遼寧省本溪市2021年中考數學真題（含答案）

2021年遼寧省本溪市中考數學試卷

一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.-5的相反數是（）

11

A.----B.-C.5D.-5

55

【答案】c

【解析】

【分析】根據相反數的定義解答即可.

【詳解】-5的相反數是5

故選C

【點睛】本題考查了相反數，熟記相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數是關鍵.

2.下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這些圖案中既是

中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念即可解答.

【詳解】選項A,是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意：

選項B,不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

選項C,不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

選項D,不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意.

故選A.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念，熟練運用中心對稱圖形及軸對稱圖形的概念是解

決問題的關鍵.

3.下列運算正確的是（）

A.x2-x=2x2B.(xy3)2=.?2/

C.x6-s-x3=x2D.x2+x-^

【答案】B

【解析】

【分析】根據同底數塞乘法法則、積的乘方的運算法則、同底數嘉的除法法則及合并同類項法則逐一計算

即可得答案.

【詳解】選項A,根據同底數基乘法法則可得x2.x=Y,選項A錯誤；

選項B,根據積的乘方的運算法則可得（孫3）2=%2,6,選項B正確；

選項C,根據同底數幕的的除法法則可得了6=%3,選項C錯誤；

選項D,V與X不是同類項，不能合并，選項D錯誤.

故選B.

【點睛】本題考查了同底數基乘法法則、積的乘方的運算法則、同底數基的除法法則及合并同類項法則，

熟練運用法則是解決問題的關鍵.

4.如圖，該幾何體的左視圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】畫出從左面看到的圖形即可.

【詳解】解：該幾何體的左視圖是一個長方形，并且有一條隱藏的線用虛線表示，如圖所示:

故選：D.

【點睛】本題考查三視圖，具備空間想象能力是解題的關鍵，注意看不見的線要用虛線畫出.

5.如表是有關企業(yè)和世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計的5種新冠疫苗的有效率，則這5種疫苗有效率的中位數是（）

疫苗名稱克爾來福阿斯利康莫德納輝瑞衛(wèi)星V

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

【答案】B

【解析】

【分析】根據中位數的定義，對5種新冠疫苗的有效率從小到大（或從大到?。┻M行排序，取中間（第三

個）的有效率即可.

【詳解】解：根據中位數的定義，將5種新冠疫苗的有效率從小到大進行排序，如下：

76%,79%,92%,95%,95%

數據個數為5,奇數個，處于中間的數為第三個數，為92%

故答案為B.

【點睛】此題考查了中位數的定義，求中位數之前不要忘記對原數據進行排序是解決本題的關鍵.

6.反比例函數＞=&的圖象分別位于第二、四象限，則直線丁="+左不經過的象限是（）

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先根據反比例函數產&的圖象在第二、四象限內判斷出人的符號，再由一次函數的性質即可得出

X

結論.

【詳解】解：?.?反比例函數尸七的圖象在第二、四象限內，

X

：.k<09

工一次函數產"+%的圖象經過二、三、四象限，不經過第一象限.

故選：A.

【點睛】本題考查的是反比例函數的性質和一次函數的性質，注意：反比例函數尸（中，當％<0,雙曲線

x

的兩支分別位于第二、第四象限.

7.如圖為本溪、遼陽6月1日至5日最低氣溫的折線統(tǒng)計圖，由此可知本溪，遼陽兩地這5天最低氣溫波

動情況是（）

B.遼陽波動大

C.本溪、遼陽波動一樣D.無法比較

【答案】C

【解析】

【分析】分別計算兩組數據的方差，比較，即可判斷.

【詳解】解：遼陽的平均數為：16+14+13+13+13=]3用,

5

方差為：S,[(16-13.8)2+(14-13.8)2+3X(13-13.8)2]1.36,

xz.-T-15+13+12+12+12

本溪的平均數為：-------------------=12.8,

5

222

方差為：S2[(15-12.8)+(13-12.8)+3X(12-12.8)]1.36,

/.S]=$2,

本溪、遼陽波動一樣，

故選：C.

【點睛】本題考查了方差，正確理解方差的意義是解題的關鍵.方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方

差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

8.一副三角板如圖所示擺放，若Nl=80°，則N2的度數是（）

C.100°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】由三角形的外角性質得到N3=N4=35。，再根據三角形的外角性質求解即可.

