小學(xué)奧數(shù)-寒假四年級(jí)（寒假共7講）- 第2講 格點(diǎn)與割補(bǔ)

格點(diǎn)與割補(bǔ)

知識(shí)GPS

＞本講內(nèi)容

正方形、三角形格點(diǎn)多邊形面積

割補(bǔ)法的應(yīng)用

＞前鋪知識(shí)

三角形進(jìn)階——四年級(jí)暑假

一半模型——四年級(jí)秋季

＞后續(xù)知識(shí)

平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱——四年級(jí)春季

圖形的分割與剪拼——四年級(jí)春季

模塊1正方形格點(diǎn)

四年級(jí)寒假第2講格點(diǎn)與割補(bǔ)（C版）

多邊形：由同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上.的線毯首尾順次連結(jié)且不相交所組成的

封閉圖形叫做多邊形.

格點(diǎn)多邊形:在一張由水平線和豎直線組成的方格紙上，我們把水平線和豎直線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”,

若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為“格點(diǎn)多邊形”.

格點(diǎn)多邊形的面積通常有三種求法：

一是分割法，將圖形分割成若干個(gè)可求面積的小圖形；

二是排除法，即用整體面積減去空白部分的面積；

三是公式法，利用畢克定理直接求解.

正方形格點(diǎn)多邊形面積公式（畢克定理）：

若格點(diǎn)小正方形的面積為1,一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，邊界上有L個(gè)格點(diǎn)，則它的面積為

S=N+L^2-1.

鋪墊（只放課件供老師選用，學(xué)生版無(wú)）：

邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，有如下幾個(gè)圖形，判斷下列哪些圖形是格點(diǎn)多邊形，并求出格點(diǎn)多

邊形的面積.

【答案】E,面積為6

【分析】格點(diǎn)多邊形需要注意：（1）所有頂點(diǎn)都要在格點(diǎn)上；（2）各邊均為直線段.A、B、C均不是格點(diǎn)多

邊形：D不是多邊形，所以更不可能是格點(diǎn)多邊形；E包含3個(gè)“整格”與6個(gè)''半格"，所以面積為

3+0.5x6=6.

【分析】分割法：將復(fù)雜不規(guī)則圖形分割成基本圖形后再求面積.

小魚(yú)：分割成三個(gè)三角形后可知面積為1.5+1.5+1=4:

小樹(shù)：分割成一個(gè)長(zhǎng)方形和五個(gè)三角形后可知面積為6+l+Q5x4=9;

小貓：分割成一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)平行四邊形后可知面積為6+3x2=12.

四年級(jí)寒假笫2講格點(diǎn)與割補(bǔ)（C版）

注：分割方法不唯一，但每個(gè)分割后的小圖形都必須是格點(diǎn)多邊形.

【答案】48平方厘米：36平方厘米

【分析】左圖：4+2x4=12,12x4=48平方厘米；右圖：3x4+2+3x2+2=9,9x4=36平方厘米

圖中水平、豎直方向相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離均為1,請(qǐng)求出下面三角形的面積.

【答案】8:11

【分析】方法一：分割法

左：4x2+2+4x2+2=8;右：2x2+2+2x3+2+3x4+2=11;

方法三：畢克定理：左：7+4+2—1=8;右：10+4+2-1=11.

圖中水平、豎直方向相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離均為1,請(qǐng)求出下面三個(gè)圖形的總面積.

【答案】21

【分析】左上三角形面積：4+4+2—1=5;右上三角形面積：2+6+2—1=4（此處還可用分割法）；長(zhǎng)方形

面積：2x6=12.所以總面積為5+4+12=21.

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圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是3厘米.陰影部分的面積是多少平方厘米？

【答案】126平方厘米

【分析】方法一：整體減空白：（36-3x4-10）x9=126平方厘米；

方法二：畢克定理，外圈減內(nèi)圈；（21+8+2-1）x9-（5+12+2-1）x9=（24-10）x9=126平方厘米（不能

直接用畢克定理求解）.

模塊2三角形格點(diǎn)

.知識(shí)剖析

正三角形網(wǎng)格中，小正三角形的頂點(diǎn)為“格點(diǎn)”，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”.

三角形格點(diǎn)多邊形面積公式（畢克定理）：

若格點(diǎn)小正三角形的面積為1,一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，邊界上有乙個(gè)格點(diǎn)，則它的面積

為S=（N+L+2-l）x2.

鋪墊（拓展練習(xí)3）

計(jì)算下面圖形的面積（每相鄰三個(gè)點(diǎn)”?”或是面積為1的等邊三角形）.

