(小白高考)新高考數(shù)學(適合藝考生)一輪復習20《三角恒等變換》鞏固練習（教師版）

新高考數(shù)學一輪復習20《三角恒等變換》鞏固練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3計算：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.﹣eq\f(1,2)【答案解析】答案為：B.解析：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(﹣cos45°)sin15°＝sin(45°﹣15°)＝sin30°＝eq\f(1,2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知tanα＝eq\f(m,3)，tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(2,m)，則m＝()A.﹣6或1B.﹣1或6C.6D.1【答案解析】答案為：A.解析：∵tanα＝eq\f(m,3)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(3＋m,3－m).∵tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(2,m)，∴eq\f(2,m)＝eq\f(3＋m,3－m).解得m＝﹣6或m＝1.故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3計算：(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A.eq\r(3)B.1＋eq\r(2)C.2D.2(tan18°＋tan27°)【答案解析】答案為：C.解析：(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1﹣tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＝2.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3若2cos(θ﹣eq\f(π,3))＝3cosθ，則tanθ＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(3),2)C.﹣eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)【答案解析】答案為：D.解析：由2cos(θ﹣eq\f(π,3))＝3cosθ可得cosθ＋eq\r(3)sinθ＝3cosθ，故tanθ＝eq\f(2\r(3),3).故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3若sin(α﹣β)sinβ﹣cos(α﹣β)cosβ＝eq\f(4,5)，且α為第二象限角，則tan(α＋eq\f(π,4))＝()A.7B.eq\f(1,7)C.﹣7D.﹣eq\f(1,7)【答案解析】答案為：B.解析：∵sin(α﹣β)sinβ﹣cos(α﹣β)cosβ＝eq\f(4,5)，即﹣cos(α﹣β＋β)＝﹣cosα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝﹣eq\f(4,5).又∵α為第二象限角，∴tanα＝﹣eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1,7).LISTNUMOutlineDefault\l3若sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，則eq\f(tanα,tanβ)的值為()A.5B.﹣1C.6D.eq\f(1,6)【答案解析】答案為：A.解析：由題意知sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，所以eq\f(sinαcosβ,cosαsinβ)＝5，即eq\f(tanα,tanβ)＝5，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知cos(eq\f(π,2)＋α)＝3sin(α＋eq\f(7π,6))，則tan(eq\f(π,12)＋α)＝()A.4﹣2eq\r(3)B.2eq\r(3)﹣4C.4﹣4eq\r(3)D.4eq\r(3)﹣4【答案解析】答案為：B.解析：由題意可得﹣sinα＝﹣3sin(α＋eq\f(π,6))，即sin[(eq\f(π,12)＋α)﹣eq\f(π,12)]＝3sin[(eq\f(π,12)＋α)＋eq\f(π,12)]，sin(α＋eq\f(π,12))·coseq\f(π,12)﹣cos(eq\f(π,12)＋α)sineq\f(π,12)＝3sin(eq\f(π,12)＋α)coseq\f(π,12)＋3cos(eq\f(π,12)＋α)sineq\f(π,12)，整理可得tan(eq\f(π,12)＋α)＝﹣2taneq\f(π,12)＝﹣2tan(eq\f(π,4)﹣eq\f(π,6))＝﹣2×eq\f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝2eq\r(3)﹣4.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3設當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ＝()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.﹣eq\f(2\r(5),5)D.﹣eq\f(\r(5),5)【答案解析】答案為：C.解析：利用輔助角公式可得f(x)＝sinx﹣2cosx＝eq\r(5)sin(x﹣φ)，其中cosφ＝eq\f(\r(5),5)，sinφ＝eq\f(2\r(5),5).當函數(shù)f(x)＝sinx﹣2cosx取得最大值時，θ﹣φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋eq\f(π,2)＋φ(k∈Z)，則cosθ＝cos(2kπ＋eq\f(π,2)＋φ)＝﹣sinφ＝﹣eq\f(2\r(5),5)(k∈Z)，故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3若cos(eq\f(π,8)﹣α)＝eq\f(1,6)，則cos(eq\f(3π,4)＋2α)的值為()A.eq\f(17,18)B.﹣eq\f(17,18)C.eq\f(18,19)D.﹣eq\f(18,19)【答案解析】答案為：A.解析：∵cos(eq\f(π,8)﹣α)＝eq\f(1,6)，∴cos(eq\f(π,4)﹣2α)＝2cos2(eq\f(π,8)﹣α)﹣1＝2×(eq\f(1,6))2﹣1＝﹣eq\f(17,18)，∴cos(eq\f(3π,4)＋2α)＝cos[π﹣(eq\f(π,4)﹣2α)]＝﹣cos(eq\f(π,4)﹣2α)＝eq\f(17,18).故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3計算：sin415°﹣cos415°＝()A.eq\f(1,2)B.﹣eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.﹣eq\f(\r(3),2)【答案解析】答案為：D.解析：sin415°﹣cos415°＝(sin215°﹣cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°﹣cos215°＝﹣cos30°＝﹣eq\f(\r(3),2).故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3下列各式中，值為eq\f(\r(3),2)的是()A.sin15°cos15°B.cos2eq\f(π,12)﹣sin2eq\f(π,12)C.eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)D.eq\r(\f(1＋cos30°,2))【答案解析】答案為：B.解析：A.sin15°cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4).B.cos2eq\f(π,12)﹣sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).C.eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝tan60°＝eq\r(3).D.eq\r(\f(1＋cos30°,2))＝cos15°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知A，B均為鈍角，sin2eq\f(A,2)＋cos(A＋eq\f(π,3))＝eq\f(5－\r(15),10)，且sinB＝eq\f(\r(10),10)，則A＋B＝()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(5π,4)C.eq\f(7π,4)D.eq\f(7π,6)【答案解析】答案為：C.