人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 專題12.1-12.2 全等三角形性質(zhì)及判定講練（解析版）

專題12.1-12.2全等三角形性質(zhì)及判定典例體系一、知識點1全等三角形形狀、大小相同的圖形能夠完全重合；全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；對應(yīng)頂點：全等三角形中相互重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；對應(yīng)角：全等三角形中相互重合的角叫做對應(yīng)角；對應(yīng)邊：全等三角形中相互重合的邊叫做對應(yīng)邊；全等表示方法：用“”表示，讀作“全等于”（注意：記兩個三角形全等時，把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上）全等三角形的性質(zhì)：=1\*GB3①全等三角形的對應(yīng)邊相等；=2\*GB3②全等三角形的對應(yīng)角相等；2三角形全等的判定（1）若滿足一個條件或兩個條件均不能保證兩個三角形一定全等；（2）三角形全等的判定：=1\*GB3①三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“邊邊邊”或“SSS”）=2\*GB3②兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“邊角邊”或“SAS”）=3\*GB3③兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“角邊角”或“ASA”）=4\*GB3④兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（“角角邊”或“AAS”）=5\*GB3⑤斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；（“斜邊直角邊”或“HL”）二、考點點撥與訓(xùn)練考點1：全等三角形的性質(zhì)典例：（2020·古田縣第十中學(xué)初一期中）如圖，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，則∠D=____，∠EAD=______．【答案】40°110°【解析】解：△ABC中，∠C＝40°，∠B＝30°