四年級(jí)寒假笫2講格點(diǎn)與割補(bǔ)（C版）

【答案】從左到右依次是：2；2；2；4；4；2

圖中相鄰三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積均為1,請(qǐng)分別計(jì)算下列圖形的面積.

【答案】24:12

【分析】左圖：5+7+7+5=24:

右圖：方法一分割法：如下圖分割為兩個(gè)三南形，較小的三角形可通過(guò)平行四邊形的一半求出，面積

為6+2=3,較大的三角形面積為1+3+5=9,所以總面積為3+9=12.

方法二畢克定理：圖形內(nèi)部有3個(gè)點(diǎn)，邊上有8個(gè)點(diǎn)，面積為(3+8+2-l)x2=12.

圖中相鄰三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1,計(jì)算圖中三角形的面積.

【答案】10

【分析】方法一整體減空白：大正三角形面積減去周圍三個(gè)三角形的面積:

大正三角形面積：1+3+5+7+9=5x5=25,25-3-4-8=10:

方法二分割法：如圖分割成4個(gè)小三角形的面積，總面積為3+2+4+1=10:

方法三畢克定理：

內(nèi)部有4個(gè)點(diǎn)，邊上有4個(gè)點(diǎn)，所以三角形面積=(4+4+2-l)x2=10.

圖中相鄰三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1,試求松樹(shù)的面積.

【答案】32

【分析】?jī)?nèi)部有8個(gè)點(diǎn)，邊上有18個(gè)點(diǎn)，所以松樹(shù)面積為(8+18+2-1)x2=32.

【答案】19、19

【分析】方;去一分割法：左：4x1+3x1+3x3+3x1=19;右：3x2+3x1+2x2+2x3=19;

方法二畢克定理：左：2x(8+5+2-l)=19;右：2x(7+7+2—1)=19.

模塊3綜合應(yīng)用

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已知正六邊形面積為100,A、B、C、。、E、F分別為所在邊中點(diǎn)，求陰影六角星的面積.

四年級(jí)寒假笫2講格點(diǎn)與割補(bǔ)(C版)

AA

BB

C\\//EC\7\7\7E

DD

【答案】50

【分析】如圖，將正六邊形分割成正三角形格點(diǎn)的形式，易知正六邊形共含24個(gè)小正三角形，陰影六角星

共含12個(gè)小正三角形，故陰影六角星面積為正六邊形的一半，即100+2=50.

拓展7：

如圖，正六邊形ABC。所的面積為240,那么陰影部分的面積是.

【答案】60

【分析】把圖形進(jìn)行分割可得，S=240復(fù)24(2?3)60

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如圖，三角形ABC和。EF是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，其中。E長(zhǎng)9厘米，CE長(zhǎng)3厘米，那么

陰影部分的面積是平方厘米.

【答案】27平方厘米

【分析】DE=EF=AB=BC=3CE,可將圖形進(jìn)行如圖的分割，S陰=3x3+2x6=27c病

..............................................................................

如圖，在兩個(gè)相同的等腰直角三角形中各作一個(gè)正方形，如果正方形A的面積是36平方厘米，求正方形

B的面積.

【答案】32平方厘米

【分析】根據(jù)A的面積為36平方厘米，推知總面積為36x2=72平方厘米；對(duì)8的分割如下:

總面積為9格，B的面積為4格，可見(jiàn)8的面積為72+9x4=32平方厘米.

拓展10：

兩個(gè)正方形如圖放置，圖中的每個(gè)三角形都是等腰直角三角形；若其中較小正方形的邊長(zhǎng)為12厘米，那

么較大正方形的面積是_________平方厘米.

【答案】162平方厘米

【分析】對(duì)原圖分割，較大的正方形的面積為12x12+16x18=162平方厘米.

知識(shí)點(diǎn)睛

1.格點(diǎn)多邊形：（1）用有頂點(diǎn)都要在格點(diǎn)上；（2）各邊均為直線段.

2.格點(diǎn)多邊形面積的求法：

（1）分割法：分割線段的兩個(gè)端點(diǎn)應(yīng)為格點(diǎn)，以保證分割后的小圖形面積可求;

（2）排除法：“整體減空白”是高年級(jí)幾何中的常用方法；

（3）畢克定理：三角形格點(diǎn)多邊形面積公式=正方形格點(diǎn)多邊形面積公式x2.

拓展練習(xí)

I.☆☆圖中相鄰格點(diǎn)圍成的最小正方形的面積均為1.這兩個(gè)多邊形的面積分別是多少？

四年級(jí)寒假笫2講格點(diǎn)與割補(bǔ)（C版）

【答案】7.5;6.5

【分析】左：4+9+2—1=75；右：3+9+2—1=6.5

2.☆☆圖中每個(gè)小正方形的面積都是4平方厘米，請(qǐng)求出下面多邊形的面積.

