變分法原理與技術(shù)

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最優(yōu)控制中南大學(xué)

2008.03大家好大家好2

第二章變分法及其

在最優(yōu)控制中的應(yīng)用2.1變分法簡介2.2泛函的變分2.3歐拉方程2.4橫截條件2.5泛函局部極值的充分條件2.6等式約束條件下的變分問題2.7利用變分法求解最優(yōu)控制問題小結(jié)大家好32.1變分法簡介

作為數(shù)學(xué)的一個分支，變分法(calculusofvariations)的誕生，是現(xiàn)實世界許多現(xiàn)象不斷探索的結(jié)果:約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個難題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？”這就是著名的“最速降線”問題（TheBrachistochroneProblem）。大家好4

它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它要求出一個未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣.羅比塔（1661-1704）、雅可比·伯努利（1654-1705）、萊布尼茨（1646-1716）和牛頓（1642—1727）都得到了解答。約翰的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更為一般化.歐拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)發(fā)明了這一類問題的普遍解法，從而確立了數(shù)學(xué)的一個新分支——變分學(xué)。

大家好5

有趣的是，在1690年約翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的懸鏈線問題(TheHangingChainProblem),向數(shù)學(xué)界征求答案，即，固定項鏈的兩端，在重力場中讓它自然垂下，問項鏈的曲線方程是什么。在大自然中，除了懸垂的項鏈外，我們還可以觀察到吊橋上方的懸垂鋼索，掛著水珠的蜘蛛網(wǎng)，以及兩根電線桿之間所架設(shè)的電線，這些都是懸鏈線（catenary）。大家好6

伽利略（Galileo,1564～1643）比貝努利更早注意到懸鏈線，他猜測懸鏈線是拋物線，從外表看的確象，但實際上不是?；莞梗℉uygens,1629～1695）在1646年（當(dāng)時17歲），經(jīng)由物理的論證，得知伽利略的猜測不對，但那時，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出懸鏈線問題的第二年，萊布尼茲、惠更斯（62歲）與約翰·伯努利各自得到了正確答案，所用方法是誕生不久的微積分，具體說是把問題轉(zhuǎn)化為求解一個二階常微分方程大家好7解此方程并適當(dāng)選取參數(shù)，得

即為懸鏈線。

懸鏈線問題本身和變分法并沒有關(guān)系，雅可比·貝努利隨后所證明的“懸掛于兩個固定點之間的同一條項鏈，在所有可能的形狀中，以懸鏈線的重心最低，具有最小勢能”，有關(guān)懸鏈線的得幾個結(jié)論，可以用變分法來證明！大家好8

現(xiàn)實生活中的許多現(xiàn)象可以表達(dá)為泛函求極值問題，稱為變分問題。變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。

什么叫泛函？大家好92.1泛函的變分一、泛函的定義

如果變量J對于某一函數(shù)類中的每一個函數(shù)x(t)，都有一個確定的值與之對應(yīng)，那么就稱變量J為依賴于函數(shù)x(t)的泛函，記為：J=J[x(t)]。

說明：由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量的函數(shù)的選取而確定的，所以將泛函理解為“函數(shù)的函數(shù)”。大家好10例2.1.1函數(shù)的定積分都是泛函。因為變量J的值是由函數(shù)的選取而確定的。2.

離散系統(tǒng)1.連續(xù)時間系統(tǒng)：是泛函嗎？大家好11例2.1.2在平面上連接給定兩點A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲線的弧長J是一個泛函，如圖2-1所示。當(dāng)曲線方程x=x(t)（滿足x(ta)=xa

，x(tb)=xb

）給定后，可算出它在A、B兩點間的弧長為：A(ta,xa)x(t)B(tb,xb)xot圖2－1ΔtiΔxi大家好12例2.1.3函數(shù)的不定積分泛函的上述概念，可以推廣到含有幾個函數(shù)的泛函的情況：不是泛函。例如大家好13幾點說明：

1、泛函是映射，是從函數(shù)空間到數(shù)域的映射。

2、泛函的自變量是函數(shù)，泛函的自變量稱為泛函的宗量。

3、容許函數(shù)空間：滿足泛函的規(guī)定條件的宗量的全體所構(gòu)成的函數(shù)空間。

4、求函數(shù)的極值時，微分或?qū)?shù)起著重要的作用。求泛函的極值時，變分起著類似的作用。我們將求泛函的極值問題稱為變分問題，其相應(yīng)的方法稱為變分法。大家好14從例2.1.2可以知道，連接A、B兩點的曲線之弧長的泛函，其被積函數(shù)是未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。在一般情況下，被積函數(shù)是自變量t，未知函數(shù)x(t)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。所以最簡單的一類泛函可表示為：大家好15二、泛函宗量的變分（2.1.1）

泛函J[x(t)]的宗量x(t)的變分是指在同一函數(shù)類中的兩個函數(shù)間的差：圖2－2x(t)x0x0(t)t1t2大家好16

三、泛函的連續(xù)性

函數(shù)相近

零階相近當(dāng)函數(shù)x(t)與x0(t)之差的絕對值，即:

∣x(t)-x0(t)∣,t1

t

t2

(2.1.2)

