數(shù)學(xué)建模綜合評價類問題

姓名：常志勇辦公地點：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院統(tǒng)計學(xué)系子郵箱：zhychang68@hotmail0.評價問題“評價〞為衡量評定人或事物的價值。[新華字典]如：咱們班誰最高？誰家最有錢？誰是高富帥？一個樹的價值是？第一節(jié)綜合評價方法的根本概念綜合評價的問題:對被評價對象所進行的客觀、公正、合理的全面評價。通常的綜合評價問題都是有假設(shè)干個同類的被評價對象(或系統(tǒng))，每個被評價對象往往都涉及到多個屬性〔或指標〕。綜合評價的目的:根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運行〔或開展〕狀況哪個優(yōu)，哪個劣，即按優(yōu)劣對各被評價對象進排序或分類。這類問題又稱為多屬性〔或多指標〕的綜合評價問題。如：教師績效測評。綜合評價的應(yīng)用:研究多目標決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟、社會及軍事管理、工程技術(shù)及科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價值。構(gòu)成綜合評價問題的五個要素分別為:被評價對象、評價指標、權(quán)重系數(shù)、綜合評價模型和評價者。1.被評價對象被評價對象就是綜合評價問題中所研究的對象，或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個問題中被評價對象是屬于同一類的，且個數(shù)要大于1，不妨假設(shè)一個綜合評價問題中有個被評價對象〔或系統(tǒng)〕，分別記為。2.評價指標評價指標是反映被評價對象(或系統(tǒng))的運行(或開展)狀況的根本要素。通常的問題都是有多項指標構(gòu)成，每一項指標都是從不同的側(cè)面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個度量。一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量表示，其中每一個分量就是從一個側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評價的指標體系。

3權(quán)重系數(shù)

每一綜合評價的問題都有相應(yīng)的評價目的，針對某種評價目的，各評價指標之間的相對重要性是不同的，評價指標之間的這種相對重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)來刻畫。如果用來表示評價指標的權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有且。

評價指標體系應(yīng)遵守的原則：系統(tǒng)性、科學(xué)性、可比性、可測性（即可觀測性）和獨立性。這里不妨設(shè)系統(tǒng)有個評價指標（或?qū)傩裕?，分別記為，即評價指標向量為。注意到:當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜合評價結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評價結(jié)果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。4.綜合評價模型對于多指標〔或多因素〕的綜合評價問題,就是要通過建立適宜的綜合評價數(shù)學(xué)模型將多個評價指標綜合成為一個整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評價結(jié)果。不妨假設(shè)n個被評價對象的m個評價指標向量為指標權(quán)重向量為，由此構(gòu)造綜合評價函數(shù)為。

如果各評價指標的個觀測值為5，其中，那么可以計算出各系統(tǒng)的綜合評價值，。根據(jù)值的大小將這個系統(tǒng)進行排序或分類，即得到綜合評價結(jié)果。5.評價者評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、評價模型的建立和權(quán)重系數(shù)確實定都與評價者有關(guān)。

綜合評價的一般步驟：明確評價目的；確定被評價對象；建立評價指標體系〔包括評價指標的原始值、評價指標的假設(shè)干預(yù)處理等〕；確定與各項評價指標相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造綜合評價模型；計算各系統(tǒng)的綜合評價值,并給出綜合評價結(jié)果。構(gòu)造權(quán)重的方法多元統(tǒng)計方法，如多元回歸、主成分分析、因子分析等。模糊數(shù)學(xué)方法：由模糊數(shù)學(xué)開展而來，包括模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評價等方法。簡易方法：主要包括頭腦風(fēng)暴法、層次分析法、Topsis法、秩和比法等其他，如：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法，熵值法等

第二節(jié)