∵△ABC≌△AED，

∴∠D＝∠C＝40°，∠E＝∠B＝30°，

∴∠EAD＝180°?∠D?∠E＝110°，故答案為：40°，110°．方法或規(guī)律點撥本題用考查知識點為：全等三角形的性質(zhì)及對應(yīng)角的找法．書寫全等時應(yīng)注意各對應(yīng)頂點應(yīng)在同一位置，也可根據(jù)此點來找全等三角形的對應(yīng)關(guān)系．在計算角的度數(shù)的時候各角的度數(shù)應(yīng)整理到一個三角形中．鞏固練習(xí)1．（2020·廣東省初三一模）如圖，，，，則（）A．70° B．45° C．40° D．50°【答案】C【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠B＝∠D＝100°，∴∠AED＝180°?40°?100°＝40°，故選：C．2．（2020·南通市八一中學(xué)初一月考）下列說法：①全等圖形的形狀相同、大小相等；②三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④全等三角形的周長、面積分別相等，其中正確的說法為（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【解析】由全等三角形的概念可知：全等的圖形是完全重合的，所以①全等圖形的形狀相同、大小相等是正確的；重合則對應(yīng)邊、對應(yīng)角是相等的，周長與面積也分別相等，所以①②③④都正確的．故選：D．3．（2021·上海初一期末）如圖，已知兩個三角形全等，那么∠1的度數(shù)是（）A．72°； B．60°； C．58°； D．50°．【答案】D【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可知，第一個三角形的第三個角的度數(shù)為，由全等三角形的性質(zhì)可知，，故選：D．4．（2020·上海初三二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC與△EFB全等，那么點F的坐標(biāo)可以是（）A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）【答案】D【解析】解：如圖所示：△ABC與△EFB全等，點F的坐標(biāo)可以是：(4，﹣3)．故選：D．5．（2020·偃師市實驗中學(xué)初二月考）已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，則∠AEB＝度．【答案】120【解析】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°，∴∠CAE=∠O+∠D=95°，∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°．6．（2020·江蘇省初二期末）如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為．【答案】130°【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案為130°．考點2：應(yīng)用“SSS”判斷三角形全等典例：（2020·全國初一課時練習(xí)）如圖，已知，，，求證：.【答案】證明見解析.【解析】在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，∵∠3=∠BAD+∠ABD，∴∠3=∠1+∠2.方法或規(guī)律點撥本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握判定定理及外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2020·南通市八一中學(xué)初一月考）如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD【答案】B【解析】CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可證△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即AD平分∠EDC；在△ACD中，CD+AC>AD所以ED+AC>AD.綜上只有B選項無法證明,B要成立除非∠B=30°，題干沒有此條件，B錯誤，故選B.2．（2021·內(nèi)蒙古自治區(qū)初二期末）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是()A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【解析】解：根據(jù)作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)∴∠COD=∠C′O′D′∴∠AOB=∠A′O′B′故選D．3．（2020·偃師市實驗中學(xué)初二月考）用尺規(guī)作圖作已知角∠AOB的平分線OC，其根據(jù)是構(gòu)造兩個三角形全等，它所用到的識別方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【解析】如圖，是用尺規(guī)作圖作出的∠AOB的角平分線OC，連接DC、EC，由作圖過程可知：OD=OE，DC=EC，∴在△ODC和△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS）.故選B.4．（2021·內(nèi)蒙古自治區(qū)初二期末）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是()A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【解析】解：根據(jù)作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)∴∠COD=∠C′O′D′∴∠AOB=∠A′O′B′故選D．5．（2020·云南省初三二模）有一個平分角的儀器如圖所示，其中AB=AD，BC=DC．求證：AC平分∠BAD．【答案】見解析【解析】證明：在ABC和ADC中，∴ABC≌ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD．6．（2020·湖北省初三其他）如圖，，，求證：．【答案】見解析【解析】證明：在與中，,∴；∴，∴，∴．7．（2020·江蘇省初三一模）已知：如圖，相交于點，過點作，垂足為．求證：．【答案】見解析【解析】證明：在△ABC與△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠ABC＝∠BAC，∴AO＝BO，又∵OE⊥AB，∴AE＝BE．8．（2020·全國初一課時練習(xí)）如圖,已知線段AB,CD相交于點O,AD,CB的延長線交于點E,OA=OC,EA=EC，(1)試說明:∠A=∠C;(2)在(1)的解答過程中,需要作輔助線,它的意圖是什么?【答案】（1）見解析；（2）構(gòu)造全等三角形.【解析】(1)如圖,連接OE.在△EAO和△ECO中,所以△EAO≌△ECO(SSS).所以∠A=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).(2)在(1)的解答過程中,需要作輔助線,它的意圖是構(gòu)造全等三角形.考點3：應(yīng)用“SAS”判斷三角形全等典例：（2020·江蘇省中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在一條直線上，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【解析】解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.方法或規(guī)律點撥本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是找出三角形全等的條件.鞏固練習(xí)1．（2022·廣東省深圳外國語學(xué)校初一期末）如圖，在和中，，連接交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，①正確；∴，由三角形的外角性質(zhì)得：∴°，②正確；作于，于，如圖所示：則°，在和中，，∴，∴，∴平分，④正確；正確的個數(shù)有3個；故選：B．2．（2020·山東初二期末）如圖，AB∥CD，CE∥BF，A、E、F、D在一直線上，BC與AD交于點O，且OE=OF，則圖中有全等三角形的對數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解：①∵CE∥BF，∴∠OEC＝∠OFB，又∵OE＝OF，∠COE＝∠BOF，∴△OCE≌△OBF，∴OC＝OB，CE＝BF；②∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，又∵OB＝OC，∴△AOB≌△DOC；③∵AB∥CD，CE∥BF，∴∠D＝∠A，∠CED＝∠COD，又∵CE＝BF，∴△CDE≌△BAF.故選B.3．（2020·濟(jì)南市長清區(qū)實驗中學(xué)初一期中）如圖，點E、F在BC上，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，AF與DE交于點O．求證：∠A=∠D．【答案】見詳解【解析】證明：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴∠A=∠D．4．（2020·江蘇中考真題）如圖，，，．，與交于點．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）90°【解析】（1）∵，，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又．∴△ACE≌△BCD∴（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B設(shè)AE與BC交于O點,∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故=180°-∠BFO=90°．5．（2020·江蘇中考真題）如圖，已知，，．

