上海市北郊高級中學2022年高二數學理月考試卷含解析

上海市北郊高級中學2021-2022學年高二數學理月考試卷含解

析參考答案：

C

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有A1

是一個符合題目要求的sm^4=-4.

5.“2”是…=30，，的（）條件

1.將參加夏令營的600名學生編號為：001,002,600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必

樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第I營區(qū)，從301

要

到495在第H營區(qū)，從496到600在第1H營區(qū).三個營區(qū)被抽中的人數依次為（）

工

25,17,8B.25,16,9C.26,16,8D.24,17,參考答案：

9

B

參考答案:

A

x=>-2

2.一個空間幾何體的三視圖如右圖所示，俯視圖為正三角形，則它的外接球的表面積為（）6.已知不等式組lx<2,表示的平面區(qū)域為D,點0（0,0）,A（1,0）.若點M是D上的動

田N

點，則?詞的最小值是（）

V1Q-5V2-10

A.10B.5c.2D.10

參考答案：

112交28g

3~3~A

A.47rB.C.D.16乃

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃；9R：平面向量數量積的運算.

參考答案：

【分析】利用向量的數量積將條件進行轉化，利用數形結合進行求解即可得到結論.

B瓦?而..叵?麗

a_112【解答】解：設磯，則

z=?2=|OA||oiH=|O^?COSZAOM,

{4}s庫（耳+1）n11n

3.數列的通項公式是，若其前項的和為，則項數為（）VO（0,0）,A（1,0）.

A.12B.11C.10D.9/.I0Al=i,

參考答案：

.?.z=I0A|?cosZAOM=cosZAOM,

C作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

4.已知雙曲線戶一聲一（a>0,b>0）的離心率為［立為，則它的兩條漸近線所成的角中以要使cosZAOM最小，

實軸為平分線的角的大小為（）則/AOM最大，

即當M在C處時，ZAOM最大，

A."B.?C.亨爭D.停㈤

fx+y=4(x=l【考點】確定直線位置的幾何要素.

由限乎-2得1y=3,即c(1,3).

【分析】設直線1的傾斜角為0,oe[0,IT).可得tanO=-1,解得0.

則IAC|=VTQ【解答】解：設直線1的傾斜角為0,?！闧0,J：).

iVioe衛(wèi)

貝i|cosZA0M^/^0=1°,/.tan0=-1,解得4.

故選：D.

【點評】本題考查了直線的傾斜角與斜率之間的關系、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，

屬于基礎題.

隆+盡1

<K__1

9.已知x、y滿足不等式組〔,若直線x-y-a=0平分不等式組所表示的平面區(qū)域的面積,

則a的值為()

1_V2.

A.-2B.-2C.1-2^2D.1-V2

7.數學歸納法證明(n+1)?(n+2)?...?(n+n)=2產卜3、..金(2n-1)(neN-)成立時，從n=k到參考答案：

n=k+1左邊需增加的乘積因式是()

D

2c4-12k4-3

A.2(2k+1)B.C.2k+1D.t+1【考點】簡單線性規(guī)劃.

【分析】求出可行域的面積，利用點到直線的距離公式轉化求解即可.

參考答案:

x+y<l

Ax-y>-1

【考點】數學歸納法.

【解答】解：x、y滿足不等式組的可行域如圖：陰影部分三角形，可得三角形的面積

【分析】分別求出n=k時左邊的式子，n=k+1時左邊的式子，用用1<+1時左邊的式子，比較兩個表達

為：7x2X1=i.

式，即得所求.

【解答】解：當n=k時，左邊=(k+1)(k+2)...(k+k),

直線x-y-a=0平分不等式組所表示的平而區(qū)域的面積，而積為：2,

當n=k+1時，左邊=(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2),

(2k+D(2k+2)此時(1,0)到直線x-y-a=0的距離為：

故從“k”到“k+l”的證明，左邊需增添的代數式是k+1=2(2k+1),|1-al

1.可歐=1，

故選A.

