對于B，利用A中結(jié)論由累加法可得，當(dāng)時，，又，所以，顯然當(dāng)時，也符合上式，即B正確；對于C，比少了一個以為斜邊的等腰直角三角形，所以，即C錯誤；對于D，利用B中結(jié)論由累加法可得，當(dāng)時，，又，所以，顯然當(dāng)時，也符合上式，即D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于由裁剪規(guī)律得出以及之間的遞推規(guī)律，再利用累加法由等比數(shù)列前項和公式即可求得結(jié)果.5．【分析】根據(jù)題意可知兩相鄰圓的半徑滿足，展開且代入中可得出，由等差數(shù)列性質(zhì)可得出數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)裂項相消求出即可。【詳解】因為與外切，且都與軸相切，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，所以，所以，所以，所以所以，故答案為：.6．(1)2(2)證明見解析【分析】（1）先推導(dǎo)可得，再累加可得，再判斷當(dāng)時，即可得；（2）推導(dǎo)可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，代入通項公式可得，再根據(jù)，累加求和證明即可.【詳解】（1），，，．又是遞增數(shù)列，，當(dāng)時，．．（2），，則有，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，．，，原不等式得證．7．(1),;(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式，計算可得；（2）結(jié)合兩個數(shù)列的通項公式，可判斷的前項中兩個數(shù)列的項數(shù)，然后分組和錯位相減求和可得；（3）求出的項數(shù)和總共有多少個2，利用分組求和可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，則，故，所以，則，由，則，又由是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故，（2）由，則，則，，兩式相減得，，，則，其中①，②①-②相減可得，則所以則；（3）根據(jù)題意可得，則，故，則，故當(dāng)時，成立，當(dāng)時，成立，所以共有項，共有個，則8．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)的圖象過原點得到，然后利用求即可；（2）由得到，然后利用錯位相減法求；（3）由題意得，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【詳解】（1）∵的圖象過原點，則，∴.∴.當(dāng)時，，又∵適合，∴數(shù)列的通項公式為.（2）由得：（），∴，①.②②－①得：，∴.（3），故.要使恒成立，即要恒成立，即要恒成立.下面分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論：①當(dāng)為奇數(shù)時，即恒成立.又的最小值為1，∴.②當(dāng)為偶數(shù)時，即恒成立.又的最大值為，∴.綜上，，又為非零整數(shù)，∴時，使得對任意，都有成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小問的解決關(guān)鍵是分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論，如此才能處理恒成立的問題.9．(1)(2)證明見解析【分析】（1）時，有，變形為，可得數(shù)列為等比數(shù)列，可利用首項和公比求通項公式；（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.【詳解】（1）∵數(shù)列的前n項之積為，滿足（），時，，解得.∴時，，化為，變形為，又，∴，，數(shù)列是首項為4公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）先證明左邊：即證明，由（1）可得：，解得，又由，解得，又，所以，再證明右邊：.∴，下面證明，即證明，設(shè)，，則，即證明，.設(shè)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，，∴.∴.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過放縮法結(jié)合等比數(shù)列前項和公式證明左邊，對右邊等價轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.10．(1)證明詳見解析，(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義證得數(shù)列是等比數(shù)列，先求得，進(jìn)而求得.（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，利用商比較法求得的最大值，從而列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，且，所以，則，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），依題意，，且對任意，總有成立，所以，，當(dāng)時取得最小值.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以