高三練習(xí)題五（全國(guó)II卷）數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精百師聯(lián)盟2020屆高三練習(xí)題五全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?所以，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.某校為了了解500名住校學(xué)生對(duì)宿舍管理制度的看法,將這些學(xué)生編號(hào)為1,2，…,500，采用系統(tǒng)抽樣的方法從這些學(xué)生中抽取50名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若52號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）A.3號(hào)學(xué)生 B。200號(hào)學(xué)生 C。422號(hào)學(xué)生 D.500號(hào)學(xué)生【答案】C【解析】【分析】首先求出分段間隔，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義首先確定分段間隔為，因?yàn)?2號(hào)學(xué)生被抽到，即抽到的號(hào)碼首項(xiàng)為2,則抽到的號(hào)碼數(shù)，當(dāng)時(shí)，,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。3。已知，則“"是“”的（)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C。充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，舉特例判斷可得；【詳解】解：當(dāng),時(shí),，但；當(dāng)，時(shí)，，但；綜上,“”是“"的既不充分也不必要條件，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查充分條件必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋?A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)使式子有意義,則對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，偶次方根的被開方數(shù)大于等于零，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：根據(jù)函數(shù)解析式,有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域,關(guān)鍵是使式子有意義，一元二次不等式及對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于中檔題。5。已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn),則的最小值為（)A.1 B。 C.2 D。3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上，則,設(shè)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】解：由題意知，,，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上，則,設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，的值最小,最小為1，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.6。如圖的程序框圖表示求式子的值，則框圖中①處可填入的條件為（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先根據(jù)已知循環(huán)條件和循環(huán)體判定循環(huán)的次數(shù)，然后根據(jù)運(yùn)行的后輸出的結(jié)果，從而得出所求．【詳解】解：根據(jù)題意可知該循環(huán)體運(yùn)行情況如下：第1次：，第2次：，第3次：,第4次：，第5次：,第6次：，因?yàn)檩敵鼋Y(jié)果是的值，，且下一個(gè)因數(shù)為，所以①處可填的條件為“”，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu),循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，以及周期性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)，,集合,,現(xiàn)從集合，中分別任取一個(gè)元素，,則使得成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意得到，，則的組合共有種，再求出滿足的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解：由題意知，集合,,則的組合有種，而滿足即且的組合有，種，故所求概率，故選:B?！军c(diǎn)睛】本題考查古典概型概率計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題。8。函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖象可得周期，求出可排除B、C，再利用過(guò)點(diǎn)區(qū)分選項(xiàng)A、D即可?！驹斀狻坑蓤D象知，,所以,得,故排除選項(xiàng)B、C，又圖象過(guò)點(diǎn)，代入選項(xiàng)A不成立，代入選項(xiàng)D成立,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),由圖象求解析式，屬于中檔題。9。已知向量與向量滿足，，，則向量與向量的夾角為()A?；?B。或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)向量，的夾角為,則，，即可求出，從而得到向量的夾角；【詳解】解：設(shè)向量，的夾角為,，,所以，，因?yàn)椋驶?，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，及夾角的計(jì)算，屬于中檔題。10。函數(shù)在的圖象大致為(）A。 B.C。 D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性,當(dāng)時(shí)，,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由特殊值即可得解;【詳解】解:因?yàn)?，且，故函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，,,即在有極值點(diǎn),在=1處的切線斜率為負(fù),且，滿足上述的選項(xiàng)為A；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題。11.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得的外接圓的圓心一定在拋物線上，且圓心在的垂直平分線上，所以，從而求出外接圓的半徑以及圓的面積;【詳解】解：因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑,則的外接圓的圓心一定在拋物線上。又因?yàn)閳A心在的垂直平分線上，，，則此外接圓的半徑，故此外接圓的面積，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題。12。在中，分別為,，所對(duì)的邊，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，的取值范圍為(）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意即恒成立，所以，再結(jié)合余弦定理即可求出的取值范圍；【詳解】解:因?yàn)?，所以，若的定義域?yàn)椋瑒t有，即，結(jié)合余弦定理,,故，故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。13。若復(fù)數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法將化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?,，，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及乘方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14。已知，，,則________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥渴紫雀鶕?jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,，再根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解:因?yàn)?，?，所以，,所以①,又,所以②，由①②，知。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的余弦公式,屬于中檔題.15。如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線翻折，使得平面與平面所成二面角大小為,則四面體的體積為_________.【答案】【解析】【分析】連接與交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面所成二面角，過(guò)點(diǎn)作平面,即可求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解:如圖,連接與交于點(diǎn),連接,則,,所以為平面與平面所成二面角，大小為，且平面，過(guò)點(diǎn)作平面，則點(diǎn)在上，所以，，則，所以。