小學(xué)奧數(shù)合輯（學(xué)生用書）1-2-2-1 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

§3季目強(qiáng)

本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，其實(shí)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過(guò)程，可以分為

觀察、改造、運(yùn)用公式等過(guò)程。很多時(shí)候裂項(xiàng)的方式不易找到，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進(jìn)行一部分

運(yùn)算，使其變得更加簡(jiǎn)單明了。

本講是整個(gè)奧數(shù)知識(shí)體系中的一個(gè)精華部分，列項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，所以先找通項(xiàng)是裂項(xiàng)的

前提，是能力的體現(xiàn)，對(duì)學(xué)生要求較高。

娜喃撥

分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

一'“裂差”型運(yùn)算

將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法.裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整

數(shù)裂項(xiàng)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的

觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無(wú)需復(fù)雜

的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過(guò)程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即」一形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即

axb

那么有」一=」一d_

axbb—aab

(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

--------1--------,------------1-----------形式的，我們有：

nx(H+1)x(n+2)nx(n+l)x(/?+2)x(n+3)

〃x(〃+l)x(〃+2)2HX(H4-1)(〃+1)(〃+2)

1=1[11]

nx(n4-1)x(n+2)x(/?+3)3〃x(〃+l)x(〃+2)("+1)x(〃+2)x(〃+3)

裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：

(1)分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將X

提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。

(2)分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”

(3)分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。

二、“裂和”型運(yùn)算:

常見(jiàn)的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：

a+bab11/八a2+b2a2b1ab

(1)------=-------+-------=—+—(2)----------=-------+-------=—+—

axbaxbaxbbaaxhaxhaxhba

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的,

同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

刖3H

11111

【例1】----------1------------1------------1----------+------=

1x22x33x44x55x6

11

【鞏固】H------------+d-------------

10x1111x1259x60

2222

【鞏固】4-----------1------1-----------1---------=

10x99x85x44x3

1111

[例2]-+-----+-----------FH-------------------------

11+21+2+31+2+.-.+100

1111

【例31-----H--------H--------+???H

1x33x55x7-------99x101

【鞏固】計(jì)算:25x(————

11x33x55x723x25

空+衛(wèi)251251

【鞏固】—++...++

4x88x1212x162000x20042004x2008

5671

【鞏固】計(jì)算:---------1-----------1----------H--------------1--------------1---------------1------=

2x55x77x1111x1616x2222x2929

計(jì)算：d+LLL-L+-L+-L+-L)xi28=

[例4]

8244880120168224288

11111111

【鞏固】—+-H------+-----+-------F----+-------F----=

612203042567290

【鞏固】△+L—+3=

3610152128

、二型111111111

【鞏固】計(jì)算：---------------------------------------

2612203042567290

11111

【鞏固】-----1--------1-------1---------1--------=

104088154238

1111

[例5]計(jì)算:-------------1----------------1--------------h???H

1x3x53x5x75x7x9-----2001x2003x2005

7.

,X4.5+0.16

18111

[例6]—+—+—

13--3.75x3.2153563

3

11Jc1，1”1

[例7]計(jì)算:1—+2—+3—+4—+…+20---

261220420

【鞏固】計(jì)算：2008—+2009—+2010—+2011—+2012—=

1854108180270,

1224

【鞏固】計(jì)算:+一+—+—+—

26153577

I111111

【鞏固】計(jì)算:4--+—+—+—+—4-——

315356399143195

【鞏固】計(jì)算:1511192997019899

-+-+4--+一+…+?702+9966

26Y22030

111

[例8]-----------1-------------F,??H

1x2x32x3x4-------7x8x9

【鞏固】計(jì)算:--------------|------------------F???d---------------------------

1x2x32x3x498x99x100

【鞏固】計(jì)算:-------------H--------------------F----------------F???H------------------------

1x3x52x4x63x5x720x22x24

4444

【鞏固】—+—2—++-----------------------1-----------------------

1x3x53x5x793x95x9795x97x99

971

【鞏固】+??.------------------

1x2x32x3x43x4x599x100x101

[例9]----------------------1------------------------1----------------------+??,+-----------------------F----------------------

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

333

【鞏固】-----------------------F----------------------+17xl8xl9x20

lx2x3x42x3x4x5

5719

【例10】計(jì)算:-----------------1-----------------F???H---------------------

1x2x32x3x48x9x10

571719

【鞏固】計(jì)算:1155x(H----------------+?..+)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

【鞏固】計(jì)算:-----------------------1--------------------------1--------------------------F,?--------------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【例11】—I-----------1-----------------H-------------------------+???H--------------------------------

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

rm?I23456

[12]------1-----------1-------------------------1------------------1--------------------------------------1-------------------------------------------

1x21x2x3Ix2x3x4Ix2x3x4x5Ix2x3x4x5x6Ix2x3x4x5x6x7

2399

【鞏固】計(jì)算:------1--------F,?----------

3!4!100!

3450

【例]3]---+4-+…+

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(1+2+3+,,?+49)x(1+2+???+50)

234100

［鞏固］—--十++…+

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(l+2+3+4)(1+2+...+99)x(1+2+...+100)

［鞏固］］------------------------------------------------------------------

1X(1+2)(l+2)x(l+2+3)(1+2+3+???+9)x(1+2+3+???+10)

小111111

32-152-172-192-1112-1132-1

【鞏固】計(jì)算:

35715

【鞏固】計(jì)算:--------------1----------------1----------------h,?

12X2222X3232X42---------72X82

32+152+172+l19932+119952+1

【鞏固】計(jì)算:+++???++=

2222

3-15-17-119932-11995-1

12+3222+4232+52982+1002

【鞏固】計(jì)算:-----------H---------------+-------------+???H---------------------

22-132-142-1992-1

I22232502

【鞏固】計(jì)算:------1--------1--------1-----1

1x33x55x7--------99x101

5+66+77+88+99+7

【例15］677+7^8-8^9+9x10

5x6

365791113

【鞏固】+—+一+—+一+一+一

57612203042

132579101119

【鞏固】計(jì)算:-+—+—+—+—+—+—+—+—=

3457820212435------------

12379111725

【鞏固】—+—+—+—+―+一+一+一

3571220283042

1111

【鞏固】—+一+—+—+

233031

35_4963_

【鞏固】

~6~V220-

5791113151719

【鞏固】計(jì)算:1+-----1---------F—+