【詳解】解：如圖，/A=90°-30°=60°,

?/Z3=Zl-45o=80°-45o=35°,

.?.Z3=Z4=35°,

/2=/A+N4=60°+35°=95°,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

9.如圖，在A6c中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線80與AC交于點E,點尸為6c的

中點，連接￡/，若8E=AC=2,則△CE尸的周長為（）

C.75+1D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據作圖可知平分NA8C,AB=BC,由三線合一，解RtABEC,即可求得.

【詳解】BD平分ZABC,AB=BC,BE=AC=2

:.BE_LAC,AE=EC=—AC=1

2

BC=dBE。+EC。=V22+l2=舊

點F為BC的中點

???EF=-BC=FC=—

22

???△C￡F的周長為：

CE+EF+FC=l+—+—=45+1

22

故選C.

【點睛】本題考查了角平分線的概念，等腰三角形性質，勾股定理，直角三角形性質，求出8c邊是解題

的關鍵.

10.如圖，在矩形ABC。中，BC=\,">3=60。，動點P沿折線AOfDB運動到點3,同時動點。

沿折線05fBe運動到點C,點P,Q在矩形邊上的運動速度為每秒1個單位長度，點P,。在矩形對角

線上的運動速度為每秒2個單位長度.設運動時間為，秒，△PBQ的面積為S,則下列圖象能大致反映S

S

A.B.

OO

ss

【答案】D

【解析】

［分析】結合運動狀態(tài)分段討論:當點P在AD上，點。在B。上時，AP=人OQ=2/,過點P作PELBD，

通過解直角三角形求出PE,表示出面積的函數表達式；當點P在8。上，點。在8c上時,

BP=2-2（r-l）=4-2f,BQ=t-\,過點P作通過解直角三角形求出PE,表示出面積的函數

表達式，利用二次函數的性質即可得出結論.

【詳解】解：當點尸在A。上，點。在8。上時，AP=t,DQ=2t,

則PZ）=1T,

過點P作尸ELBD，

,?ZADB=60°,

.=.60。=目—=cos600--

PD2BD2

PE=1T），BD=2,

.?.BQ=2-Z,

△PBQ的面積S=g8Q，E=^f2-Gf+^（o<f<i）,為開口向上的二次函數;

當f=l時，點P與點。重合，點。與點8重合，此時△PBQ的面積5=0；

當點P在80上，點。在BC上時，BP=2-2（/-l）=4-2r,BQ=t-\,

過點尸作

則竺=sin60°=且，即PF=^BP=26-M，

PB22

：.△P8Q的面積5=3為2/歹=手卜》+3/-2）,為開口向下的二次函數；

故選：D.

【點睛】本題考查動態(tài)問題的函數圖象，根據運動狀態(tài)寫出函數解析式，利用二次函數的性質進行判斷是

解題的關鍵.

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.若萬工在實數范圍內有意義，則》的取值范圍為.

【答案】x<2

【解析】

【分析】二次根式的被開方數大于等于零，據此解答.

【詳解】解：依題意得2-x>0

解得x<2.

故答案為：x<2.

【點睛】考查了二次根式的意義和性質.概念：式子&（a>0）叫二次根式.性質：二次根式中的被開方

數必須是非負數，否則二次根式無意義.

12.分解因式：2/一4%+2=_______.

【答案】2（x—1）2

【解析】

【分析】先提公因式2,再利用完全平方公式分解即可.

【詳解】解：—4x+2=2（f—2x+l）=2（x—1）。

故答案為：

【點睛】本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解題的關鍵.

13.有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著-J7，-1，0,百，2,從中隨機抽取一張，則抽出卡片

上寫的數是由的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】利用概率公式即可求解.

【詳解】解：抽出卡片上寫的數是道的概率為1，

故答案為：

5

【點睛】本題考查簡單事件求概率，掌握概率公式是解題的關鍵.

14.若關于x的一元二次方程一2工一女=0有兩個相等的實數根，則”的值為.

【答案】」.

3

【解析】

【分析】根據關于x的一元二次方程3爐-2%_左=0有兩個相等的實數根，得出關于左的方程，求解即可.