對于x(t)的定義域中的一切t（t1

t

t2

）都很小時，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是相近的，也稱為零階相近。如圖2-3所示。x(t)xot圖2－3x0(t)t1t2大家好17一階相近

當(dāng)函數(shù)x(t)與x0(t)之差的絕對值以及它們的一階導(dǎo)數(shù)和之差的絕對值，即

(2.1.3)都很小，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是一階相近的，如圖2-4所示。x(t)xot圖2－4x0(t)t1t2注意：一階相近的兩個函數(shù)，必然是零階相近，反之不成立。大家好18都很小時，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是k階相近的。k階接近：當(dāng)(2.1.4)大家好19

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

(2.1.5）函數(shù)間距離在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：（2.1.6）顯然，式（2.1.5）定量地表示兩個函數(shù)之間的零階相近度，而式（2.1.6）定量地表示兩個函數(shù)之間的k階相近度。大家好20

如果對于任意給定的正數(shù)

，可以找到這樣一個

>0，當(dāng)

d[x(t)，x0(t)]<

（2.1.7）

時，存在

∣J[x(t)]－J[x0(t)]∣<

(2.1.8)

那么，就說泛函J在點x0(t)處是連續(xù)的。根據(jù)所采用的函數(shù)之間距離定義的不同，是按式（2.1.5）還是式（2.1.6），其對應(yīng)的泛函分別稱為零階連續(xù)泛函或k階連續(xù)泛函。泛函的連續(xù)性大家好21四、泛函的常見形式

1、線性泛函連續(xù)泛函如果滿足下列條件：

（1）J[x1(t)+x2(t)]=J[x1(t)]+J[x2(t)]

（2）J[cx(t)]=cJ[x(t)]其中，c是任意常數(shù)，就稱為線性泛函。例如都滿足上述兩個條件，故均為線性泛函。大家好22連續(xù)泛函如果滿足下列條件：（1）J[x1(t)]+J[x2(t)]=1/2[J[x1(t)+x2(t)]+J[x1(t)-x2(t)]]（2）J[cx(t)]=c2J[x(t)]就稱為*****二次型泛函*****。例如是關(guān)于x(t)的二次型泛函，其中F、Q均為對稱矩陣。2、二次型泛函大家好23

五、泛函的變分

變分法（calculusofvariations）是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造。變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。大家好24泛函的變分的定義如果連續(xù)泛函J[x(t)]的增量可以表示為：其中，L[x(t)，x(t)]是關(guān)于x(t)的線性連續(xù)泛函，而r[x(t)，x(t)]是關(guān)于x(t)的高階無窮小。L[x(t)，x(t)]

稱為泛函的變分，記為（2.1.9）（2.1.10）也就是說，泛函的變分是泛函增量的線性主部。當(dāng)一個泛函具有變分時，即泛函的增量可以用式（2.1.9）來表示時，稱該泛函是可微的。大家好25例如，泛函的增量為：于是，其變分為：

可以證明，泛函的變分是唯一的。因為，若泛函的變分不是唯一的，則泛函的增量可以寫為：大家好26引理2.1.1泛函J[x(t)]的變分為：證明：如上所述，泛函J[x(t)]的增量為：其中，

（0≤

≤1）是一個參變量。由于L[x(t)，

x(t)]是關(guān)于

x(t)的線性連續(xù)泛函，根據(jù)線性泛函的性質(zhì)（2），有（2.1.11）大家好27又由于r[x(t)，

x(t)]是關(guān)于

x(t)的高階無窮小，所以利用上述兩點結(jié)論，便得根據(jù)偏微分的定義大家好28因為泛函J[x(t)]的變分為：所以Q．E．D大家好29例2.1.5求泛函的變分

例2.1.4求泛函的變分。大家好30例2.1.4求泛函的變分。根據(jù)式（2.1.11），該泛函的變分為：大家好31根據(jù)式（2.1.11），所求泛函的變分為：例2.1.5求泛函的變分

大家好32若設(shè)則大家好33六、泛函的極值

如果泛函J[x(t)]在函數(shù)空間中點x=x0(t)的鄰域內(nèi)，其增量為：就稱泛函J[x(t)]在點x0(t)處達(dá)到極小值；如果泛函J[x(t)]在函數(shù)空間中點x=x0(t)的鄰域內(nèi)，其增量為：就稱泛函J[x(t)]在點x0(t)處達(dá)到極大值；x0(t)的鄰域包含滿足條件：的所有點x(t)的球（即以x0(t)為圓心，以

為半徑的球）。大家好34注意：所采用的函數(shù)間的距離的定義的不同，點x0(t)的鄰域內(nèi)所包含的函數(shù)也不同。＊若→強極值＊若→弱極值

顯然，如果泛函J[x(t)]在點x0(t)處達(dá)到強極值，那么它在點x0(t)處也一定達(dá)到弱極值。反之不成立。定理2.1.1（必要條件）若泛函J[x(t)]是連續(xù)可微的，并且在點x0(t)處達(dá)到極值，則泛函在點x0(t)處的變分等于零，即（2.1.12）大家好35證明：對于任意給定的x(t)，J[x0(t)+x(t)]既是函數(shù)x(t)的泛函，又是變量