求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見解析．【解析】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴∠AFE=∠DEF，∴AF∥DE．6．（2020·重慶初三）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點E，AF平分∠BAD，交BC于點F，交CD的延長線于點G．（1）若∠G=29°，求∠ADC的度數(shù)；（2）若點F是BC的中點，求證：AB=AD+CD．【答案】（1）58°；（2）詳見解析【解析】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G,∠BAD=∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．∴∠ADC=∠BAD=2∠G．∵∠G=29°，∴∠ADC=58°．（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．∵∠BAG=∠G，∴∠DAG=∠G．∴AD=GD．∵點F是BC的中點，∴BF=CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF．∴AB=GC．∴AB=GD+CD=AD+CD．7．（2020·福州四十中金山分校初二月考）如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點P在線段AB上以1的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）全等，垂直，理由詳見解析；（2）存在，或【解析】(1)當(dāng)t=1時，AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即線段PC與線段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，解得;②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，解得：綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等.考點4：應(yīng)用“ASA”或“AAS”判斷三角形全等典例：（2020·山東省初一期中）CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠β．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左邊圖，則BECF，EF|BE-AF|（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中間圖，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如右邊圖，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β=∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【答案】（1）①=，=②兩結(jié)論依然成立，證明見解析（2）EF=BE+AF【解析】（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°∴∠BCF=∠CAF又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB∴△BEC△CFA(AAS)∴BE=CF，CE=AF∴②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°∴∠FCA+∠CAF=∠BCA∵∠BCA=∠BCE+∠FCA∴∠CAF=∠BCE∵CA=CB∴△BEC△CFA(AAS)∴BE=CF，CE=AF∴（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA∴∠B=∠ACF∵CA=CB∴△BEC△CFA(AAS)∴BE=CF，CE=AFEF=EC+CF=AF+BE方法或規(guī)律點撥本題考查全等三角形證明以及性質(zhì)的應(yīng)用，并結(jié)合一定的探究思路，按照題目指引利用AAS判別定理解答即可．鞏固練習(xí)1．（2020·江蘇初三二模）如圖，點，，，在同一條直線上，，，.求證：.【答案】證明見解析．【解析】證明：，.又，，，.2．（2020·湖北省初三月考）如圖，于點于點，求證：．【答案】詳見解析【解析】證明：，，，，在和中，，，，．3．（2020·重慶市育才中學(xué)初二期末）如圖△ABC中，點E在AB上，連接CE，滿足AC＝CE，線段CD交AB于F，連接AD．（1）若∠DAF＝∠BCF，∠ACD＝∠BCE，求證：AD＝BE；（2）若∠ACD＝24°，EF＝CF，求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）52°．【解析】解：（1），，，又，，，；（2），，，，又，中，．4．（2020·浙江初一月考）△ADE中，AE=AD，∠EAD=90°．（1）如圖（1），若EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于點C、B，連接BC．請你判斷AB、AC是否相等，并說明理由；（2）△ADE的位置保持不變，將（1）中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，CD、BE相交于O，請你判斷線段BE與CD的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若CD=6，試求四邊形CEDB的面積．【答案】（1）理由見解析；（2）理由見解析；（3）18.(1)AB=AC.理由如下：∵EC、DB分別平分∠AED、∠ADE∴∠AEC=∠AED,∠ADB=∠ADE∵∠AED=∠ADE∴∠AEC=∠ADB在△AEC和△ADB中，∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A∴△AEC≌△ADB∴AB=AC；(2)BE=CD且BE⊥CD.理由如下：∵∠EAD=∠BAC∴∠EAB=∠DAC在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC(SAS)∴EB=CD∴∠AEB=∠ADC∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°∴∠DOE=90°∴BE⊥CD；(3)四邊形CEDB的面積=×BE×CD==18.5．（2020·山東省初二期中）（1）如圖①，直線經(jīng)過正三角形的頂點，在直線上取兩點、，使得，，求證：．（2）將（1）中的直線繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖②的位置，并使，，通過觀察或測量，猜想線段，與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析．【解析】（1）∵在正三角形中，，∴又∵∴在和中，∴≌()∴，∴（2）猜想：證明：∵在正三角形中，∴∵∴∴在和中∴≌()∴，∴考點5：應(yīng)用“HL”判斷三角形全等典例：（2020·遼寧初三一模）如圖，將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F.(1)求證：AF＋EF＝DE.(2)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請在圖②中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并直接寫出(1)中的結(jié)論是否仍然成立．(3)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請寫出AF，EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）不成立，理由見解析；【解析】（1）如圖①所示，連接BF，∵BC=BE，在Rt△BCF和Rt△BEF中∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF+EF=AC=DE；（2）如圖②所示：延長DE交AC與點F，連接BF，在Rt△BCF和Rt△BEF中∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF+EF=AC=DE；（3）如圖③所示：連接BF，在Rt△BCF和Rt△BEF中∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF-FC=AC=DE，∴AF-EF=DE．方法或規(guī)律點撥本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東初二期中）如圖，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，則∠2=A．40°B．50°C．60°D．75°【答案】B【解析】解：∵∠B=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．故選B．2．（2020·甘肅靖遠(yuǎn)五中初二期中）如圖，，要根據(jù)“”證明，則還要添加一個條件是()A． B． C． D．【答案】A【解析】添加的條件是AB＝CD；理由如下:∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，∵，∴，在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE＝R△DCF(HL)所以A選項是正確的.3．（2020·山西省初二期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，在AC上取一點E使EC=BC，過點E作EF⊥AC，連接CF，使CF=AB，若EF=12cm，則AE的長為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】C【解析】∵EF⊥AC，∴∠CEF=90°，在Rt△ABC和Rt△FCE中，∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL），∴AC=FE=12cm，∵EC=BC=5cm，∴AE=AC-EC=12-5=7cm，故選：C．4．（2022·陜西省陜西師大附中初一期末）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，則∠BDC＝_____．【答案】75°【解析】解：延長AE交DC邊于點F，如圖：∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE與Rt△CBD中，∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