【詳解】：關于x的一元二次方程3/一2x—%=0有兩個相等的實數根，

/.△=(-2/-4x3x(-左)=4+12"0,

解得仁-1.

3

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了運用一元二次方程根的判別式，當△>()時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當

△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，一元二次方程沒有實數根.

15.為了弘揚我國書法藝術，培養(yǎng)學生良好的書寫能力，某校舉辦了書法比賽，學校準備為獲獎同學頒獎.在

購買獎品時發(fā)現(xiàn)，A種獎品的單價比3種獎品的單價多10元，用300元購買A種獎品的數量與用240元購

買B種獎品的數量相同.設8種獎品的單價是x元，則可列分式方程為.

【解析】

【分析】設B種獎品的單價為x元，則A種獎品的單價為(x+10)元，利用數量=總價+單價，結合用300

元購買A種獎品的件數與用240元購買B種獎品的件數相同，即可得出關于x的分式方程.

【詳解】解：設B種獎品的單價為x元，則A種獎品的單價為(x+10)元，

300240

依題意得:

x+10x

300240

故答案為:

x+10x

【點睛】本題考查了根據實際問題列分式方程，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程.

16.如圖，由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A,B,C都在格點上，以為直徑的圓經過點C和

點D,則tanZADC-.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】根據同弧所對的圓周角相等可得乙46C=NA0C,再利用正切的定義求解即可.

【詳解】解：；NABC=NADC,

3

tanZADC=tanZABC=—,

3

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、求角的正切值，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關鍵.

k

17.如圖，AB是半圓的直徑，C為半圓的中點，A(2,0),8(0,1),反比例函數y=2(x>0)的圖象經過點

C,則女的值為

【解析】

【分析】連接C￡),并延長交x軸于點P,分別求出PQ,PO,CC和PC的長，過點C作CF_Lx軸于點F,

求出PF,CF的長，進一步得出點C的坐標，從而可得出結論.

【詳解】解：連接CZ),并延長交x軸于點P,如圖，

J.CPLAB,BPZADP=90°

又NAOB=90°

ZAPD=ZABO

VA(2,0),B(0,1)

：.AO=2,OB=\

AB=y/AO2+BO2=Vl2+22=V5

AD=-AB=—

22

OB_1

又rtanA“=-P-D-

AD~OA~2

5。1V5V5

PD—X--=---

224

.八亞亞375

??PC=PD+CD=—+—=—

425

AP=dPD、AD。=Jgy+（曰）2=1

53

：.OP=AO—AP=2—己=二

44

過點，乍（7凡Lx軸于點凡

CFAO2

sinNAP。=sinNABO

23623

CF=PCx

PF=yjPC--CF2=_（|）2=|

333

，OF=OP+PF=±+，==±

442

33

???點。的坐標為（一，一）

22

?.?點C在反比例函數y=&（X>0）的圖象上

X

,,339

??K——X-=一,

224

9

故答案為：—

4

【點睛】本題考查反比例函數解析式，解題的關鍵是利用過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析

式；求出點C坐標是關鍵.

18.如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點C的對稱點E落在邊A3上，點。的對稱點為點尸，EF

交AO于點G,連接CG交尸。于點H,連接CE.下列四個結論中：①/XPBES/XQFG；

②ZCEGMS/XCBE+S四邊形CWH；③EC平分NBEG；@EG2-CH2=GQGD,正確的是（填序

號即可）.

【答案】①③④.

【解析】

【分析】①用有兩個角對應相等的兩個三角形相似進行判定即可；

②過點C作CMLEG于通過證明△BEC絲△MEC進而說明aCMG絲△CDG,可得

S4CEG=SABEC+S4CDG>SABEC+Sna?CDQH；

③由折疊可得:NGEC=/￡?CE,由A8〃C￡）可得NBEC=N￡>CE,結論③成立；

④連接MH,HE,由△BEC烏△MEC,ZXCMG烏/XCCG可知：NBCE=/MCE,NMCG=/DCG,則

NECG=NECM+NGCM=LNBCD,由于EC_LHP,則/C”P=45°,由折疊可得:N￡WP=/CHP=45°,

2

利用勾股定理可得國丁石/小七，2,由CMJ_EG,EHLCG,得至U/EMC=NEHC=90°,所以E,M,H,C

四點共圓，通過△CMH經△CDH,易證△GHQSAGDH,則得G/Z^G。?GO,從而說明④成立.