的函數(shù)。泛函J[x0(t)+x(t)]在x0(t)處達(dá)到極值，也可看成是函數(shù)J[x0(t)+x(t)]在

=0處達(dá)到極值，所以函數(shù)J[x0(t)+x(t)]對變量

的偏導(dǎo)數(shù)在

=0處應(yīng)等于零，即而由式（1.1.11）有比較上面兩式，又考慮x(t)是任意給定的，所以Q．E．D．大家好36

從定理2.1.1的推證中可見，泛函達(dá)到強極值與弱極值的必要條件是相同的。應(yīng)當(dāng)指出：本節(jié)所討論的定義、引理和定理，稍加變動就可以應(yīng)用于含有多個未知函數(shù)的泛函：J[x1(t)，x2(t)，…，xn(t)]大家好37AByx0

求平面上過兩點和的最短曲線。解：設(shè)曲線方程，且。兩點間弧長L

是的泛函，設(shè)本例就是要解得當(dāng)泛函為極值的極端函數(shù)。例2.1.6大家好38例2.1.72.1.7大家好392.2歐拉方程

最優(yōu)控制問題中，根據(jù)性能指標(biāo)的類型（積分型性能指標(biāo)、終值型性能指標(biāo)、復(fù)合型性能指標(biāo)）的不同，分別對應(yīng)了古典變分法中的三類基本問題。拉格朗日（Lagrange）問題—基本問題麥耶耳(Mayer)問題波爾扎（Bolza）問題(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)大家好40問題描述：假定點A(t0,x0)和B(tf,xf)是所要尋求的泛函（2.2.1）的極值曲線x(t)的兩個固定端點，如圖2-5所示，其坐標(biāo)為：x*(t)xot圖2－5x(t)A(t0,x0)B(tf,xf)（2.2.4）現(xiàn)在的問題是：從滿足邊界條件（2.2.4）的二階可微的函數(shù)中，選擇使泛函（2.2.1）達(dá)到極小值的函數(shù)x(t)。固定端點的Lagrange問題大家好41解:設(shè)x*(t)是使泛函（2.2.1）達(dá)到極小值且滿足邊界條件（2.2.4）的極值曲線?，F(xiàn)用（2.2.5）表示滿足邊界條件（2.2.4）的極值曲線x*(t)的鄰域曲線。其中x(t)是泛函宗量x(t)的變分，

(0

1)是一參變量。為使x(t)是滿足邊界條件（2.2.4）的極值曲線x*(t)的鄰域曲線，x(t)應(yīng)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足條件：

(2.2.6)于是，由式（2.2.5）得到（2.2.7）大家好42

由于x*(t)是極值曲線，所以泛函（2.2.1）在極值曲線x*(t)上的變分等于零（定理2.1.1），即由引理2.1.1知，泛函的變分為（2.2.8）（2.2.9）大家好43(2.2.10)將代入，得大家好44（2.2.12）利用條件x(t0)=x(tf)=0

，則上式變?yōu)椋?.2.13）（2.2.11）考慮到泛函宗量的變分x(t)是任意的函數(shù)，不妨選擇（2.2.14）其中w(t)是任一滿足下列條件的函數(shù)：對式右端第二項進(jìn)行分部積分將式（2.2.11）代入，并考慮式得變分預(yù)備定理大家好45由上式可見，一個非負(fù)的函數(shù)的定積分為零，只能是被積函數(shù)恒等于零，因此有（2.2.15）將上式左端第二項展開，可得（2.2.16）歐拉(Euler)方程歐拉方程(C為某一函數(shù))將式代入式，可得大家好46式中若時，歐拉方程是一個二階微分方程。大家好47定理2.2.1若給定曲線x(t)的始端x(t0)=x0和終端x(tf)=xf，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，曲線x(t)滿足歐拉方程其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。為什么？大家好48幾種特殊的歐拉方程（可以得到封閉形式的解）其中c是待定的積分常數(shù)。實際上，將上式左邊對t求全導(dǎo)數(shù)，有L不顯含t歐拉方程1.被積函數(shù)L不顯含t，即在這種情況下，歐拉方程的首次積分為（2.2.17）大家好493.被積函數(shù)L不顯含

，即在這種情況下，歐拉方程的首次積分為在這種情況下，歐拉方程的首次積分為2.被積函數(shù)L不顯含x，即大家好50泛函變分的分量表示法對于大家好51在n維函數(shù)空間中，若極值曲線的始端和終端是給定的，則泛函