模糊綜合評判綜合評判是綜合決策的內(nèi)容。模糊綜合評判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策下面以電腦評判為例來說明如何評價。某同學(xué)想購置一臺電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個指標：“運算功能〔數(shù)值、圖形等〕〞；“存儲容量〔內(nèi)、外存〕〞；“運行速度〔CPU、主板等〕〞；“外設(shè)配置〔網(wǎng)卡、多媒體部件等〕〞；〞價格〞。于是請同宿舍幾個同學(xué)一起去買電腦。=“運算功能〔數(shù)值、圖形等〕〞；=“存儲容量〔內(nèi)、外存〕〞；=“運行速度〔CPU、主板等〕〞；=“外設(shè)配置〔網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等〕〞；=“價格〞。稱因素集。為了數(shù)學(xué)處理簡單，先令評語集其中=“很受歡送〞；=“較受歡送〞；=“不太受歡送〞；=“不受歡送〞；任選幾臺電腦，請同學(xué)和購置者對各因素進行評價。假設(shè)一個給定的電腦，對于運算功能有20%的人認為是“很受歡送〞，50%的人認為“較受歡送〞，30%的人認為“不太受歡送〞，沒有人認為“不受歡送〞，那么的單因素評價向量為同理，對存儲容量，運行速度，外設(shè)配置和價格分別作出單因素評價，得組合成評判矩陣對微機的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價格廉價，而對運算和存儲量那么要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配向量：作模糊變換：存儲容量運行速度外設(shè)配置價格運算功能假設(shè)進一步將結(jié)果歸一化得：結(jié)果說明，該用戶對這種微機表現(xiàn)為“最受歡送〞的程度為0.32，“較受歡送〞和“不太受歡送〞的程度為0.27，“不受歡迎〞的程度為0.14。按最大隸屬原那么，結(jié)論是：該電腦“很受歡送〞。模糊數(shù)學(xué)知識簡介設(shè)U是論域，映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度.使A(x)=0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性.當映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子〞(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為

也可用Zadeh表示法：隸屬函數(shù)確實定1.模糊統(tǒng)計方法2.指派方法3.借用已有的“客觀〞尺度(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：模糊集的-截集A是一個經(jīng)典集合，由隸屬度不小于的成員構(gòu)成.例：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學(xué)生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生〞的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，那么A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.常用的綜合評判模型

1、主因素決定型2、主因素突出型3、加權(quán)平均型第三節(jié)層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題

涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準那么層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的根本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地〞思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標層O，準那么層C，方案層P；每層有假設(shè)干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準那么對目標的權(quán)重，及各方案對每一準那么的權(quán)重。

將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。層次分析法的根本步驟成比照較陣和權(quán)向量元素之間兩兩比照，比照采用相對尺度設(shè)要比較各準那么C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成比照較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地成比照較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成比照較陣和權(quán)向量成比照較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成比照較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成比照較陣和權(quán)向量2468比較尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認為成比照較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對假設(shè)干實例構(gòu)造成比照較陣，算出權(quán)向量，與實際比照發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成比照較陣和權(quán)向量一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地〞中準那么層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗組合權(quán)向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準那么)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣那么第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的根本步驟1〕建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層〔目標—準那么或指標—方案或?qū)ο蟆常蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素根本上相對獨立。2〕構(gòu)造成比照較陣用成比照較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成比照較陣。3〕計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成比照較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，假設(shè)通過，那么特征向量為權(quán)向量。4〕計算組合權(quán)向量〔作組合一致性檢驗*〕組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟方案和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成比照較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇過河的效益

A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇(2002年賽)過河的代價

A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益

C11間接經(jīng)濟效益

C12社會效益

C13學(xué)識水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價三.層次分析法的假設(shè)干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權(quán)向量？當層次結(jié)構(gòu)不完全或成比照較陣有空缺時怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根

是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根

n,

=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復(fù)雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均?！?〕和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010(2)根法——取列向量的幾何平均(3)冪法——迭代算法1〕任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,轉(zhuǎn)23.特征向量作為權(quán)向量——成比照較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與aij相差盡量小〔對所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同按不同準那么確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。成比照較Ci:Cj(直接比較〕aij~1步強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應(yīng)表達多步累積效應(yīng)定理1特征向量表達多步累積效應(yīng)當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上