【詳解】解：①；四邊形ABCQ是正方形，

NA=NB=NBCD=ND=90°由折疊可知：

ZGEP=ZBCD=90Q,NF=/￡>=90

ZBEP+ZAEG=90a,

,?NA=90°

/.ZAEG+ZAG￡=90°,

NBEP=/AGE,

'：ZFGQ=ZAGE,

：.ZBEP=ZFGQ,

?:NB=NF=90,

：./\PBE~/\QFG,

故①說法正確，符合題意；

②過點C作CMJ_EG于M,

由折疊可得:NGEC=NZ)CE,

■:AB〃CD,

ZBEC=ZDCE9ZBEC=ZGEC9

在△BEC和△MFC中，

VZB=ZEMC=90",NBEC=/GEC,CE=CE

：.A^EC^AMEC(AAS)

??CB=CM,SABEC^SSMBC,

■:CG=CG,

：./?/△CMG*RtACDG(HL),

:?S4cM(尸S&CDG，

SACEG=SABEC^S&CDd>SdBEC+S四邊形CDQH

???②說法不正確，不符合題意；

③由折疊可得:NGEC=NDCE,

■:AB//CD,

：.ZBEC=ZDCEf

:?/BEC=/GEC,即EC平分NBEG

???③說法正確，符合題意；

④連接MH,HE,如圖：

二△BEC@AMEC,ACMG^ACDG,

:?/BCE=NMCE,NMCG=/DCG,

：?NECG=NECM+/GCM=L/BCD=45。,

2

u：ECLHP,

??,NCHP=45°,

:?GHQ=NCHP=45°,

由折疊可得:NE"P=NCHP=45°,

：.EH±CG

:.EG-EH^GH2

由折疊可知:EH=C”

???EGZ-CH^GH2,

VCM1EG,EHICGf

：.ZEMC=ZEHC=90°,

???E,M,H,C四點共圓，

AZHMC=ZHEC=45°,

在△CM”和△CQ”中，

■:CM二CD,NMCG=NDCG,CH=CH

：.△CMHq△CDH(SAS)

：.ZCDH=ZCMH=45°,

VZCDA=90°,

???ZGDH=45°

VZGHQ=ZCHP=45°,

AZGHQ=ZGDH=45°,

:/HGQ=NDGH,

:?△GHQS^GDH,

.GQGH

??一，

GHGD

：.GH^GQ?GD

：.GE?-CH=GQ?GD

故④說法正確，符合題意；

綜上可得，正確的結論有:①③④

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質、翻折問題、勾股定理、三角形全等的判定與性質、三角形的相似

的判定與性質.翻折問題是全等變換，由翻折得到對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵.

三、解答題(第19題10分，第20題12分，共22分)

19.先化簡，再求值：—6。[1+上2。丁3A，其中a=2sin300+3.

a-9Ia+3）

2

【答案】——，2

。一3

【解析】

【分析】先把分式化簡后，再求出。的值代入求出分式的值即可.

_6a（a+32a—3^

a~-9（a+3Q+3J

—_____6_a_____x〃__+_3_

（。+3）（。-3）3a

2

a=2sin30°+3

=2x'+3

2

=4

2

當a=4時，原式=----=2.

4-3

【點睛】本題考查了分式的化簡值，特殊角的三角函數值，熟練分解因式是解題的關鍵.

20.為迎接建黨100周年，某校組織學生開展了黨史知識競賽活動.競賽項目有：A.回顧重要事件；B.列

舉革命先烈；C.講述英雄故事；D.歌頌時代精神.學校要求學生全員參加且每人只能參加一項，為了解

學生參加競賽情況，隨機調查了部分學生，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據圖中

信息解答下列問題：

學生參加競賽項目的條形統(tǒng)計圖學生參加競賽項目的扇形統(tǒng)計圖

（1）本次被調查的學生共有名；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中“B項目”所對應的扇形圓心角的度數為,并把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）從本次被調查的小華、小光、小艷、小萍這四名學生中，隨機抽出2名同學去做宣講員，請用列表或

畫樹狀圖的方法求出恰好小華和小艷被抽中的概率.