的每一個分量xi引起的J的變分：同理：泛函變分的向量表示法大家好52歐拉(Euler)方程大家好53

對于向量空間的泛函，也存在著歐拉方程，不過是歐拉方程組（即向量歐拉方程）。(說明了什么？)定理2.2.2在n維函數(shù)空間中，若極值曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T和終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是給定的，則泛函達(dá)到極值的必要條件是曲線X(t)滿足向量歐拉方程其中X(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。（2.2.18）大家好54例2.2.1求泛函滿足邊界條件的極值函數(shù)。解：由式（2.2.18）得：其特征方程為：特征根為：從而得大家好55由給定的邊界條件于是得極值函數(shù)：得大家好56例2.2.2最速降線(又稱捷線)問題所謂最速降線問題是:設(shè)在豎直平面內(nèi)有兩點A和B，它們不在同一條鉛垂線上，現(xiàn)有一質(zhì)點受重力的作用自較高的A點向較低的B點滑動，如果不考慮各種阻力的影響，問應(yīng)取怎樣的路徑，才能使所經(jīng)歷的時間最短？解：在A、B兩點所在的豎直平面內(nèi)選擇一坐標(biāo)系，如圖2－6所示。A點為坐標(biāo)原點，水平線為x軸，鉛垂線為y軸。設(shè)質(zhì)點的初速度為零，則由力學(xué)的知識可知，質(zhì)點在重力的作用下，不考慮各種阻力的影響，從A點向B點下滑的速度的大小為（2.2.19）xoyA(0,0)B(xf,yf)dxdydl圖2－6為什么？目標(biāo)泛函？大家好57由圖2－6得（2.2.20）將式（2.2.20)代入式（2.2.19）中，并變換，得對上式兩邊進(jìn)行積分，可得質(zhì)點自點A(0，0)滑動到點B(xf，yf)所需的時間為（2.2.21）

設(shè)y=y(x)是連接點A(0，0)和點B(xf，yf)的任一光滑曲線,則最速降線問題的數(shù)學(xué)提法是:在XOY平面上確定一條滿足邊界條件（2.2.22）大家好58的極值曲線y=y(x)，使泛函（2.2.23）達(dá)到極小值。這時被積函數(shù)為：不顯含自變量x，由(2.2.17)知，它的首次積分為化簡上式得

理由？大家好59這種方程宜于利用參數(shù)法求解，為此，令于是，又由對上式積分，得由邊界條件y(0)知，c2=0，于是大家好60令最后得

這是圓滾線的參數(shù)方程。式中r是滾動圓半徑，其值由另一邊界條件y(xf)=yf確定。所以，最速降線是一條圓滾線。說明：圓滾線（擺線/旋輪線）是指一圓沿定直線滾動時，圓周上一定點所描繪出的軌跡。大家好61大家好622.3橫截條件當(dāng)極值曲線x*(t)的端點變化時，要使泛函達(dá)到極小值，x*(t)首先應(yīng)當(dāng)滿足歐拉方程：若端點固定,可以利用端點條件:確定歐拉方程中的兩個待定的積分常數(shù)。問題：若端點可變，如何確定這兩個積分常數(shù)？大家好63問題描述：假定極值曲線的始端A(t0，x0)是固定的，而終端B(tf，xf)是可變的，并沿著給定的曲線（２.３.１）變動，（2.3.1）如圖2－7所示?，F(xiàn)在的問題是需要確定一條從給定的點A(t0，x0)到給定的曲線(2.3.1)上的某一點B(tf，xf)的連續(xù)可微的曲線x(t)，使得泛函達(dá)到極小值。（2.3.2）txA(t0,x0)B(t*f,x*f)x*(t)x(t))(ftj圖27橫截條件推導(dǎo)過程大家好64（2.3.3）（2.3.4）由圖2-7可見，每一條鄰域曲線x(t)都對應(yīng)一個終端時刻tf

，設(shè)極值曲線x*(t)所對應(yīng)的終端時刻為tf*，則鄰域曲線x(t)所對應(yīng)的終端時刻tf可以表示為：（2.3.5）將式（2.3.3）～（2.3.5）代入式（2.3.2），得（2.3.6）解：設(shè)x*(t)是泛函的極值曲線。x*(t)的鄰域曲線可表示為：大家好65根據(jù)泛函達(dá)到極值的必要條件則有：（2.3.7）式（2.3.7）左邊第一項相當(dāng)于tf固定時的泛函的變分，按照上一節(jié)推導(dǎo)的結(jié)果可得（2.3.8）大家好66式（2.3.7）左邊第二項先利用中值定理，然后求導(dǎo)，則得（2.3.9）將式（2.3.8）和式（2.3.9）代入式（2.3.7），得考慮到歐拉方程和始端固定所以有（2.3.10）大家好67大家好68（2.3.11）但是，終端點沿曲線（2.3.1）變動，所以x(t*f)與dtf相關(guān)。為了進(jìn)一步簡化式（2.3.10），應(yīng)當(dāng)求出x(t*f)與dtf之間的關(guān)系。

若x(t*f)與dtf互不相關(guān)，則由上式得大家好69將上式代入式（2.3.10），可得x(t*f)與dtf之間的關(guān)系根據(jù)終端約束條件，應(yīng)有將上式對

取偏導(dǎo)數(shù)，并令=0，利用，整理得大家好70的圖解xtA(t0,x0)B(t*f,x*f)x*(t)x(t))(ftj大家好71由于dtf是任意的，所以（2.3.12）橫截條件大家好72定理2.3.1

若曲線x(t)由一給定的點(t0，x0)到給定的曲線x(tf)=

(tf)上的某一點(tf，xf)，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，x(t)滿足歐拉方程和橫截條件其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的，而

