分式復(fù)習(xí)講義

/分式復(fù)習(xí)講義一、基本概念1.形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中

A叫做分式的分子叫做分式的分母.2.整式和分式統(tǒng)稱(chēng)有理式,即有理式二、分式的基本性質(zhì)1.分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.用式子表示即是：（其中M是不等于零的整式）。注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，則分式?jīng)]有意義。2.符號(hào)規(guī)則：分式的分子、分母和分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。用式子表示即是：三、運(yùn)算法則1.乘法法則：2.除法法則：3.加減法則：（1）（2）4.乘方法則：（n為正整數(shù)，b）四、例題選講例1.下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）；（2）；（3）；（4）.解：屬于整式的有：（2）、（4）；屬于分式的有：（1）、（3）.練習(xí)1：1.下列各式中，；是整式的有，是分式的有.2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？2a2，，，，，例2.當(dāng)取什么值時(shí)，下列分式有意義？（1）；（2）.分析：要使分式有意義，必須且只須分母不等于零.解：（1）分母≠0，即≠1.所以，當(dāng)≠1時(shí)，分式有意義.（2）分母2≠0，即≠-.所以，當(dāng)≠-時(shí)，分式有意義.例3.（1）當(dāng)x為何值時(shí)，分式無(wú)意義？（2）當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為零？分析：①判斷分式有無(wú)意義，必須對(duì)原分式進(jìn)行討論，而不是討論化簡(jiǎn)后的分式；②在分式中，若0，則分式無(wú)意義，若B≠0，則分式有意義；③分式的值為零的條件是0且B≠0，兩者缺一不可。解：（1）要使分式無(wú)意義，則需x2－x－2=0．即：(2)(1)=0所以當(dāng)2或－1時(shí)，分式無(wú)意義；（2）要使分式的值為零，則需1=0，且x2+2x－3≠0，即：(3)(1)≠0解得－1．所以當(dāng)－1時(shí)，分式練習(xí)2：1.若使分式的值為0，則的取值為.2.如果分式的值為零，則=.3.當(dāng)，分式有意義。4.當(dāng)分式表示一個(gè)整數(shù)時(shí)，可取的值共有個(gè)。5.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義。（1）；（2）；（3）例4.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào).，，，，.分析：每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號(hào)，同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)，分式的值不變.解：;;;;.例5.不改變分式的值，把分式的分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù).解：例6.不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)：（1）（2）（3）分析：由于要求分式的分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，而對(duì)分式本身的符號(hào)未做規(guī)定，所以根據(jù)分式的符號(hào)法則，使分式中分子、分母與分式本身改變兩處符號(hào)即可。解：（1）原式.（2）原式.（3）原式.說(shuō)明：1.分子與分母是多項(xiàng)式時(shí)，若第一項(xiàng)的符號(hào)不能作為分子或分母的符號(hào)，應(yīng)將其中的每一項(xiàng)變號(hào)。2．兩個(gè)整式相除，所得的分式，其符號(hào)法則與有理數(shù)除法的符號(hào)法則相類(lèi)似，也同樣遵循“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”的原則。練習(xí)3：1．不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào).(1)(2)（3)(4)2.不改變分式的值，使分子第一項(xiàng)系數(shù)為正，并且分式本身不帶“-”號(hào).（1）（2）（3）例7.