8.已知直線I的斜率為-1,則直線1的傾斜角為()

7T7T3冗

A.0B.4c.2D.4

參考答案:

D

n

-2)?+y==2相交時包含的基本事件數n,最后事件發(fā)生的概率為P=N

I22，4

【解答】解：???直線ax-by=0與圓(x-2)什產2相交，J圓心到直線的距離+b

即a<b

-3-2

???設一顆骰子投擲兩次分別得到點數為(a,b),則這樣的有序整數對共有6X6=36個

其中a<b的有(1,2),(I,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,

5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共5+4+3+2+1=15

解得aJ-血

個，

故選：D.5

io,函數癡=】+”一皿在37%的單調情況是()???直線ax-by=0與圓(x-2):+y?=2相交的概率為P=12

5

A.單調遞增：

故答案為12.

B.單調遞減：

12.在三棱錐戶一4BC中，RA_L底面ABC,AC±BC,PA=AC=BC,則異而直線48所成角的

a=(cos名-d)Or2yr)大小是▲.

C.在‘fJ上單調遞增，在‘1''上單調遞減；

參考答案：

D.在起皿2.因上單調遞減，在阮加)上單調遞增：

60°

y-1

參考答案：

13.設點4(2,-3),8(-3,—2),點P(x,y)是線段48上任一點，則了一1的取值范圍

是______

【分析】

/W

通過求導來判斷的單調性。參考答案：

fQ)=1+Gn*之0/W=l+x-cosx(。,2用

【詳解】因為，所以在單調遞增，故選A.3

k24或kW-4

【點睛】此題考查利用導數判斷函數單調性，此題為基礎題.

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

一十2團的七比*“、口隊+廿x=3*v^d(〉y=rand()(rand^)*一冷―。

11.將一顆骰子投擲兩次分別得到點數a,b,則直線ax-by=0與圓(x-2)二+產2相交的概率14.在隨機數模擬試驗中，若，，表不生成

為^x2y2x2/

、一+—<1—+—=1

~J辟H9494

參考答案:到之間的隨機數，共做了次試驗，其中有次滿足，則橢圓的面積可

5估計為---------------------O

12

參考答案：

【考點】直線與圓的位置關系；古典概型及其概率計算公式.

24履

【分析】利用古典概型概率計算公式，先計算總的基本事件數N,再計算事件直線ax-by=0與圓(x

15.圓(x-4)：l+S-■l)：l=5內一點p⑶0),則過點P的最短弦所在直線方程為.

A5；=BBX-BA,BM=5C-|BBl

參考答案：

x+y-3=O…蔣，皿『坐我沖

.由、、、、這五個數字組成沒有重復數字的四位數，則所有這些四位數的個位數字的和

16123452版?押2M.褥，故填寫90,

為一_________

參考答案：

360三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

【考點】D8：排列、組合的實際應用.

18.(本小題滿分12分)

【分析】根據題意，按個位數字的不同分5種情況討論，每種情況下求出滿足題意的四位數數目，計

算可得這些四位數個位數字的和，將5種情況卜.的四位數“個位數字的和“相加，即可得答案.巴士g(K)=+logM)(?>0且"1)"、/]

(1)設X2，求和

【解答】解：根據題意，分5種情況討論：

①、當個位數字為1時，在2、3、4、5四個數中任取3個，安排在前3個數位，有Aa=24種情況,⑵賀力=43*-啕叱求8+5的值。

?

即當個位數字為1時，有24個滿足題意的四位數，

參考答案：

則其個位數字的和為1X24=24,

(cosx)fx-(cosx)(x)f_-xsinx-cosx

②、當個位數字為2時，同理可得有24個滿足題意的四位數，/(%)=---------o--------=-------5------

解：(1)X31.....3分

則其個位數字的和為2X24=48,

③、當個位數字為3時，同理可得有24個滿足題意的四位數，/5)=)(1)'+Qog?*+

22xha

則其個位數字的和為3X24=72,

........3分

④、當個位數字為4時，同理可得有24個滿足題意的四位數，

(2)

則其個位數字的和為4X24=96,

a=23x2tog45=4x5=20

⑤、當個位數字為5時，同理可得有24個滿足題意的四位數，

........2分

則其個位數字的和為5X24=120,

則所有這些四位數的個位數字的和為：

24+48+72+96+120=360lg21g31g5lg21g2

故答案為:360.