(t)則應(yīng)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。大家好73若極值曲線的始端不是固定的，并沿著曲線(2.3.13)變動，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件(2.3.14)大家好74(1)t0、

tf

自由x(t0)與x(tf)受約，即x(t0)=

(t0)，x(tf)=

(tf)，則橫截條件為：(2)當(dāng)t0、

tf

自由，而x(t0)與x(tf)固定時，則橫截條件為：

根據(jù)定理2.3.1和式（2.3.14），可得到端點可變時，Lagrange問題的解，除有歐拉方程外，還有橫截條件：大家好75(3)當(dāng)t0、

tf

固定，即始端與終端分別在t=t0、t=tf上滑動，則橫截條件為：同理:大家好76(4)始端、終端時間和狀態(tài)都自由時的橫截條件為：定理2.3.1和以上幾種情況的橫截條件，都可以將其推廣到n維函數(shù)向量X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的泛函的情形。大家好77定理2.3.2在n維函數(shù)空間中，若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T是固定的，而終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是可變的，且在曲面X(tf)=

(tf)上變動，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，曲線X(t)滿足向量歐拉方程和橫截條件大家好78其中X(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的，而

(t)=[

1(t)，

2(t)，

，

n(t)]T則應(yīng)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。

若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端不是固定的，而是可變的，并在給定的曲面上變動，其中，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件為：大家好79

采用分量的變分方式在n維函數(shù)空間中，若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T是固定的，而終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是可變的，且在曲面X(tf)=

(tf)上變動，求泛函的極值.可用代入消去法,這時大家好80大家好81txA(t0,x0)B(t*f,x*f)x*(t)x(t))(ftj圖27大家好82取極值的必要條件為：大家好83由于的任意性，所以有以下的等式成立：（橫截條件）大家好84大家好85(1)始端、終端可變，即x(t0)=

(t0)，x(tf)=

(tf)，則橫截條件為：(2)當(dāng)t0、

tf

可變，而x(t0)與x(tf)固定時，則橫截條件為：(3)當(dāng)t0、

tf

固定，而x(t0)與x(tf)約束時，即始端與終端分別在t=t0、t=tf上滑動，則橫截條件為：同理:大家好86(4)始端、終端自由的橫截條件為：大家好87例2.3.1求t-x平面上由給定A(0,1)至給定直線x=2-t的弧長最短的曲線方程。o1212txA(0,1)dsx*(t)圖2－8解：由圖2－8，弧長根據(jù)題意，目標(biāo)泛函應(yīng)選為：這是一個始端固定，終端可變的泛函的變分問題。由于泛函的被積函數(shù)中不顯含x(t)，所以Euler方程為：大家好88由初始條件x(0)=1，得c2=1，從而有由橫截條件（2.3.12），得經(jīng)整理得，所以c1=1。最優(yōu)軌線方程為：最優(yōu)軌線與給定直線垂直。大家好89*2.4泛函局部極值的充分條件泛函二階變分推導(dǎo)過程：給定泛函為其一階變分為（2.4.1）（2.4.2）大家好90而二階變分為大家好91（2.4.3）

于是，為使泛函（2.4.1）在曲線x(t)上達(dá)到極小（或極大）值，其一階變分（2.4.2）應(yīng)為零，而其二階變分（2.4.3）必須為正（或負(fù)）。由此，得到下面的定理。大家好92定理2.4.1若泛函的一階變分則J[x(t)]達(dá)到極小值的充分條件是二階型矩陣（2.4.4）是正定的或半正定的；而J[x(t)]達(dá)到極大值的充分條件是式（2.4.4）是負(fù)定的或半負(fù)定的。

定理2.4.1可以推廣到含有n個未知函數(shù)的泛函的情形。大家好93

復(fù)習(xí)與討論1）請寫出歐拉方程，并說明歐拉方程是在什么樣的端點條件和性能泛函下導(dǎo)出？如何導(dǎo)出？它用來解決什么問題？2）對于拉格朗日問題有幾種端點條件？使性能泛函達(dá)到極值的定解條件分別是什么？可以由哪些方法推導(dǎo)而來？大家好942.5等式約束條件下的變分問題一、回顧等式約束條件下函數(shù)極值問題的解法

設(shè)有函數(shù)（2.5.2）現(xiàn)在需要求函數(shù)Z在約束條件為（2.5.1）情況下的極值。大家好95①從方程（2.5.2）中將y解出來往往是很困難的；②對x和y這兩個自變量未能平等看待。從約束條件（2.5.2）中將y解出來。用x表示y，即y=y(x)然后將y(x)代入f(x,y)中，得到

Z=f[x,y(x)]（2.5.3）這樣，函數(shù)Z就只含有一個自變量x了，在等式（2.5.2）約束條件下的函數(shù)(2.5.1)的極值問題，就變成無約束條件的函數(shù)（2.5.3）的極值問題了。但是，消元法存在兩個問題：（1）消元法大家好96（2）拉格朗日乘子法（Lagrangefactor）步驟如下：

①作一個輔助函數(shù)F=f(x,y)+g(x,y)

式中，

是待定的常數(shù)，稱為拉格朗日乘子；

②求輔助函數(shù)F的無條件極值，即令(2.5.4)

③聯(lián)立求解方程（2.5.2）和（2.5.4），求出駐點（x0

，y

0）和待定常數(shù)