【答案】（1）60；（2）90°,補全條形統(tǒng)計圖見解析；（3）,

6

【解析】

【分析】（1）根據條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可知A項目的有9人，占15%,即可求出總人數；

（2）作差求出8項目的人數，按照比例求出其圓心角度數并補全條形統(tǒng)計圖；

（3）列出表格，利用概率公式即可求解.

詳解】解：（1）9-15%=60;

（2）B項目的總人數為60-9-24-12=15人，

“B項目”所對應的扇形圓心角的度數為一X360°=90。,

60

補全條形統(tǒng)計圖如下:

小華小光小艷小萍

小華小華，小光小華，小艷小華，小萍

小光小華，小光小光，小艷小光，小萍

小艷小華，小艷小光，小艷小萍，小艷

小萍小華，小萍小光，小萍小萍，小艷

共有12種情況，其中恰好小華和小艷的有2種,

（恰好小華和小艷）

6

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖綜合，從統(tǒng)計圖中獲取相關信息是解題的關鍵.

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.某班計劃購買兩種畢業(yè)紀念冊，已知購買1本手繪紀念冊和4本圖片紀念冊共需135元，購買5本手繪

紀念冊和2本圖片紀念冊共需225元.

（1）求每本手繪紀念冊和每本圖片紀念冊的價格分別為多少元？

（2）該班計劃購買手繪紀念冊和圖片紀念冊共40本，總費用不超過1100元，那么最多能購買手繪紀念冊

多少本？

【答案】（1）每本手繪紀念冊35元，每本圖片紀念冊25元；（2）最多能購買手繪紀念冊10本.

【解析】

【分析】（1）設每本手繪紀念冊x元，每本圖片紀念冊y元，根據題意列出二元一次方程組，求解即可；

（2）設購買手繪紀念冊。本，則購買圖片紀念冊（40—。）本，根據題意列出不等式，求解不等式即可.

【詳解】解：（1）設每本手繪紀念冊x元，每本圖片紀念冊y元,

x+4y=135

根據題意可得:

5x+2y=225

x=35

解得《

y=25

答：每本手繪紀念冊35元，每本圖片紀念冊25元;

（2）設購買手繪紀念冊a本，則購買圖片紀念冊（40-a）本，根據題意可得:

35a+25（40-a）<1100,

解得aW10,

最多能購買手繪紀念冊10本.

【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、不等式的實際應用，根據題意列出方程組和不等式是解題的關

鍵.

22.如圖，某地政府為解決當地農戶網絡銷售農特產品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道.無

人機從點A的正上方點C,沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達點。，測得A的俯角為60°,然后以同

樣的速度沿正東方向又飛行50s到達點E,測得點B的俯角為37：

（1）求無人機的高度AC（結果保留根號）：

（2）求鉆的長度（結果精確到1/M）.（參考數據：sin37°?0.60.cos37°?0.80,tan37°?0.75.

V3?1.73）

【答案】（1）無人機的高度AC=60,w；（2）AB的長度為382加.

【解析】

【分析】（I）在心ACDA中，利用正切函數即可求解;

（2）先證明四邊形4B尸C為矩形，在RdBFE中，求得《尸a138%，即可求解.

【詳解】（1）根據題意得：CD=8xl5=120（M，

在放△CD4中，ZACD=90°,ZADC=60°,

ar

tan60°=—

CD

.,.AC=120x—=60>/3(〃?)，

2

答：無人機的高度AC=60百加;

(2)根據題意得：￡)￡=8x50=4000),

則CE=DE+CD=520(m),

過點8作8FLCE于點F,

cDFE

-P~6077J337jF-

//

tI//I；//

If/II//

I/:/

\/一/

|Z!/

~AB

則四邊形A8FC為矩形，

,\AB=FC,BF=AC=60后加，

在RfzxBFE中，NBFE=90。,NBEF=31°,

：.tan37°=—=0.75,

EF

EF==138.4a138（相），

0.75

AB=FC=CE-EF=520-l38=382（,〃），

答：AB的長度為382〃?.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的性質.注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形

是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用.