【答案】60平方厘米

【分析】分割法：(6+8+l)x4=60平方厘米

3.☆計(jì)算下面圖形的面積(每相鄰三個(gè)點(diǎn)“???”或是面積為1的等邊三角形).

【答案】從左到右依次是：2；2；2；4；4；2

4.☆☆求下列格點(diǎn)多邊形的面積(每相鄰三個(gè)點(diǎn)工?'域是面積為1的等邊三角形).

【答案】18

【分析】方法一分割法：4?17+2?12?21=18

方法二畢克定理：2x(7+6+2-l)=18

5.☆☆把大正三角形每邊六等分，組成如下圖所示的三角形網(wǎng).如果每個(gè)小三角形的面積都是1,求圖中陰

影的面積.

【答案】18

【分析】三個(gè)陰影部分形狀相同，大小相等，求出一塊即可，(4+44-2)x3=18.

6.☆☆☆等邊三角形ABC中，AD=DE=BE,AC=6CH,BC=6BF=3CG,三角形ABC的面積為36,求

陰影部分的面積.

【答案】22

【分析】易知尸、”點(diǎn)分別為6等分點(diǎn)，可將三角形ABC等分36份,

(1)分割法：5=1x2+3x4+4x2=22

(2)整體減空白：5=36-2x5-1x2-1x2=22

(3)畢克定理：S=2x(8+8+2-l)=22

7.☆☆☆如圖，正六邊形48C0EF的面積為240,那么陰影部分的面積是.

【答案】60

【分析】把圖形進(jìn)行分割可得，5=240+24x(2x3)=60.

8.☆☆☆已知大的正六邊形面積是60平方厘米，按圖中方式切割(切割點(diǎn)均為等分點(diǎn))，形成的陰影部分

面積是多少平方厘米？

四年級(jí)寒假笫2講格點(diǎn)與割補(bǔ)(C版)

【答案】45

【分析】如下圖進(jìn)行分割，陰影部分的面積為S=60復(fù)2418=45平方厘米.

9.☆☆☆如圖是一組總面積為80cm2的七巧板,用它構(gòu)成右圖陰影部分的形狀，這個(gè)形狀內(nèi)接于如圖所示

的長(zhǎng)方形.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為多少？

【答案】150平方厘米.

【分析】80+8x15=150平方厘米.

10.☆☆☆兩個(gè)正方形如圖放置，圖中的每個(gè)三角形都是等腰直角三角形；若其中較小正方形的邊長(zhǎng)為12厘

米，那么較大正方形的面積是平方厘米.

【答案】162平方厘米

【分析】對(duì)原圖分割，較大的正方形的面積為12x12+16x18=162平方厘米.

本講鞏固

1.圖中水平、豎直方向相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離都是1,請(qǐng)你求出圖中“8”、“0”、“9”的面積各是多少.

【答案】16;14;14.5

2.已知相鄰兩個(gè)格點(diǎn)距離為1,請(qǐng)求出下面的機(jī)器人頭部覆蓋的面積（不含眼睛和嘴巴）.

【答案】54

【分析】?jī)蓚€(gè)耳朵分別為2x2-lx2-lxl+2=1.5,頭發(fā)占的面積為23,臉部占的面積是32,眼睛和嘴巴

占的面積是4,1.5x2+23+32-4=54

3.如圖為邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，請(qǐng)計(jì)算圖中三角形的面積.

【答案】24-8-3-3=10

4.求下面格點(diǎn)多邊形的面積（每相鄰三個(gè)點(diǎn)或是面積為1的等邊三角形）.

【答案】10

【分析】方法一整體減空白：5=5x4-5x2=10:

方法二分割法：5=2x1+2x2+2x2=10:

方法三畢克定理：S=2x（3+6+2-l）=10.

5.圖中相鄰三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1,求五邊形的面積.

四年級(jí)寒假笫2講格點(diǎn)與割補(bǔ)（C版）

【答案】35

【分析】圖形內(nèi)部有13個(gè)點(diǎn)，邊上有11個(gè)點(diǎn)，由三角形畢克定理，面積為（13+11+2—1）x2=35.

6.已知正六邊形面積為6平方厘米，A、B、C分別為所在邊中點(diǎn)，求陰影三角形的面積.

【答案】2.25平方厘米

【分析】將正六邊形分成六個(gè)面積為1平方厘米的正三角形，再取它們各邊的中點(diǎn)將每個(gè)正三角形分為4個(gè)

小正三角形.于是正六邊形被分成了24個(gè)小正三角形，每一個(gè)小正三角形的面積是6+24=0.25（平方厘

米），三角形ABC由9個(gè)小正三角形所組成，所以三角形