值;④判斷（x0

，y

0）是否是函數(shù)f(x,y)的極值點。大家好97

拉格朗日乘子法對于求n元函數(shù)

y=f（x1，x2，…，xn）在多個約束方程

gi（x1，x2，…，xn）=0，i=1，2，…，m；m<n條件下的極值問題，同樣適用。大家好98二、等式約束條件下泛函極值問題的解法求泛函（2.5.5）在約束方程為（2.5.6）和端點條件為（2.5.7）情況下的極值曲線。這里

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T，f=[f1,f2,…,fm]T，m<n。而是x1(t),x2(t),…,xn(t)和t的標(biāo)量函數(shù)。大家好99

利用拉格朗日乘子法求解上述等式約束條件下的泛函極值問題，其具體步驟為構(gòu)造輔助泛函

其中

(t)=[

1(t),

2(t),…,

m(t)]T是m維待定向量乘子。令(2.5.9)

寫出向量形式的歐拉方程

(2.5.10)

（2.5.8）大家好100定解條件：

檢驗候選函數(shù)X(t)是否使泛函達(dá)到極值以及是極大值還是極小值。得到候選函數(shù)X(t)大家好101如果將向量乘子

(t)也看做是輔助泛函的宗量，那么約束方程（2.5.6）也可以看作是輔助泛函的歐拉方程：大家好102①利用拉格朗日乘子法求得的函數(shù)X(t)，如果輔助泛函達(dá)到極值，就一定是原泛函（2.5.5）的極值函數(shù)。因為由約束方程（2.5.6）和歐拉方程（2.5.10）聯(lián)立解出的向量函數(shù)X(t)和

(t)一定滿足約束方程（2.5.6），所以必有J0=J，另外，當(dāng)將所解出的

(t)代入輔助泛函（2.5.8）時，函數(shù)X(t)將使輔助泛函（2.5.8）達(dá)到無條件極值，因為函數(shù)X(t)是輔助泛函（2.5.8）的歐拉方程（2.5.10）的解。②上面的論述僅僅指出了利用拉格朗日乘子法求出的輔助泛函（2.5.8）的無條件的極值函數(shù)，一定是原泛函（2.5.5）在等式（2.5.6）約束條件下的極值函數(shù)。但是，卻沒有說明原泛函（2.5.5）在等式（2.5.6）約束條件下的所有極值函數(shù)是否都能利用拉格朗日乘子法求出來？下面的定理將回答這個問題。

說明：大家好103定理2.5.1如果n維向量函數(shù)X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T

（2.5.11）能使泛函（2.5.15）在等式約束（2.5.12）條件下達(dá)到極值，這里f是m維向量函數(shù)，m<n，必存在適當(dāng)?shù)膍維向量函數(shù)

(t)=[

1(t),

2(t),…,

m(t)]T（2.5.14）使泛函（2.5.13）大家好104達(dá)到無條件極值。即函數(shù)X(t)是泛函（2.5.15）的歐拉方程（2.5.16）的解，其中而X(t)和

(t)由歐拉方程（2.5.16）和約束方程共同確定。大家好105說明：

①定理2.5.1表明，泛函（2.5.12）在等式（2.5.13）約束條件下的極值函數(shù)X(t)，同時也使泛函（2.5.15）達(dá)到無條件極值。這就進(jìn)一步說明泛函（2.5.12）在等式（2.5.13）約束條件下的極值函數(shù)X(t)都可通過拉格朗日乘子法求得。

②如果不僅將X(t)，而且連函數(shù)

(t)在內(nèi)，都看成是泛函（2.5.15）的宗量，那么，約束方程（2.5.13）也可以看成是泛函（2.5.15）的歐拉方程。方程（2.5.13）和（2.5.16）共有n+m個方程，恰好可以解出n維和m維未知函數(shù)X(t)和

(t)。

③當(dāng)約束方程中（2.5.13）中的函數(shù)f不包括有X(t)的導(dǎo)數(shù)時，則式（2.5.13）便成為一種代數(shù)方程約束。定理2.5.1仍然成立。大家好106例2.5.1已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖2－9所示。求最優(yōu)控制u*(t)，使目標(biāo)泛函取極小值。給定的邊界條件為x(t)u(t)21s圖2－9雙積分對象大家好107解：令則得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：現(xiàn)在的目標(biāo)泛函為應(yīng)用拉格朗日乘子法，構(gòu)造輔助泛函（2.5.17）令大家好108則向量形式的歐拉方程為根據(jù)狀態(tài)方程（1.5.17），得大家好109利用邊界條件，可得所以，最優(yōu)控制大家好1102.6利用變分法求解最優(yōu)控制問題

對于最優(yōu)控制問題來說，當(dāng)狀態(tài)變量和控制變量均不受約束，即X(t)Rn，U(t)Rm時，是在等式約束條件下求泛函極值的變分問題，因此，可以利用在上一節(jié)中介紹的拉格朗日乘子法來求解。在這一節(jié)中，利用拉格朗日乘子法求解最優(yōu)控制問題時，將引入哈密頓（Hamilton）函數(shù)，推導(dǎo)出幾種典型的最優(yōu)控制問題應(yīng)滿足的必要條件。大家好111問題2.6.1

給定系統(tǒng)狀態(tài)方程(2.6.2)初始條件(2.6.1)終端條件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函(2.6.3)2.6.1拉格朗日問題的解要求從容許控制U(t)

Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.6.1）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函（2.6.3）達(dá)到極小值。這是拉格朗日問題，又稱為積分型最優(yōu)控制問題。大家好112

解：將狀態(tài)方程（2.6.1）改寫為(2.6.4)于是，上述最優(yōu)控制問題就變成為在微分方程（2.6.4）約束條件下求泛函（2.6.3）極值的變分問題。利用拉格朗日乘子法，引入n維拉格朗日乘子向量

(t)=[

1(t),

2(t),…,

n(t)]T

(t)稱為協(xié)態(tài)變量，以便與狀態(tài)變量相對應(yīng)。構(gòu)造輔助泛函(2.6.5)大家好113其中，(2.6.6)于是，求泛函（2.6.3）在等式（2.6.1）約束條件下的極值問題，就轉(zhuǎn)變成為求泛函（2.6.5）的無約束條件的極值問題。定義哈密頓（Hamilton）函數(shù)為:(2.6.7)它是一標(biāo)量函數(shù)，則式（2.6.6）變?yōu)?/p>

利用變分法可以寫出輔助泛函（2.6.5）的歐拉方程(2.6.8)大家好114

協(xié)態(tài)方程（或共軛方程）狀態(tài)方程規(guī)范方程（或正則方程）（2.6.11）（2.6.10）（2.6.9）控制方程由得大家好115（2.6.12）初始狀態(tài)為由于終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，所以橫截條件為（2.6.13）

式（2.6.9）～（2.6.13）就是式（2.6.1）～（2.6.3）所給定的最優(yōu)控制問題的解應(yīng)滿足的必要條件。這些條件也可以由求輔助泛函J0對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分中推導(dǎo)出來。聯(lián)立求解規(guī)范方程（2.6.9）和（2.6.10）可以得到兩個未知函數(shù)X(t)和

(t)，其一個邊界在始端（2.6.12），另一個邊界在終端（2.6.13），故稱為混合邊界問題或兩點邊界值問題?？紤]式，得大家好116求解兩點邊界值問題步驟由控制方程（2.6.11）求得

U=U[X(t)，

(t)，t]（2.6.14）

（2.6.15）（2.6.16）利用邊界條件（2.6.12）和（2.6.13）聯(lián)立求解方程（2.6.15）和（2.6.16），可得唯一確定的解X(t)和

(t)。將所求得的X(t)和

(t)代入式（2.6.14）中，可求得相應(yīng)的U(t)。并代入大家好117說明：

（1）對于兩點邊界值問題，一般難以求得其解析解，通常需要采用數(shù)值計算方法求其數(shù)值解。（2）利用引入哈密頓函數(shù)的方法求解拉格朗日型最優(yōu)控制問題，是將求泛函（2.6.3）在等式（2.6.1）約束條件下對控制函數(shù)U(t)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為求哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)的無條件極值問題。這種方法稱為哈密頓方法。大家好118定理2.6.1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)轉(zhuǎn)移到終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的某個終態(tài)，并使性能泛函大家好119達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是（1）設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制，X*(t)是對應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量

(t)

，使得X(t)與

(t)

滿足規(guī)范方程其中

（2）邊界條件為大家好120

（3）哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)（t0

t

tf）取極值，即*沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)H對時間t求全導(dǎo)數(shù)，得若H不顯含t時，則有H(t)=常數(shù)t[t0，tf];

也就是說，當(dāng)H不顯含t時，哈密頓函數(shù)H是不依賴于t的常數(shù)。大家好121例2.6.1已知系統(tǒng)方程和邊界條件為求使性能泛函為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線。

大家好122由控制方程得解：這是一個最小能量控制問題。其哈密頓函數(shù)為協(xié)態(tài)方程為解協(xié)態(tài)方程，得大家好123于是由狀態(tài)方程解得大家好124利用邊界條件求得積分常數(shù)為于是，最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線分別為大家好125例2.6.2已知系統(tǒng)方程和邊界條件為求使性能泛函為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線。大家好126由這些邊界條件求得的積分常數(shù)為解：問題的規(guī)范方程和控制方程均與例1.6.1相同，但邊界條件變?yōu)榇蠹液?27于是，所求得的最優(yōu)解為

由例2.6.1和例2.6.2可見，對于兩個相同的最優(yōu)控制問題，只是部分終端狀態(tài)不相同，所得到的最優(yōu)解則完全不同。大家好1282.6.2波爾扎問題的解問題2.6.2給定系統(tǒng)狀態(tài)方程(2.6.18)初始條件(2.6.17)和性能泛函(2.6.19)要求從容許控制U(t)

Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.6.17）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函（2.6.19）達(dá)到極小值。這是波爾扎問題，又稱為復(fù)合型最優(yōu)控制問題。由于給定的端點條件不同，上述最優(yōu)控制問題的解將不同。下面根據(jù)三種不同的端點條件，分別予以討論。大家好129

1.終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的情況構(gòu)造輔助泛函為：若令哈密頓函數(shù)為（2.6.20）（2.6.21）并對式（2.6.20）積分號內(nèi)第三項進(jìn)行分部積分，則輔助泛函變?yōu)榇蠹液?30（2.6.22）求上式對狀態(tài)變量X(t),X(tf)和控制變量U(t)的變分，得（2.6.24）由于泛函J0達(dá)到極值的必要條件為（2.6.23）由于