五、解答題（滿分12分）

23.某網店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進價為每個40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價為

60元時，每星期賣出100個.如果調整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現(xiàn)網店決定提價銷售,

設銷售單價為x元，每星期銷售量為y個.

（1）請直接寫出y（個）與x（元）之間的函數關系式；

（2）當銷售單價是多少元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元？

（3）當銷售單價是多少元時，該網店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）y=-2x+220；（2）當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元；（3）當

銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

【解析】

【分析】（1）根據題意中銷售量y（個）與售價x（元）之間的關系即可得到結論；

（2）根據題意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400,解方程即可求解;

（3）設每星期利潤為w元，構建二次函數模型，利用二次函數性質即可解決問題.

【詳解】（1）由題意可得，尸100-2（x-60）=-2x+220；

（2）由題意可得，

(-2x+220)(x-40)=2400,

解得，玉=70,%=8。，

二當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元.

答：當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元.

(3)設該網店每星期的銷售利潤為卬元，由題意可得

w=(-2x+220)(x-40)=一2/+300%—8800，

當工=-3=75時，w有最大值，最大值為2450,

；?當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

答：當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元.

【點睛】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是構建二次函數模型，利用二次函數的性質解決最值問

題.

六、解答題(滿分12分)

24.如圖，在Rr.ABC中，ZACB=90°,延長C4到點力，以AO為直徑作O。，交84的延長線于點E,

延長到點F,使BF=EF.

(1)求證：是「。的切線；

(2)若OC=9,AC=4,AE=8,求的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)—

6

【解析】

【分析】(1)連接OE,通過倒角得至UZBEF+ZOEA="+ABAC=90°,即可得證；

(2)連接DE、OF,通過證明△AOEs/X/WC求出AB的長度，在RtOCE和中應用勾股定

理，得出方程，即可求解.

【詳解】解：⑴連接。E,

D

,/OE^OA,

Z.OEA=Z.OAE=ABAC,

?/BF=EF,

ZBEF=ZB,

：.NBEF+ZOEA=NB+ABAC=90°,

即O￡_L￡F,

???ER是0。切線；

(2)連接￡>￡、OF,

D

OC=9,ACM,

???。的半徑為5,

AD=10

???AO為直徑，

/.ZDE4=9()°，

???NDEA=ZACB,

?/ZDAE^ZBAC,

：.4ADES/\ABC,

.AEDEAD

''~AC^~BC~~AB'

?：AC=4,AE=8,

AD八

-----=2,

AB

???4)=10,

:.AB=5,

BC7AB2-AC?=3,

設B尸的長為x,則EF=BF=x,CF=x—3,

在RtOb中，OF2=OC2+CF2=(X-3)2+81,

在RtZ\OEE中，OF2=OE2+EF2=x2+25>

，(X-3)2+81=X2+25.

65

解得x=-.

6

【點睛】本題考查切線的判定、相似三角形的判定與性質，掌握上述基本性質定理、并作出合適的輔助線

是解題的關鍵.

七、解答題(滿分12分)

25.在。ABCO中，DBAD=a,平分NAOC，交對角線AC于點G,交射線A3于點E,將線段￡6

繞點E順時針旋轉,a得線段EP.

2

(1)如圖1,當a=120。時，連接AP,請直接寫出線段”和線段AC的數量關系；

(2)如圖2,當a=90°時，過點B作所_LEP于點，連接AE，請寫出線段Af,AB，A。之間的數

量關系，并說明理由；

(3)當a=120。時，連接AP,若BE=1AB,請直接寫出VAPE與,CDG面積的比值.

2

iQ

【答案】(1)AP=AC；(2)A/2=一(AfP+AB?),理由見解析；(3)-

24

【解析】

【分析】(1)延長PE，交CD于點Q,根據已知條件證明△APE絲ZVICQ即可；

(2)連接FC,過F作R0，3c交CB的延長線于點M，由，得AF=FC,在mFMC

由三邊關系利用勾股定理可得；

EG

(3)證明△AEGS^CDG,得:方值，VAPE與。G的面積分別與△AEG的面積成比例，可得

7APE與CDG面積的比值.