解析：因為sin2eq\f(A,2)＋cos(A＋eq\f(π,3))＝eq\f(5－\r(15),10)，所以eq\f(1－cosA,2)＋eq\f(1,2)cosA﹣eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，即eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，解得sinA＝eq\f(\r(5),5).因為A為鈍角，所以cosA＝﹣eq\r(1－sin2A)＝﹣eq\f(2\r(5),5).由sinB＝eq\f(\r(10),10)，且B為鈍角，可得cosB＝﹣eq\r(1－sin2B)＝﹣eq\f(3\r(10),10).所以cos(A＋B)＝cosAcosB﹣sinAsinB＝eq\f(\r(2),2).又A，B都為鈍角，即A，B∈(eq\f(π,2)，π)，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝eq\f(7π,4)，故選C.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知tanα＝2，則tan(α﹣eq\f(π,4))＝________.【答案解析】答案為：eq\f(1,3)解析：∵tanα＝2，∴tan(α﹣eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,3).LISTNUMOutlineDefault\l3計算：eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝________.【答案解析】答案為：eq\r(2).解析：eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·sin30°＝eq\r(3)cos15°﹣sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3設sinα＝2cosα，則tan2α的值為________.【答案解析】答案為：﹣eq\f(4,3).解析：由題可知，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝﹣eq\f(4,3).LISTNUMOutlineDefault\l3定義運算SKIPIF1<0＝ad﹣bc.若cosα＝eq\f(1,7)，SKIPIF1<0＝eq\f(3\r(3),14)，0＜β＜α＜eq\f(π,2)，則β＝________.【答案解析】答案為：eq\f(π,3).解析：依題意有sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin(α﹣β)＝eq\f(3\r(3),14).又0＜β＜α＜eq\f(π,2)，∴0＜α﹣β＜eq\f(π,2)，故cos(α﹣β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(13,14)，而cosα＝eq\f(1,7)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，于是sinβ＝sin[α﹣(α﹣β)]＝sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)﹣eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)，故β＝eq\f(π,3).三 、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2﹣cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求證：當x∈[0，eq\f(π,2)]時，f(x)≥0.【答案解析】解：(1)因為f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x﹣cos2x＝1＋sin2x﹣cos2x＝eq\r(2)sin(2x﹣eq\f(π,4))＋1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)證明：由(1)可知，f(x)＝eq\r(2)sin(2x﹣eq\f(π,4))＋1.當x∈[0，eq\f(π,2)]時，2x﹣eq\f(π,4)∈[﹣eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，sin(2x﹣eq\f(π,4))∈[﹣eq\f(\r(2),2)，1]，eq\r(2)sin(2x﹣eq\f(π,4))＋1∈[0，eq\r(2)＋1].當2x﹣eq\f(π,4)＝﹣eq\f(π,4)，即x＝0時，f(x)取得最小值0.所以當x∈[0，eq\f(π,2)]時，f(x)≥0.LISTNUMOutlineDefault\l3設函數(shù)f(x)＝cos(eq\f(π,2)﹣x)cosx﹣sin2(π﹣x)﹣eq\f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(α)＝eq\f(3\r(2),10)﹣1，且α∈(eq\f(π,8)，eq\f(3π,8))，求f(α﹣eq\f(π,8))的值.【答案解析】解：(1)∵f(x)＝sinxcosx﹣sin2x﹣eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)﹣1＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))﹣1，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.由2kπ﹣eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ﹣eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)]，k∈Z.(2)∵f(α)＝eq\f(\r(2),2)sin(2α＋eq\f(π,4))﹣1＝eq\f(3\r(2),10)﹣1，∴sin(2α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5).由α∈(eq\f(π,8)，eq\f(3π,8))知2α＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,2)，π)，∴cos(2α＋eq\f(π,4))＝﹣eq\f(4,5).∴f(α﹣eq\f(π,8))＝eq\f(\r(2),2)sin[2(α﹣eq\f(π,8))＋eq\f(π,4)]﹣1＝eq\f(\r(2),2)sin[(2α＋eq\f(π,4))﹣eq\f(π,4)]﹣1＝eq\f(\r(2),2)[sin(2α＋eq\f(π,4))coseq\f(π,4)﹣cos(2α＋eq\f(π,4))sineq\f(π,4)]﹣1＝﹣eq\f(3,10).LISTNUMOutlineDefault\l3已知cos(eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\f(π,6)＋α)·cos(eq\f(π,3)﹣α)＝﹣eq\f(1,4)，α∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)).求：(1)sin2α；(2)tanα﹣eq\f(1,tanα).【答案解析】解：(1)由題知cos(eq\f(π,6)＋α)·cos(eq\f(π,3)﹣α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)·sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(1,2)sin(2α＋eq\f(π,3))＝﹣eq\f(1,4)，∴sin(2α＋eq\f(π,3))＝﹣eq\f(1,2).∵α∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，∴2α＋eq\f(π,3)∈(π，eq\f(4π,3))，∴cos(2α＋eq\f(π,3))＝﹣eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sin[(2α＋eq\f(π,3))﹣eq\f(π,3)]＝sin(2α＋eq\f(π,3))coseq\f(π,3)﹣cos(2α＋eq\f(π,3))sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)由(1)得cos2α＝cos[(2α＋eq\f(π,3))﹣eq\f(π,3)]＝