約分：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式－1例8．通分（1），；（2），；（3），解：（1）與的最簡(jiǎn)公分母為a2b2＝＝，＝＝.（2）與的最簡(jiǎn)公分母為()()，即x2－y2＝＝，＝＝.（3）與的最簡(jiǎn)公分母為x()()，即x32==練習(xí)4：1.化簡(jiǎn)下列分式：（1）；（2）；（3）2.約分：（1）（2）3.通分：（1）（2）例9．計(jì)算：(1);(2)解：(1)原式=(2)原式=練習(xí)5：1.計(jì)算下列各題：（1）；（2）；（3）；（4）2.計(jì)算下列各題：（1）（2）（4）（5）÷·例10.計(jì)算：（1）（2）解：（1）原式（2）原式＝＝＝＝＝＝說(shuō)明：第（2）題中兩個(gè)加項(xiàng)的分母不同，要先通分，化為同分母分式。為此，先找出它們的最簡(jiǎn)公分母。注意到=,所以最簡(jiǎn)公分母是。練習(xí)6：計(jì)算下列各題:(1)(2)（3）例11．計(jì)算下列各題：（1）．分析：（1）題只含分式的乘除運(yùn)算，應(yīng)先把除法化為乘法，再約分；（2）題只含分式的加減運(yùn)算，應(yīng)先通分．當(dāng)分式的分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先將多項(xiàng)式分解因式．注意到，，所以最簡(jiǎn)公分母是解：（1）原式==（2）原式====例12.計(jì)算：（1）（2）解：（1）原式====（2）原式===練習(xí)7：計(jì)算下列各題：(1)()÷（2）(3)(4)例13.解答下列各題：（1）先化簡(jiǎn)，再求值：－x－2），其中；（2）若=3，求的值．分析：（1）題求值應(yīng)先分別把條件及所求代數(shù)式化簡(jiǎn)，再將化簡(jiǎn)后的條件代入化簡(jiǎn)后的式子中求值．（2）題運(yùn)用分配規(guī)律及整體代入的思想可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．解：（1）原式3＜∴3－22-3∴當(dāng)時(shí)，原式（2）∵=3，∴2y－3．原式.練習(xí)8：1.先化簡(jiǎn)，再求值：（其中12.先化簡(jiǎn)，再求值：（）÷，其中20103.先化簡(jiǎn)，再求值：其中x＝24.先化簡(jiǎn)，再求值：,其中5.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中6.先化簡(jiǎn)，再求值：其中，◆探究實(shí)踐【問(wèn)題1】西瓜以千克計(jì)價(jià)，購(gòu)買(mǎi)西瓜時(shí)，希望可食用的部分占整個(gè)西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚都是d，試問(wèn)買(mǎi)大西瓜合算還是買(mǎi)小西瓜合算？（把西瓜都看作球形，并設(shè)西瓜瓤?jī)?nèi)物質(zhì)的密度分布是均勻的，v球3）解：設(shè)西瓜的半徑為R，則可以食用部分的半徑為，可以食用部分與整個(gè)西瓜的體積的比為：．因?yàn)閐為常數(shù)，可見(jiàn)R越大，越小，1－越大，從而可以食用部分占整個(gè)西瓜的比越大，所以說(shuō)購(gòu)買(mǎi)大西瓜更合算．【問(wèn)題2】閱讀并計(jì)算下列各式：；猜想：評(píng)析：把一分式“分解”為兩個(gè)分式的代數(shù)和的形式能使得運(yùn)算簡(jiǎn)捷，體現(xiàn)了式的恒等變換的重要功能．五.分式方程及其解法1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.2.分式方程的解法（1）去分母法的步驟：\o\(○,1)去分母法：在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；

\o\(○,2)解這個(gè)整式方程；

\o\(○,3)把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中檢驗(yàn)，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公分母不為零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，必須舍去.在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，驗(yàn)根只需代入員簡(jiǎn)公分母進(jìn)行運(yùn)算.(2)換元法用換元法解分式方程，也就是把適當(dāng)?shù)姆质綋Q成新的未知數(shù)，求出新的未知數(shù)后再求出原來(lái)的未知數(shù)．例1：解方程：=－2解：去分母，方程兩邊同乘以x－3,得：2－－1－2（x－3）解這個(gè)方程，得3.