X(t0)=0，

X(tf)≠0，

X(t)≠0，

U(t)≠0，則由式（2.6.23）和（2.6.24）可得上述波爾扎型最優(yōu)控制問題的解應(yīng)大家好131滿足的必要條件為這些關(guān)系與拉格朗日型最優(yōu)控制問題的完全相同，所不同的只是橫截條件，即協(xié)態(tài)變量的終端值大家好132

2.終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)受約束的情況設(shè)終端狀態(tài)受到如下等式的約束（2.6.25）其中

為r（當(dāng)L=0，r

n-1；當(dāng)L0，r

n）維向量，即這時，終端狀態(tài)X(tf)即不是固定的，也不是完全自由的，只能在終端流型（2.6.25）上變動。在構(gòu)造輔助泛函時，應(yīng)考慮終端約束條件（2.6.25），為此，需要引入待定的r維拉格朗日乘子向量于是，所構(gòu)造的輔助泛函為大家好133考慮到哈密頓函數(shù)為（2.6.26）并對式（2.6.26）積分號內(nèi)第三項進(jìn)行分部積分，則輔助泛函變?yōu)榇蠹液?34求J0對狀態(tài)變量X(t),X(tf)和控制變量U(t)的變分，得考慮到

J0=0,

X(t0)=0，

X(tf)≠0，

X(t)≠0，

U(t)≠0，則得到所述最優(yōu)控制問題的解應(yīng)滿足的必要條件大家好135這些關(guān)系與1中的完全相同，所不同的是狀態(tài)變量的終端約束條件和橫截條件大家好136

3.終端時刻tf可變，終端狀態(tài)X(tf)受約束的情況設(shè)終端狀態(tài)X(tf)受到式（2.6.25）的約束條件。輔助泛函為其中這時，不僅存在最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，還存在一個最優(yōu)的終端時刻。最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線應(yīng)滿足2中的必要條件，即（2.6.27）大家好137

為了確定最優(yōu)的終端時刻，令式（2.6.27）對時間t的全導(dǎo)數(shù)等于零，即得代入和為0大家好138（2.6.28）式（2.6.28）也稱為橫截條件。定理2.6.2設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)的某個終態(tài)X(tf)，其中tf是可變的，并使性能泛函轉(zhuǎn)移到滿足約束條件達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件。大家好139

（1）設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制，X*(t)是對應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量

(t)，使得X(t)與

(t)滿足規(guī)范方程其中

（2）邊界條件為大家好140

（3）哈密頓函數(shù)H對控制變量取極值，即

應(yīng)當(dāng)指出，對于波爾扎問題來說，哈密頓函數(shù)H的性質(zhì)仍然成立。當(dāng)H不顯含t時H(t)=常數(shù)t[t0，tf]約束條件大家好141例2.6.3給定系統(tǒng)狀態(tài)方程初始條件：和性能泛函：要求確定最優(yōu)控制u*(t)，使性能泛函J達(dá)到極小值。大家好142由控制方程得解：這是一個最小能量控制問題。其哈密頓函數(shù)為協(xié)態(tài)方程為解協(xié)態(tài)方程，得大家好143橫截條件端點條件邊界條件大家好144由狀態(tài)方程得：大家好145將邊界條件代入規(guī)范方程，得解得于是，最優(yōu)控制為：大家好146例2.6.4給定系統(tǒng)狀態(tài)方程為：初始條件：終端約束條件：性能泛函：需要確定最優(yōu)控制u*(t)，使性能泛函J達(dá)到極小值。大家好147控制方程、規(guī)范方程為:由邊界條件解：寫出哈密頓函數(shù)大家好148解得五個未知數(shù)所以，最優(yōu)控制為：最優(yōu)軌線為：大家好149例2.6.5給定一階系統(tǒng)求使系統(tǒng)從x(0)=1轉(zhuǎn)移到x(tf)=0，tf可變，且使性能泛函達(dá)到極小值的最優(yōu)控制u*(t)。其中

和

均為確定的常數(shù)。大家好150解：這是終態(tài)固定、終端時刻tf可變的最優(yōu)控制問題。寫出哈密頓函數(shù)控制方程、規(guī)范方程為大家好151由邊界條件當(dāng)

=

=1時，由此解得大家好152xoyA(0,0)B(xf,yf)dxdydl最速下降問題：大家好153大家好154大家好155圓滾線軌跡：大家好156大家好157大家好158大家好159大家好160大家好161大家好162大家好163大家好164大家好165大家好166大家好167大家好168大家好169大家好170大家好171大家好172

大家好173大家好174大家好175大家好176大家好177大家好178大家好179大家好180大家好181大家好182大家好183大家好184大家好185大家好186大家好187大家好188大家好189大家好190大家好191大家好192大家好193大家好194大家好195大家好196大家好197大家好198大家好199大家好200大家好201大家好202大家好203大家好204大家好205大家好206大家好207大家好208大家好209大家好210大家好211大家好212大家好213大家好214大家好215大家好216大家好