........3分

17.如圖，已知正三棱柱工的各條棱長都相等，"是

a+5-24

eq

側棱的中點，則異面直線所成的角的大小.....1分

是---------

略

參考答案：

/(x)=sinjfeosx4-cos2-x-

解析：不妨設棱長為2,選擇基向量，則19.(本小題滿分10分)已知函數

￡￡式釬麴」工2+19=19-仁+馬

（II）依題意年平均利潤為------工--------2——口-----------工一工----------9分

（I）求了（工）的最小正周期；（11）求函數/（工）在L&t」的最大值和最小值.

---^+―>2^=122

參考答案：2工，當且僅當Y二144即瓦=12時等號成立

（I）由已知，得二該醫(yī)院在第12年底出售該機器時經濟效益最大-------------------------------12分

/.J;.=1S?I2X+ACOS2I“，…皿2分21.解關于x的不等式：

（1）3X2-7又>10

=￥sin（2為+?）.........4分

x-1.

⑵而T《。

所以T=^-=n,

參考答案：

現(xiàn)一/，x，的最小正周期為始……二二5分【考點】其他不等式的解法.

（口）因為-NwxmI,所以OM2*+EM史.……“一…??…6分【分析】（1）將不等式一邊化為0,分解因式，解之；

8244

（2）將不等式等價轉化為整式不等式解之即可.

于是.當2x+9髀，即x.時./，不，取得最大值爭……8分

【解答】解：（1）原不等式可化為：3x2-7x-10>0

10

當2x+?=孚時.即*=彳時，「X，取得最小值……………L0分

則方程3X2-7x-10=0的兩根為x=3,x=-1

442212

10

20.某大型醫(yī)院年初以102萬元購進一臺高檔掃描儀器，在使用期間每年有20萬元的收入.該機器的???不等式的解集為{x1?IVxV3}

維護費第一年為1萬元，隨著機器磨損，以后每年的維護費比上一年多1萬元，同時該機器第x（2）原不等式等價于（x-1）（2x+l）W0且2x+lW0

30-lx

（KE_AT,KW60）年底可以以（2）萬元的價格出售.則方程（x-1）（2x+l）=0的兩根為x=4x=1

12

①求該大型醫(yī)院到第x年底所得總利潤），（萬元）關于x（年）的函數解析式，并求其最大值；

???不等式的解集為{x[2<xWl}

（ID為使經濟效益最大化，即年平均利潤最大，該大型醫(yī)院應在第幾年底出售這臺掃描儀器？說明

22.在平面直角坐標系xOy中，圓xHy2=4上的一點P（x,y）（x,y>0）處的切線1分別交x軸，

理由.0006

y軸于點A,B,以A,B為頂點且以0為中心的橢圓記作C,直線0P交C于M,N兩點.

參考答案：

-6

儂=20102-[>+^^2]?30-，=-5/+19x-72①若橢圓C的離心率為°,求P點的坐標

（I）依題意得-----------------------2--------------2---------------------------------4分J?

②證明四邊形AMBN的面積S>8“'

VXGN*,x<60

參考答案：

217

二當工叫個可

【考點】橢圓的簡單性質.

【分析】）運用直線的斜率公式，可得直線的方程，求得的坐標，可得橢圓的方程，討論

217（11A,B

-T焦點位置，運用離心率公式可得P的坐標：

…該醫(yī)院到第19年所得的總利潤最大，最大值為萬元.6分

（2）直線0P的斜率為k,依題意有k>0且kWL直線OP的方程為丫=1^,直線1的方程為

廠九二一看收一?。﹜=kx

，求得A,B的坐標，橢圓方程，代入直線丫=10（,求得M,N的坐標，可得|0M|,|AB|,運用四邊形的（5十5）

面積公式和基本不等式，化簡整理，即可得到結論.聯(lián)立

>y°_XO兀二一次~缶-叼）

i---y~

【解答】解：（1）依題意y0.直線i方程為

22

X。.4y。，4C+y。）

y=-+y=—X=-+x0=一

令x=o,得V。0yo,令y=O,得X0,解出

xo+kyo-o+kyxo+ky。xo+ky。

M(一八六，k-r=-。-)NL)

0)tB(0i)可得Vl+k4Vlfk41+k41+k4

即有°t

2

22（①十1，幾）2(M+kVo)2l+k2

xy

|OH2-+k（xo+ky（））2

d2I-l+k41+k41+k4

3)即有

橢圓c的方程為x°

22，2

嗚(/)xo+V()

4川+$