檢驗(yàn)：把3代入公分母（x－3）中，公分母x－3的值為零，即3時(shí)，方程中的分式無(wú)意義，因此3不是原方程的根.∴原方程無(wú)解.例2：解方程：（1）=；（2）2.解：（1）去分母，方程兩邊同乘以x（x－1），得：34（x－1）解這個(gè)方程，得4檢驗(yàn)：把4代入x（x－1）=4×3=12≠0，∴原方程的根為4.（2）去分母，方程兩邊同乘以（2x－1），得10－5=2（2x－1）解這個(gè)方程，得檢驗(yàn)：把代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.∴原方程的根為.例3：若關(guān)于x的方程=有增根，求m的值.分析：首先增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)所得到的整式方程的根，其次增根又是使最簡(jiǎn)公分母為零的數(shù)。關(guān)于x的方程=有增根，則此增根必使3x－9=0，即必有3（x－3）=0，所以增根必定為3.解：去分母，方程兩邊同乘以3（x－3），得：3（x－1）2.根據(jù)題意，3是上面整式方程的根，∴3（3－1）2,∴±.例4：解方程7解：設(shè)；則.于是原方程變形為：方程兩邊都乘以y，約去分母整理得：2y2-76=0解這個(gè)方程得：y1=2；y2=當(dāng)y1=2時(shí)，=2，去分母并整理得：x2-21=0解得：當(dāng)y2=時(shí)，=，去分母并整理得：x2-31=0解得：檢驗(yàn)：把，分別代入原方程的分母中，因?yàn)楦鱾€(gè)分母都不等于零，所以它們都是原方程的根.∴原方程的根是：；；；.例5：解方程解：設(shè)；則原方程變形為：解這個(gè)方程得：解這個(gè)方程得：y12；y23當(dāng)y12時(shí)，2，去分母并整理得：32解方程得：當(dāng)y23時(shí)，3，去分母并整理得：43解方程得：檢驗(yàn)：把；分別代入原方程的分母中，因?yàn)楦鱾€(gè)分母都不等于零，所以它們都是原方程的根.∴原方程的根是：；.基礎(chǔ)練習(xí)1．用換元法解分式方程時(shí)，設(shè)＝y(tǒng)，原方程變形為（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝02．用換元法解方程x2＋8x＋＝23，若設(shè)y＝，則原方程可化為（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=03．若解分式方程\F(2－1)－＝\F(x＋1)產(chǎn)生增根，則m的值是（）（A）－1或－2（B）－1或2（C）1或2（D）1或－24．解方程\F(4)－\F(1－1)＝1時(shí)，需將方程兩邊都乘以同一個(gè)整式約去分母，所乘的這個(gè)整式為（）（A）x－1（B）x（x－1）（C）x（D）x＋15．先閱讀下面解方程x＋\R(－2)＝2的過(guò)程，然后填空.解：（第一步）將方程整理為x－2＋\R(－2)＝0；（第二步）設(shè)y＝\R(－2)，原方程可化為y2＋y＝0；（第三步）解這個(gè)方程的y1＝0，y2＝－1（第四步）當(dāng)y＝0時(shí)，\R(－2)＝0；解得x＝2，當(dāng)y＝－1時(shí)，\R(－2)＝－1，方程無(wú)解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解題過(guò)程中，第二步用的方法是，第四步中，能夠判定方程\R(－2)＝－1無(wú)解原根據(jù)是。上述解題過(guò)程不完整，缺少的一步是。獨(dú)立練習(xí)：1.給出下列六個(gè)方程：（1）x2－2x＋2＝0（2）\R(－2)＝1－x（3）\R(－3)＋\R(－2)＝0（4）\R(＋1)＋2＝0（5）\F(1)＋\F(1－1)＝0（6）\F(1－1)＋1＝\F(－1)其中有實(shí)數(shù)解的方程有（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）多于2個(gè)2.方程－1＝\F(1＋2)的解是（）（A）－1（B）2或－1（C）－2或3（D）33.當(dāng)分母解x的方程\F(x－3－1)＝\F(－1)時(shí)產(chǎn)生增根，則m的值等于（）（A）－2（B）－1（C）1.（D）24.下列方程中有實(shí)數(shù)解的是（）（A）\R(＋2)＋5＝4（B）\R(,3－x)＋\R(－3)＝0（C）x2－2x＋4＝0（D）\F(2,x＋1)＋\F(3－1)＝5.能使（x－5）＝0成立的x是。6.方程\F(1,x－1)＝\F(4,x＋2)的解是.7．設(shè)y＝時(shí)，分式方程（\F(x,x－1)）2＋5（\F(x,x－1)）＋6＝0可轉(zhuǎn)化為.8.解下列方程：（1）（2）（3）x2＋－\F(7,2)（x－\F(1)）＋1＝0（4）x