南昌十中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第20頁/共21頁南昌十中2022—2023學(xué)年上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求.1.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)或IS號(hào)用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡和答題紙上.2.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題紙上的指定位置，在其它位置作答一律無效.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，請(qǐng)保持卡面清潔和答題紙清潔，不折疊、不破損.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題紙交回.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)滿足，其中虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為，再求模長(zhǎng)即可.【詳解】由已知可得，則，所以得模為.故選：.2.若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（）A.30° B.120°C.60° D.150°【答案】B【解析】【分析】由直線的方向向量求出斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為：，所以直線斜率,則傾斜角為120°.故選：B.3.直線與直線平行，那么的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的等價(jià)條件列方程組，解方程組即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得：，故選：B.4.已知，設(shè)的夾角為，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出投影向量公式，即可計(jì)算求解.【詳解】在上的投影向量故選：C5.過點(diǎn)，且斜率為負(fù)數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則直線l的斜率為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，由三等分點(diǎn)得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由于直線過點(diǎn)，且斜率為負(fù)數(shù)，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立與可得，設(shè),則，由于M是線段AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以，進(jìn)而可得所以，故選：A6.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去，利用和聯(lián)立，即可求得的范圍.【詳解】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)方程的兩根為，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則滿足，解得，又由，解得,所以的取值范圍是.故選：D.7.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(1，1，1) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【詳解】試題分析：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)檎叫闻c矩形所在的平面互相垂直，，點(diǎn)在上，且平面，所以，又，所以是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，故選C．考點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)．8.已知，是雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，據(jù)雙曲線的定義可用表示，作，構(gòu)造直角三角形可計(jì)算得，并用勾股定理列出了，進(jìn)而可求.【詳解】設(shè)，則，從而，進(jìn)而.過作，則.如圖：在中，，；在中，，即，所以.故選：A【點(diǎn)睛】（1）焦點(diǎn)三角形為條件求圓錐曲線的離心率，常利用圓錐曲線的定義；（2）求圓錐曲線的離心率，常利用有關(guān)三角形建立關(guān)于的齊次等式，再化為的等式可求；（3）此題的關(guān)鍵是作得直角三角形，即可求出邊長(zhǎng)，又可用來建立的齊次等式.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選的得0分）9.已知向量，下列等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件可得出，然后可看出選項(xiàng)A的等式的左邊是向量，右邊是實(shí)數(shù)，顯然該等式不成立；進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)B，C都正確；根據(jù)和即可判斷選項(xiàng)D正確．詳解】，∴，A：，∴該等式錯(cuò)誤；B：，，∴該等式正確；C：，∴該等式正確；D：，，∴，∴該等式正確．故選：BCD．10.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象求得的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】由圖可知，，由于，所以，所以，所以的最小正周期為，A選項(xiàng)正確.，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以C選項(xiàng)正確.，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則（）A.直線平面 B.C.三棱錐的體積為 D.異面直線與所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一驗(yàn)證即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正確；，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；，故C錯(cuò)誤；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，若，則（）A.直線AB的斜率為 B.C. D.為鈍角【答案】CD【解析】【分析】由，以及拋物線方程求得,，再由斜率公式判斷A；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，，即可求出判斷B；由拋物線的定義求出，即可判斷C；由，求得為鈍角，可判斷D．【詳解】對(duì)于A，易得，，由，則的橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，即，，則直線的斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，，則，則，代入拋物線得，解得，則，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,，故C正確；，，，則為鈍角，故D正確．故選：CD．三、填空題（本大題共4題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，若，則_____.【答案】27【解析】【分析】根據(jù)向量平行得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.詳解】，則，即，故，故.故答案為：.14.如果直線l：與橢圓C：總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線所過的定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】直線l：過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l：與橢圓C：總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上，則有，故答案為：15.已知，，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式可將已知等式化簡(jiǎn)為，根據(jù)可求得；根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】由二倍角公式可知：，又，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系求解三角函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用公式，結(jié)合角的范圍來對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn).16.如圖，，分別是雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與C交于點(diǎn)B，弦與C交于A點(diǎn)，連接，若，則C的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)以為直徑的圓與C交于點(diǎn)B，得到，再由，設(shè)，，，然后利用雙曲線的定義和勾股定理求解.【詳解】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與C交于點(diǎn)B，所以，.設(shè)，則，.因?yàn)锳，B是C上的點(diǎn)，所以，則，.在中，，即，則，所以C的離心率為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；（1）試用、、表示；（2）求的長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用向量的線性運(yùn)算求；（2）把（1）等式平方，由數(shù)量積的運(yùn)算求模．【詳解】解：（1）（2），，所以．的長(zhǎng)度為．18.在中，的外接圓半徑.（1）若，求及邊長(zhǎng)；（2）求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)同角基本關(guān)系結(jié)合題意可得，在中，利用，即可求出的值；再根據(jù)正弦定理，即可求出的值;（2）結(jié)合正弦定理，和平面向量數(shù)量積公式以及輔助角公式，利用正弦三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)?，且所以，又，且所以；由正弦定理可知所?【小問2詳解】解：∵，由正弦定理可得∴，∵，∴，∴，所以的取值范圍為．19.平面直角坐標(biāo)系中，直線，設(shè)圓經(jīng)過，，圓心在上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓上存在點(diǎn)P，滿足過點(diǎn)P向圓作兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為，四邊形的面積為10，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入法，通過解方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過，，圓心在上，所以有，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【小問2詳解】四邊形面積10，而四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成，的面積為5，即，又，，，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，以5為半徑的圓，即點(diǎn)P在圓又點(diǎn)P在圓上，圓E與圓有公共點(diǎn)．，即，解得．實(shí)數(shù)m的取值范圍為20.在直三棱柱中，，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，得到多面體.

（1）證明：平面；（2）若，，求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行和面面平行的判定可證得平面平面，由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）將多面體拆分為直三棱柱與四棱錐，根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式分別求解即可.【小問1詳解】連接，

，即，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.【小問2詳解】多面體為直三棱柱與四棱錐構(gòu)成的組合體；作，垂足為，

平面平面，平面平面，平面，平面，即為四棱錐的高；，，，，又，；，，為等比三角形，，又，；多面體的體積.21.已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及短軸長(zhǎng)，結(jié)合的關(guān)系即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn)求解.【小問1詳解】由題意可知：，解得，所以橢圓方程為【小問2詳解】由于，當(dāng)直線無斜率時(shí)，此時(shí)直線方程為，此時(shí)關(guān)于軸對(duì)稱，顯然滿足，當(dāng)直線有些率時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，則，，,，將代入可得，所以，綜上可知：22.已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，試問，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）為定值.【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線可設(shè)雙曲線方程為，代入經(jīng)過的點(diǎn)即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得到韋達(dá)定理，由斜率公式得斜率之和的表達(dá)式，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求解.【小問1詳解】由漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程