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的應(yīng)用,錐體的體積計(jì)算，屬于中檔題.16。已知函數(shù),關(guān)于的方程恰有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥苛?則方程轉(zhuǎn)化為，要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則關(guān)于的方程的兩根需滿足,得到不等式解得即可;【詳解】解：令，則方程轉(zhuǎn)化為，而的圖象如圖，由圖象可知，要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則關(guān)于的方程的兩根需滿足,所以有，解得，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一）必考題：60分.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的整數(shù)的最大值?！敬鸢浮浚?）;(2）0。【解析】【分析】（1)利用計(jì)算可得;（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，判斷的單調(diào)性，即可得到參數(shù)的取值范圍；【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式作差得，，所以，結(jié)合得。(2）因?yàn)椋?因?yàn)樗?，?shù)列單調(diào)遞增，。令，解得，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查定義法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求和,屬于中檔題。18.如圖，在直三棱柱中，,，，,分別為,，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)。(1）證明：平面；（2)若將直三棱柱沿平面截開,求四棱錐的表面積。【答案】（1）證明見(jiàn)解析；(2）.【解析】【分析】(1）連接,，可證四邊形為平行四邊形，從而得到，再可得，即可得到平面平面,從而得證；(2）連接即可證明平面，得到，再根據(jù)面積公式求出錐體的表面積即可；【詳解】解：（1）證明:連接，，因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)椋?所以，,所以四邊形為平行四邊形,所以，又為中點(diǎn),所以,又，，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）連接，因?yàn)椋?,平面，平面,所以平面，所以，，，，，在中,，,,所以，所以，，所以四棱錐的表面積?！军c(diǎn)睛】本題考查面面平行，線面平行的證明,錐體的表面積的計(jì)算，屬于中檔題.19。2019年下半年以來(lái)，各地區(qū)陸續(xù)出臺(tái)了“垃圾分類”的相關(guān)管理?xiàng)l例,實(shí)行“垃圾分類”能最大限度地減少垃圾處置量，實(shí)現(xiàn)垃圾資源利用,改善生存環(huán)境質(zhì)量。某部門在某小區(qū)年齡處于區(qū)間內(nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行了“垃圾分類”相關(guān)知識(shí)掌握和實(shí)施情況的調(diào)查，并把達(dá)到“垃圾分類”標(biāo)準(zhǔn)的人稱為“環(huán)保族”，得到圖各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖和表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).(1）求的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人年齡的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,結(jié)果保留整數(shù))；(3）從年齡段在的“環(huán)保族”中采用分層抽樣的方法抽取9人進(jìn)行專訪，并在這9人中選取2人作為記錄員,求選取的2名記錄員中至少有一人年齡在區(qū)間中的概率。組數(shù)分組“環(huán)保族"人數(shù)占本組頻率第一組450。75第二組25第三組0.5第四組302第五組30。1【答案】（1),，；（2）31;(3).【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算可得；(2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出平均數(shù)即可；（3）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算可得；【詳解】解:（1）對(duì)于第一組，人數(shù)為，占總?cè)藬?shù)，故總?cè)藬?shù)人,所以，，.（2)設(shè)這人年齡平均值為，所以。（3)易知采用分層抽樣法抽取的9人中，在內(nèi)的有5人,在內(nèi)的有4人,選取2名記錄員的可能情況共有種,均在內(nèi)的有種，恰有一個(gè)在內(nèi)的有種，故所求概率.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.20。已知橢圓的離心率為，其右頂點(diǎn)為。(1）求橢圓的方程；(2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于,的一動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為,，試問(wèn)為定值嗎?若是,求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】(1）由右頂點(diǎn)，得到,則由離心率及計(jì)算可得；（2）直線的方程為，，，，聯(lián)立橢圓及直線方程，消元列出韋達(dá)定理，則,，在整體代入計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓右頂點(diǎn)為,所以，又，，,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）為定值且。理由:直線的方程為，,，，聯(lián)立橢圓及直線方程，，消去得，，，，，，①,又點(diǎn)在橢圓上，即，，代入①得，?！军c(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.21。已知函數(shù)，（且，)(1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上恒有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極大值為；（2）.【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分類討論計(jì)算可得;（2)當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上恒有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，即，利用換底公式得，令利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,即可得到函數(shù)的值域,從而得到參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),，，①當(dāng)時(shí)，在上，,單調(diào)遞增,無(wú)極值；②當(dāng)時(shí)，令，，時(shí)，,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以此時(shí)取得極大值.（2）當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上恒有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，令，,利用換底公式可得，令，，令時(shí),，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減,時(shí),，所以,則有，解得.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,屬于中檔題.（二）選考題：10分。請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22。在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為。（1）求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1）,;（2).【解析】【分析】(1）直接消元得到圓的普通方程,首先將直線的極坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)，再利用公式將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)首先求出直線與軸，軸的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,表示出點(diǎn)到直線的距離，求出距離最值，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1)由消去參數(shù)，得，所以圓的普通方程為.由，得，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.（2)直線與軸，軸的交點(diǎn)為，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為，所以，又，所以面積的最大值是。