(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習10.6《事件的相互獨立性與條件概率》(原卷版)

§10.6事件的相互獨立性與條件概率考試要求1.了解兩個事件相互獨立的含義.2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率．知識梳理1．相互獨立事件(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．2．條件概率(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．常用結(jié)論1．兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響，兩事件相互獨立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．3．計算條件概率P(B|A)時，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(2)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．()(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，則A，B相互獨立．()(4)若事件A1與A2是對立事件，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．()教材改編題1．一個電路上裝有甲、乙兩根保險絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，甲、乙兩根保險絲熔斷與否相互獨立，則兩根保險絲都熔斷的概率為()A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.852．若P(A|B)＝eq\f(1,9)，P(B)＝eq\f(1,3)，則P(AB)的值是()A.eq\f(1,27)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,4)3．已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.02,0.01，則一輛汽車中途停車修理的概率為()A.eq\f(1,100)B.eq\f(1,60)C.eq\f(1,50)D.eq\f(1,30)題型一條件概率例1(1)某公司為方便員工停車，租了6個停車位，編號如圖所示．公司規(guī)定：每個車位只能停一輛車，每個員工只允許占用一個停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則P(A|B)等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)(2)(多選)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)教師備選1．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)2．已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(2,9)思維升華求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)樣本點法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．跟蹤訓練1(1)(多選)下列說法正確的是()A．P(A|B)<P(AB) B．P(A|B)＝eq\f(PA,PB)是可能的C．0≤P(A|B)≤1 D．P(A|A)＝1(2)某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的5名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)、4名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為()A.eq\f(3,8)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,11)D.eq\f(3,5)題型二相互獨立事件的概率例2(1)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立(2)(多選)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件延伸探究(多選)若將乙罐中球的個數(shù)改為“乙罐中有3個紅球，4個白球和3個黑球”，其他條件不變，則下列選項正確的是()A．P(B)＝eq\f(3,10)B．P(B|A1)＝eq\f(4,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件教師備選1．(多選)若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關系錯誤的是()A．事件A與B互斥B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立D．事件A與B既互斥又獨立2．投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳，因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”．每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分，投入壺耳一次得2分．現(xiàn)有甲、乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口、壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為eq\f(1,3)，投中壺耳的概率為eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者贏．請問乙贏得這局比賽的概率為()A.eq\f(13,75)B.eq\f(3,75)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,75)思維升華求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當正面計算較復雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．跟蹤訓練2溺水、觸電等與學生安全有關的問題越來越受到社會的關注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分．在競賽中，假設甲隊每人回答問題的正確率均為eq\f(2,3)，乙隊每人回答問題的正確率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響．(1)分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；(2)求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．題型三全概率公式的應用例3(1)某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是()A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096(2)人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化．現(xiàn)假設人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，則該支股票將上漲的概率為________．教師備選已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為(設男子和女子的人數(shù)相等)()A.eq\f(10,11) B.eq\f(20,21)C.eq\f(11,21) D.eq\f(1,12)思維升華利用全概率公式的思路(1)按照確定的標準，將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算．跟蹤訓練3(1)某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100%，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為()A．0.625 B．0.75C．0.5 D．0(2)葫蘆山莊襟渤海之遼闊，仰天角之雄奇，勘葫蘆之蘊涵，顯人文之魅力，是渤海灣著名的人文景區(qū)，是葫蘆島市“葫蘆文化與關東民俗文化”代表地和中小學綜合實踐教育基地．山莊中葫蘆品種分為亞腰、瓢、長柄錘、長筒、異型、花皮葫蘆等系列．其中亞腰胡蘆具有天然迷彩花紋，果實形狀不固定，觀賞性強，每株亞腰葫蘆可結(jié)出果實20～80個.2021年初葫蘆山莊播種用的一等亞腰葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率分別為0.5，0.15,0.1,0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率為________．課時精練1．從應屆高中生中選拔飛行員，已知這批學生體型合格的概率為eq\f(1,3)，視力合格的概率為eq\f(1,6)，其他幾項標準合格的概率為eq\f(1,5)，從中任選一名學生，則該生各項均合格的概率為(假設各項標準互不影響)()A.eq\f(4,9)B.eq\f(1,90)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,9)2．某盞吊燈上并聯(lián)著4個燈泡，如果在某段時間內(nèi)每個燈泡能正常照明的概率都是0.8，那么在這段時間內(nèi)該吊燈上的燈泡至少有兩個能正常照明的概率是()A．0.8192 B．0.9728C．0.9744 D．0.99843．已知P(A)>0，P(B|A)＋P(eq\x\to(B))＝1，則事件A與事件B()A．互斥 B．對立C．相互獨立 D．以上均不正確4．某道數(shù)學試題含有兩問，當?shù)谝粏栒_做答時，才能做第二問，為了解該題的難度，調(diào)查了100名學生的做題情況，做對第一問的學生有80人，既做對第一問又做對第二問的學生有72人，以做對試題的頻率近似作為做對試題的概率，已知某個學生已經(jīng)做對第一問，則該學生做對第二問的概率為()A．0.72 B．0.8C．0.9 D．0.25．(多選)下列各對事件中，M，N是相互獨立事件的有()A．擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件M＝“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件N＝“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B．袋中有5個紅球，5個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件M＝“第1次摸到紅球”，事件B＝“第2次摸到紅球”C．分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M＝“第1枚為正面”，事件N＝“兩枚結(jié)果相同”D．一枚硬幣擲兩次，事件M＝“第一次為正面”，事件N＝“第二次為反面”6．(多選)有3臺車床加工同一型號的零件．第1臺加工的次品率為6%，第2,3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1,2,3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%，則下列選項正確的有()A．任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.06B．任取一個零件是次品的概率為0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為eq\f(2,7)D．如果取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為eq\f(2,7)7．冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，醫(yī)務工作者行動會更方便．研究人員得到石墨烯后，在制作石墨烯發(fā)熱膜時有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層．每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為eq\f(2,3)，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨立．則成功生產(chǎn)出質(zhì)量合格的發(fā)熱膜的概率為________．8．某學校有A，B兩家餐廳，甲同學第一天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8.則甲同學第二天去A餐廳用餐的概率為________．9．“西北狼聯(lián)盟”學校為了讓同學們樹立自己的學習目標，特進行了“生涯規(guī)劃”知識競賽．已知甲、乙兩隊參賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為eq\f(2,3)，乙隊中3人答對的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．(1)分別求甲隊總得分為0分，2分的概率；(2)求甲隊得2分乙隊得1分的概率．10．兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02.加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．(1)求任意取出的零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．11．(多選)某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學競賽(每人被選中的機會均等)，記A為“男生甲被選中”，B為“男生乙和女生丙至少一個被選中”，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(A)＝eq\f(3,7) B．P(AB)＝eq\f(9,35)C．P(B)＝eq\f(2,7) D．P(B|A)＝eq\f(3,5)12．某大學進行“羽毛球”、“美術”、“音樂”三個社團選拔．某同學經(jīng)過考核選拔通過該校的“羽毛球”、“美術”、“音樂”三個社團的概率依次為a，b，eq\f(1,2)，已知三個社團中他恰好能進入兩個的概率為eq\f(1,5)，假設該同學經(jīng)過考核通過這三個社團選拔成功與否相互獨立，則該同學一個社團都不能進入的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,10)13．設兩個相互獨立事件A，B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，則A與B都發(fā)生的概率可能為()A.eq\f(8,9)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,9)1