【詳解】(1)如圖，延長PE，交CD于點、Q,

由題意，將線段所繞點E順時針旋轉

2

.?.ZB￡P=60°

a=120°

.?.ZB=60。

/.EQUBC

四邊形ABCD是平行四邊形

:.AD//BC

EQ//AD

■.四邊形AEQD是平行四邊形

DE平分/ADC

ZADE=ZCDE

QAB//CD

ZAED=/EDC

:.ZADE=ZAED

AE=AD

二四邊形AEQO是菱形

AE=EQ

ZAED=/BEP=6Q。

△AEQ是等邊三角形

AE=AQ,ZAQE=6Q°

AB//CD

:.ZCQE=ZAEQ=60°

ZAQC=ZAQE+ZEQC=120。,ZAEP=120°

EQ//AD,AD//BC,BE//CQ

二四邊形BCQE是平行四邊形

:.CQ=BE

PE=BE

:.PE=CQ

在VAPE和~ACQ中

AE=AQ

-NAEP=NAQC

PE=CQ

AAPE^/XACQ

:.AP^AC.

(2)連接FC,過F作交CB的延長線于點M

AD

<z=90°

???四邊形ABC。是矩形，/FEB=45。

BFA.EP

=45°.FB=FE，

ZFBC=NFBE+ZABC=135°,

ZFEA=180。-ZBEF=135°

DE平分/ADC

ZADE=-ZA￡>C=45°

2

.ZAED=/PEB=45。

???AE^AD

四邊形ABC。是矩形

AD=BC

AE=BC

在“/話和.-CEfi中

AE=BC

<ZAEF=NCBF

EF=BF

.?.△AFE也△C8F

AF=FC

設AD=a,AB=b,AF=c

則的=AB—AE=AB—AZ>=Z?—a

FMIBC

■.NFBM=45°

：.MF=MB=sinNFBMxFB=-FB

2

萬

BF=sinNFEBxEB=—BE

2

;.MF=MB=-BE=-(b-a)

22

在用網0c中

FC2=FM2+MC2

??2,b-a2

即c=(----+a)

2

整理得：c2=-(a2+b2)

2

AF2=^(A￡)2+AB2).

(3)如圖

由(1)可知四△ACQ

BE=-AB

2

???PE=BE=AE

DE平分ADC

???ZADE=ZCDE

QAB//CD

ZAED^ZEDC

：.ZADE=ZAED

???AE^AD

：.PE=AD

四邊形是平行四邊形

S/\APE=S^ADE

AE//CD

:./\AEG^/\CDG

EGAE

"'GD~~CD

AE=BE=LAB=LCD

22

AE1

,二一

"CD2

?_E__G______1

"~GD~2

..S/M0E=3s△AEG

…S/\CGD=4saAGE

一^/\APE-S&CDG=3.4?

【點睛】本題考查了軸對稱性質，旋轉的性質，三角形全等的性質與判定，三角形相似，勾股定理，銳

角三角函數，相似比的概念，平行四邊形的性質與判定，菱形的性質與判定，矩形的性質與判定，知識點

比較多，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

八、解答題(滿分14分)

3

26.如圖，拋物線＞=—―/+云+。與》軸交于點4和點。(—1,0),與丫軸交于點8(0,3),連接4?，BC,

4

點尸是拋物線第一象限上的一動點，過點P作。軸于點。，交AB于點區(qū)

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,作尸/_12￡>于點P,使P尸=,。4,以PE，PR為鄰邊作矩形PEG/.當矩形PEGF的

2

面積是aBOC面積的3倍時，求點P的坐標；

(3)如圖2,當點P運動到拋物線的頂點時，點Q在直線PO上，若以點Q、A、B為頂點的三角形是銳角

三角形，請直接寫出點?？v坐標〃的取值范圍.

【答案】(1)^=--X2+-X+3(2)(1,-)或(3,3)；(3)3-2>或3+2#<“<5.

'442322

【解析】

【分析】(1)用待定系數法即可求解；

(2)先求出直線A8的解析式，表示出P,E的坐標，故可表示出尸E的長，再根據矩形PEG/7是-3OC面

積的3倍，得到方程，故可求解；

(3)當/A8。為直角時，求出直線8。的解析式，得到〃的值，當/BQA為直角時，利用解直角三角形的

方法求出此時"的值，同理求出當N8AQ為直角時〃的值，故可求解.